2019-2020学年北京市北京一零一中学高二第一学期期末考试数学试题(解析版)

1、第1页共 17 页x si nA a y c 0与b xy sinBsinC0位置关系是（A 平行B.重合C .垂直D .相交但不垂直【答案】C【解析】a,b,c分别是VABC中代B, C所对边的边长，则直线x si nA a yb x y sinB sinCc 0斜率为:0的斜率为：si nAabsi nB泄n丄=-1, 两条直线垂直.a sin B故选 C.3 .已知下列三个命题：若复数 Z1, Z2的模相等，贝yZ1, Z2是共轭复数；Z1, Z2都是 复数，若 Z 什 Z2是虚数，则 Z1不是 Z2的共轭复数；复数 Z 是实数的充要条件是 ZZ. 则其中正确命题的个数为（）C. 2 个

2、B. 1 个2019-2020 学年北京市北京一零一中学高二第一学期期末考试数学试题、单选题1 复数 z 口，则 |Z|=（）1iA 1B. 2C.、2D 2.2【答案】A【解析】运用复数的除法运算法则，先计算出 z 的表达式，然后再计算出Z.【详解】故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式，并能求出复数的模，需要掌握其计算法则，较为基础.由题意复数 z 口得1 i(1 i)21 2i i2(1 i)(1 i)i,所以z=1.2设a,b,c分别是VABC中A，B，C所对边的边长，则直线)第2页共 17 页【答案】C【解析】 运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断【详

3、解】 对于中复数Zi和Z2的模相等，例如Zi= 1+i,z2= 2i，则乙和Z2是共轭复数是错误的对于Zi和Z2都是复数，若乙+Z2是虚数，则其实部互为相反数，则Zi不是Z2的共轭复数,所以是正确的;a，则Z a所以z Z，反之当z z时，亦有复数z是实数，故对于复数Z是实数，令Z复数 z 是实数的充要条件是Z Z是正确的综上正确命题的个数是2个.故选C【点本题考查了复数的基本概念，判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识，并能运用举例方法进行判断，本题较为基础2Xo4 .椭圆y2=1 的长轴为4A1A2,短轴为 B1B2,将坐标平面沿 y 轴折成一个锐二面角,使点 Ai在平面 B1A2B2上的射

4、影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为B. 45C.60 D. arctan2第3页共 17 页【答案】A【解析】结合题意画出满足条件的图象，利用图象直观分析，找到二面角的平面角，然后解三角形求出二面角的大小点A在平面BA2B2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，所以FOAi即为所求二面角的平2面角，因为椭圆标准方程为 y21,所以4OA 2,OF.3,cos FOA1坐3,所以OA12FOA1=30【详第4页共 17 页故选A【点睛】本题考查了求二面角的平面角的大小，结合椭圆的翻折，能够画出或者直观看出二面角的平面角，并结合解三角形求出结果，需要掌握解题方法5.已知两圆C1:(x 4)22y；

5、169,C2:(x 4)22y9，动圆在圆G内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()2 222222 2Ax y A .1B.xx xy_ 1x y *D.11C.6448486448646448【答案】D【解析】设出动圆半径为r，根据两圆外切和内切判定圆心距与两圆半径和差的关系, 消去r，根据椭圆的定义，即可求得动圆圆心M的轨迹，进而可求其方程.【详解】设动圆圆心M x, y，半径为r,Q圆M与圆Ci:(x 4)2y2169内切，与圆C?:(x 4)2y29外切,MCi13 r,MC2r 3,|MC1MC218,由椭圆的定义，M的轨迹为以C1,C2为焦点的椭圆，可得

6、a 8,c 4；则b2a2c248,2 2动圆圆心M的轨迹方程：1，故选 D.6448【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程，属于中档题.两圆半径为R,r,段AB的中点到y轴的距离为()357A.B.1C.D .-444【答案】C两圆心间的距离d，比较d与Rr及d与R r的大小，即可得到两圆的位置关系26 .已知F为抛物线 y X 的焦点,代B是该抛物线上的两点,AF BF 3，则线第5页共 17 页1【解析】抛物线的准线为l :x,过代B作准线的垂线，垂足为E,G,AB的中43点为M，过M作准线的垂线，垂足为MH，则可利用几何性质得到MH3，故可2得M到y轴的距离【详解】1

7、抛物线的准线为|：x,过A, B作准线的垂线，垂足为E,G，AB的中点为M,4过M作准线的垂线，垂足为MH,所以AE BG AF BF 3，33 1 5又MH为梯形的中位线，所以MH ,故M到y轴的距离为一一，故选 C.22 4 4【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题7.正四棱锥 SABCD 底面边长为 2,高为 1, E 是边 BC 的中点，动点 P 在四棱锥表面上运动，并且总保持 PE 丄 AC,则动点 P 的轨迹的周长为（）A .1.2B. 2、3C .2 2D.2,3【答案】B【解析】略2 28 .设点 P 为双曲线21（ a 0, b 0）右支上的动点，过点 P 向两条渐近线

8、作a b值范围是（）【答案】B【解析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内，则可以得到倾斜角的范围，再利用离心率的计算方法求出结果【详解】 根据题意，因为点 P 为双曲线右支上的动点，过点 P 向两条渐近线作垂线，垂足分别因为代B是该抛物线上的两点，故AE AF , BG BF垂线，垂足分别为A, B,若点 AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取A . (1,B. (1 ,2C. , +m)D . b. 2 , +m)第6页共 17 页为 A,B,若点 AB 始终在第一、第四象限内，则有渐近线y - x的倾斜角不大于45,即-1,则aa故答案为：1第 5 页共 17 页二、

9、填空题【答案】6【答案】1【解析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果【详解】因为点E,F分别是边BC,AD的中点，uuu则AEuuu 1 uurAF2(AB AC)2ADuuiu 1 uuu 1 uuu uuiu（AB AD 241的每条边和对角线的长都等于2,所以原式 丄（24uuu uuuAC AD）,又因为空间四边形 ABCD2 cos60 2 2 cos60 ) 1.故选B【点2,2ab2a1b, 2，又e 1,则1 e辽.本题考，解答时要结合题目中的已知条件，并能熟练运用2 2a b2ab2b,考查了理解能力和转化能a9.若抛物线2px的焦点与双曲线62y_31的右焦点

10、重合，贝 U P 的【解析】 试题分析：根据题意，由于双曲线x2a26,b23,c2a2+b29 c 3右焦点坐标为（3,0）,因此可知抛物线2小y 2px的焦点（p,0）C-3,0） - 3 p 6,故答案为 62 2【考点】考查了抛物线与双曲线的性质.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标,然后得到参数 p 的值，属于基础题.10 .已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,点 E , F 分别是边 BC ,uuuAD 的中点，AF的值为c双曲线的离心率为e-aac2离心率计算推导公式e-a故答案为：1第 5 页共 17 页第9页共 17 页【点睛】

11、本题考查了向量数量积的运算，解题过程中运用向量的加法运算进行转化，转化为空间四边形边之间的关系，然后再结合题意计算出结果，需要掌握解题方法11.已知 A (- 1 , 0), B (1, 0)两点，过动点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若uuuuouuir uuu| MN |2AN NB，当0时，动点 M 的轨迹可以是 _ (把所有可能的序号都写上)圆；椭圆；双曲线；抛物线【答案】【解析】 设点M的坐标，得到N点坐标，利用条件中| MN |2uuir uuuAN NB计算出关于动点M的轨迹方程，然后再进行判断轨迹图形【详解】uuuu c设M (x, y)则N (x,0)，由题意| MN |

12、2uuu uuuoAN NB计算可得y(x 1)(1 x),化简得x2y2，又因为20,即得x2 1,当0 时,其轨迹方程是双曲线；当0且1时其轨迹方程是椭圆；当1时其轨迹方程是圆，综上动点M的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线故答案为：【点睛】本题考查了动点轨迹问题，求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程，然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简，注意分类讨论112 .过点M (?,1)的直线 I 与圆 C： (x- 1)2+y2= 4 交于 A、B 两点，C 为圆心，当/ ACB最小时，直线 I 的方程为_ .【答案】2x- 4y+3 = 0【解析】要/ ACB 最小则分析可得

13、圆心 C 到直线 I 的距离最大，此时直线 I 与直线CM垂直，即可算出CM的斜率求得直线 l 的方程【详解】由题得，当 / ACB 最小时，直线 l 与直线CM垂直，此时kCMkcMkl1,故kl丄,又直线 I 过点M(，1),所以l : y 1 l(x -),即2 22 22x 4y 3 0故答案为：2x 4y 30第10页共 17 页第11页共 17 页，过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法2X13 斜率为1的直线I与椭圆4【答案】口0【解析】 设出直线I的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表

14、 达式，进而求得弦长的最大值 .【详解】【点睛】 本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法,属于中档题14 .如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2,点 P 在正方形 ABCD 的边界及其内部运动平面区域W由所有满足45|A1P|46的点P组成，则W的面积是_；四面体 P-A1BC 的体积的最大值是 _y21相交于A, B两点，则AB的最大值为_设直线方程为yX b，代入椭圆方程并化简得5x28bx 4b240,8b5，X14b242 264b20 4b2416b800,AB乘.AB 16b280当bV 25，0时,4 105圆心到定点与直线

15、垂直时取得最值T本题主要考查直线与圆的位置关系max第12页共 17 页【答案】43【解析】结合题意先找到满足条件J5APJ6的平面区域，然后计算出其面积；要求四面体的体积的最大值，已知高是固定的，当底面面积最大时就可以求得体积最大 【详解】 连接AP，在正方体中可知AIAAP，则三角形AiAp为直角三角形，又因为AA2，J5APJ6,可计算得1 AP J2,又因为点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，则平面区域W是以点A为圆心，半径为1和2之间交正方形ABCD的1圆环,所以平面区域W的面积是1(-、2)212;由题意可知当点P在边4441 14AD上时，四面体P ABC的体积最大值是2 2

16、 2.3234故答案为：一；443【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题，求解时需要理清题意，计算求出满足题意的结果在求四面体的最值时可以转化顶点和底面，找到确定值和变量，然后再求最值.三、解答题15 .已知复数 z 满足 izJ2, z 的实部大于 0, z2的虚部为 2.(1)求复数 z;(2)设复数 z, z2, z- z2之在复平面上对应的点分别为的值【答案】(1) 1 + i; ( 2)- 2.【解析】(1)先设出复数 z 的表达式，结合已知条件中z-.2,实部大于 0,和z2的虚部 为2，列出zxCTuur uuuUULTA, B, C,求（OA OB）OC第13页共 17 页

17、方程求解出复数 z 的表达式.(2)由(1 )求出复数 z 的表达式，即可得到 z,z2,z z2在复平面上对应的点坐标，进而第14页共 17 页求出结果.【详解】(1) 设复数 z=x+yi,x、y R;由|z|2,得 x2+y2=2;又 z 的实部大于 0 即 x0,z2=x2- y2+2xyi 的虚部为 2xy=2,所以 xy=1;解得 x= 1,y= 1;所以复数 z=1 + i;(2) 复数z 1 i,则z2(1 i)22i,z z21 i 2i 1 i;则 A (1,1) ,B ( 0,2) ,C (1,- 1);uur uun umr所以(OA OB) OC (1,3) (1,1

18、) 11 3(1)2.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义，解题时的方法是设出复数的表达式，按照题意得到方程组进行求解，本题较为基础.16 .如图在 AOB 中，/ AOB =90 AO=2 , OB=1, AOC 可以通过 AOB 以直线 AO为轴旋转得到，且 OB 丄 OC,点 D 为斜边 AB 的中点.(2) 求直线 OB 与平面 COD 所成角的正弦值.【答案】(1)1; (2)5.35【解析】(1)以O为原点,OC为x轴,OB为y轴，OA为 z 轴,建立空间直角坐标系，求出异面直线OB与CD的坐标表示，运用公式求出其夹角的余弦值 CX第15页共 17 页(2)先求出平面C

19、OD的法向量，然后运用公式求出直线OB与平面COD所成角的正弦【详解】(1)以 0 为原点,OC 为 x 轴,0B 为 y 轴,OA 为 z 轴,建立空间直角坐标系,【点睛】0（0,0,0）,B（ 0,1,0）,C（ 1,0,0）,A（ 0,0,2）,D1（0, ,1）,2uuuuuu1OB（0,1,0） ,CD（- 1,）,20,.uumuuuOB CDtuuu CD2_141异面直线 OB 与 CD 所成角的余弦值为-3murmur（0,1,0） ,OC（ 1,0,0） ,ODumr（2）OB1容)，设平面 COD的法向量n(x,y,z),ruuu/n OC贝Vruuu/n OD12y，取

20、y 2,得n（0,2,- 1）,z 0设直线 OB 与平面COD 所成角为 0,则直线 OB 与平面uuurOBnsin 0-tuuurOB nCOD 所成角的正弦值为：则 cos 0第16页共 17 页本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题，求解过程中建立空间直角坐标系，运用空间向量知识来求解，需要熟记运算公式并计算正确 17.已知三棱锥P ABC（如图 1）的平面展开图（如图 2）中，四边形ABCD为边 长为 迈 的正方形， ABE 和厶 BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC中：（I）证明：平面PAC平面ABC;（n ）求二面角A PC B的余弦值；CM1 2（川）若点M

21、在棱PC上，满足,一，一，点N在棱BP上，且CP3 3BN一BM AN，求 的取值范围.BPm/JIM2【答案】（I ）见解析；（n）_2；（川）列丄，23BP 4 5【解析】试题分析：第一问取AC中点0，根据等腰三角形的性质求得PO AC，根 据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，禾U用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值 与 的关系式，利用函数的有关知识求得结果（I ）方法

22、1:设AC的中点为O，连接BO,PO.由题意PA PB PC2,PO 1,AO BO CO 1第17页共 17 页因为在PAC中，PA PC,O为AC的中点所以PO AC, 因为在POB中，PO 1,OB 1,PB2设AC的中点为O，连接BO,PO.设AC的中点为O，连接PO，因为在PAC中，PA所以POOB因为ACOB O,AC,OB所以PO平面ABC因为PO平面PAC所以平面PAC平面ABC方法 2:平面ABCB所以POAC,因为PAPB PC,PO PO PO,AO所以POA也POB也POC所以POAPOBPOC 90所以POOB因为ACOB O,AC, OB平面ABC所以PO平面ABC

23、因为PO平面PAC所以平面PAC平面ABCCOPC,因为在PAC中，PA PC,O为AC的中点方法 3:BO第18页共 17 页所以PO AC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB因为在OAB中，OA OB，Q为AB的中点所以OQ AB.因为在PAB中，PA PB，Q为AB的中点由OB平面APC，故平面APC的法向量为LUV由BC1, 1,0，uuvPC1,0, 1设平面PBC的法向量为Vnx,y,z，则nuuvBC 0 xy0由nuuvPC得：0 x z0所以PQAB.因为PQOQQ，PQ,OQ平面OPQ所以AB平面OPQ因为OP平面OPQ所以OPAB因为ABACA，AB, AC平面ABC所以

24、PO平面ABC因为PO平面PAC所以平面PAC平面ABCPO平面ABC,OB AC,(U)由O 0,0,01,0,0,P 0,0,1如图建立空间直角坐标系，则UJVOB 0,1,0第19页共 17 页令x1，得y 1，z 1， 即v1,1,1第20页共 17 页cos n,OBvOV1,33所以一面角APCB的余弦值为3uuvuuv,01,则（川）设BNBPuuuv uuv ujuvuuvuuvBMBCCMBCCP1, 1,01,0,1uuv uuviuvuuvuuvANABBNABBP1,1,00, 1,1由二面角A PC B是锐二面角,1 , 1,1,1uuuvBMuuvAN是关于入的单调

25、递增函数,时,所以BNBP1 24518 .如图, 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 I： x y2=0,抛物线 C: y2=2px( p 0).求抛物线 C 的方程;（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 I 对称的相异两点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为（2 p, p）；求 p 的取值范围.【答案】（1）- ； （2）证明见解析 .【解析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）利用抛物线点之间关系第21页共 17 页进行化简，结合中点坐标公式求证；利用直线与抛物线位置关系确定数量关系:2 24p 4(4 p 4p)0，解出 p 的取值范围【详解】(1)抛物线C :

26、y22px(p 0)的焦点为(号,0)由点(,0)在直线l：x y 2 0上，得卫020，即p 4.2 2所以抛物线 C 的方程为y28X.(2)设P( X1, yi), Q(x2, y2)，线段 PQ 的中点M(x0，y0)因为点 P 和 Q 关于直线I对称，所以直线I垂直平分线段 PQ， 于是直线 PQ 的斜率为1，则可设其方程为y x b.2由y px消去X得y22py 2pb 0(*)y x b因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以yiy2,(2 p)24( 2pb) 0，化简得p 2b 0.因为M(2 p, p).在直线y因此p的取值范围为(0,-).3【考点】 直线与抛

27、物线位置关系【名师点睛】从而确定参数的取值范围；(2)禾悯已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值 域的求法，确定参数的取值范围.19 .(本小题满分 14 分)一种画椭圆的工具如图 1 所示門是滑槽氐上的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，从而方程 ()的两根为y12p p22pb，从而y%y?2p.因为M(x0,y。)在直线I上，所以Xo2 p.因此，线段 PQ 的中点坐标为(2P, p).所以p (2 p) b，即b 22p.由知p 2b 0,于是p 2(22p)0,所以在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑:(1 )利用判别式