2019-2020学年河南省信阳市高一上学期期末数学试题(解析版)

1、【点睛】第 1 1 页共 1717 页2019-2020 学年河南省信阳市高一上学期期末数学试题一、单选题1 1 已知全集U 123,4,集合A 1,2, B 2,4,则eu(A B)()f (x)1 x2,g(x)1 x , 1 x【答案】D D【解析】逐项判断每组函数的对应法则与定义域是否都一样，即可求解【详解】A.A. f(x)f(x)的定义域为R，g(x)的定义城为x|x R且x 0，故 A A 错误；B.B. f(x)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为0,)，故 B B 错误；C.f ( 1)1，g( 1) 1，对应法则不同，故C错误；D.f(x)D.f(x)的定义域为1,1，

2、g(x)的定义域为1,1，A A 3B B.3,4C C 1,3,4D D 4【答案】 A A【解析】 按照并集、补集定义，即可求解 【详解】A B1,2,4,eJ(AB)故选: :A.A.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题2 2 下列函数为同一函数的是()A A f(x：)1,g(x)x0B B f (x) x,g(x)Gx)2Cf(x；)x,g(x)x2D D 第2 2页共 1717 页且f (x) g(x) 1 x2. .故选 D.D.第3 3页共 1717 页本题考查两个函数是否相等，不仅要判断对应法则是否相同，还要判断定义域是否一样, 属于基础题. .3 3 .方程log5X x

3、20的根所在的区间是()A A.2,3B B.(1,2)C C.3,4D D .(0,1)【答案】B B【解析】设f Xlog5x x 2，方程log5x x 20的根就是函数f xlog5x x2的零点，因为f xlog5x x2是单调递增函数，且f 12 0,f2log520，所以函数f xlog5x x 2的零点所在区间A A, B B 为正方体的两个顶点，M M , N N, Q Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线ABAB 与平面 MNQMNQ 不平行的是( () )【答案】A A【详解】对于 B B 项， 如图所示， 连接 CDCD， 因为 ABAB /CDCD ,M,Q,

4、M,Q 分别是所在棱的中点， 所以 MQMQ /CDCD ,所以 ABAB/ MQMQ,又 AB?AB?平面 MNQMNQ , MQ?MQ?平面 MNQMNQ，所以 ABAB/平面 MNQMNQ , 同理可证，C C, D D 项中均有ABAB/平面 MNQ.MNQ.故选：A.A.是(1,2)，因此方程log5x x0的根所在区间是(1,2)，故选 B.B.4 4 .如图，在下列四个正方体中,【解析】利用线面平行判定定理B B、C C、D D 均不满足题意，从而可得答案.第4 4页共 1717 页本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题.5.5. 过直

5、线2x y 40与x y 50的交点，且垂直于直线x 2y 0的直线方程是（ ）A.A.2xy 8 0B.B.2xy 8 0C.C.2xy 8 0D.D.2xy 8 0【答案】A A【解析】两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果 【详解】2x y 4 0一由得两条直线交点坐标为：1,6x y 5 0又所求直线与x 2y 0垂直直线斜率为：2所求直线为：y 62x1,即：2x y 80本题正确选项：A【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标. .6 6.已知函数沧）节怎的值域为同，则实数日的取值范围是（

6、）第5 5页共 1717 页1：B.(-12)C C.D D.(致T【答案】A A 【解析】由于切时，乐上0,所以?l-2a+ 3a0,解得讣一】卫27 7.函数f x x +ln|x的图像大致为(【答案】A A【解析】先判断函数为偶函数排除BC;再根据当x 0时，f(x)到答案 【详解】f x x2In x f x x2ln x x2ln x f (x)，偶函数，排除BC;当x 0时，f (x)，排除D故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案 8 8 .定义:符合f xx的x称为f x的一阶不动点，符合f f xx的x称为f x的二阶不动

7、点.设函数f X x2bx c,若函数fx没有阶不动点，则函数f X二阶不动点的个数为()A A .四个B B.两个C C .一个D D.零个【答案】D Dl-2a 0,排除D得A A .C C.D D.第6 6页共 1717 页【解析】试题分析：Q f x开口向上，且它没有不动点，f xx,第7 7页共 1717 页f f x f x x，即f X也没有二阶不动点.【考点】函数的性质.9 9 已知某四棱锥的三视图如图所示，三角形的直角边和正方形的边长都为1 1，则该四棱锥的外接球的表面积为()A A .3B B.6C C. 9 9D D. 1212【答案】A A【解析】根据三视图的特征，在正

8、方体中确定出满足条件的直观图，其外接球即为正方体的外接球，即可求解 【详解】由题意可知，可以在正方体中考虑这个问题如图，四棱锥P ABCD即为所描述的四棱锥，故该四棱锥的外接球即为正方体的外接球二2R .3，故该四棱锥外接球的表面积为S 4 R23 【点睛】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，在三视图与直观图转化过程中，以一个正方体为载体是很好的方法，使得作图更直观，考查空间想象能力，属于中档题故选: :A.A.第8 8页共 1717 页1010.已知函数f (x)|X 1|,x, 0log2x ,x 0，若方程f(x)a有四个不同的解x-i, x2, x3, x4,第9 9页共 1717

9、页11，+且X X2 X3X4， 贝y X1X2的取值范围是（）X3X4C 1A A 0,B B0,1C C 0,1D D 0,1)222【答案】C C【解析】做出函数的图像，不妨设X4X2X3X4，由图像可得x-ix2的运算法则可得X3X4 1且X4（1,2，利用对勾函数的单调性，即可求解【详解】f f （X X）的图象如图，不妨设X1X2X33X4 11 12X3X421X1X2- -X4,X3X44-lOg2X4(0,1，二X4(1,2, 2X4-0,1X42故选: :C.C.4 1; X.Xzl1_3j 3斗&旳1 234r-1-2-3【点睛】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断

10、函数交点问题，属于中档题1111已知点P（3，a），若圆0:x y 4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆0上,则a的取值范围是（）2，根据对数第1010页共 1717 页A A.( 3.3,3 .3)B B. 3 3,3 3C C.(, 3 3)(3 3,),3.33 3,【答案】B B【解析】根据已知用相关点法, 求出PA中点M的轨迹方程，又有M点在圆匕可得M点轨迹与圆有公共点，求出a的范围. .【详设A x。，y。，PA的中点M (x, y)，由已知有xy04,x03，解得2y0aJ2即PA的中点的轨迹为圆又线段PA的中点也在圆O上，两圆有公共点,故选: :B.B.【点3，解得3.3 a

11、 3 3. .本题考查动点轨迹方程的求法，以及圆与圆的位置关系，属于中档题第1111页共 1717 页MA MB知，四边形MACB为正方形，故|MC|MC | |2 2，若直线 I I 上总存在点 M M 使得过点 M M 的两条切线互相垂直，只需圆心(1(1 2)2)到直线l的距离dI Im 2 2m 2 44 4 的22d d“八 2 2三2，即 m m 8m8m 2020 0 0, /.2 m 10，故选 C C.(m(m 2)2) (m(m 1)1)点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：(1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；

12、(2)直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；(3)直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小.二、填空题log3(x 1)1313 函数f(x)- -的定义域为_x【答案】(1,0) U(0,)【解析】 根据函数的限制条件，列出不等式，即可求解【详解】x 0,x 10 x(1,0)(0,)故答案为: :x ( 1,0)(0,). .1212 .已知直线I:(m2)x (m 1)y 4 4m 0上总存在点M，使得过MC:x2y22x4y 30的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是A A .m1或mB B.2 m 82 m 10D D.m点作的圆: )2或由AMB MAC MBC90

13、及BCBC, MCMC ,第1212页共 1717 页【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题 1414.函数 f f (x)(x)是定义在 R R 上的奇函数，当x 0时, ,f(x) x(1 x)则当x 0时, ,f(x) _. .【答案】x(x 1)【解析】 设x 0时，x 0,则f( x) x(1 X)，再化简即得解 【详解】设x 0时，x 0,则f ( x) x(1 x),所以f(x) x(1 x), f (x) x(x 1). .故答案为：x(x 1)【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式,水平 1515 德国数学家黎曼 18591859 年向科学院提交了题目为论小于某

14、值的素数个数的论文井提出了一个命题，也就是至今未被证明的著名的黎曼猜想x过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为（X）的结论. .若根据In x欧拉得出的结论，估计 10001000 以内的素数的个数为 _ . . （lg e 0.43429，计算结果取整数）【答案】145145【解析】 求出x 1000时，求出（x）的值，即可求解. .【详解】（1000）型1000耳1000.43429145In 1000Ig10003故答案为：145. .【点睛】本题以数学文化为背景，考查对数换底公式求值，属于基础题. .1616 .已知直角ABC,ABC 90,AB 12,BC 8,D, E

15、分别是AB,AC的中点，将ADE沿直线DE翻折至PDE，形成四棱锥P BCED 则在翻折过程中，意在考查学生对这些知识的理解掌握. .著名数学家欧拉也曾研究第1313页共 1717 页DPE BPC:PE BC:PD EC;平面PDE平面PBC 不可能成立的结论是_. .【答案】2【解析】Rt PDE,ta n DPE ,在PBC中求解BPC，根据条件可证 BCBC 丄平38面 PBDPBD，进而有PBC 90 , tan BPC，根据边的关系PB PD DB 12,PB可得出DPEBPC，不成立；BC/DE，判断不成立；当PD BD时，可得出PD CE,可能成立；作出平面PDE与平面PBC的

16、交线，进而求出二面角的平面角，并判断平面角不为直角，所以不成立 【详解】如图所示：第1414页共 1717 页 F、”撐CDE 2易知tan DPE, /DE PD,DE BD,PD 3PD BD D,二DE平面PDB, BCBC 丄平面 PBDPBD ,PBC 90, /PB PD DB 12,2由 DEDE / BCBC , PE与BC所成角为PED 90，不成立；3当PD BD时，可得PD平面DBCE,PD CE,即可能成立；4平面PDE和平面PBC交于点P,由线面平行性质定理可知两个平面的交线丨/ / BC / /DE,l PB，l PD,BPD就是两个平面所成的平面角，又 TPD B

17、D, BPD为锐角，不成立 综上所述，不成立的有 故答案为： 【点睛】本题以平面图形翻折为背景，考查空间角的大小关系、线面垂直、面面垂直的判断，要注意翻折前后的不变量，垂直间的相互转化，属于较难题 三、解答题1717已知AX|x24x 0,B x|x 2| 1,C x|(x 1)(x a) 0. .(1) 计算A B,A B；(2) 若C A，且aT，求实数a的取值范围 【答案】(1 1)AUB R,A B (0.1)(3,4)(2 2)1,4【解析】(1 1)化简集合，按照交并集的定义，结合数轴，即可求解；(2 2)对集合C是否为分类讨论，再结合已知，确定集合C端点位置，即可求解【详解】二t

18、an BPCBCPB8 2PB 3，不成立;第1515页共 1717 页(1)A (0,4), B (,1)(3,), AUBR,A B (0,1)(3,4). .(2 2)若a 1 ,C，显然合乎题意；若a 1，则C (1a)，要C A，则1 a 4;故a的取值范围是1,4. .【点睛】本题考查集合间的运算，考查集合关系求参数，要注意空集的性质，属于基础题. .1818 . (I)求过点 A A (2 2, 6 6)且在两坐标轴上的截距相等的直线m m 的方程；(n)求过点 A A ( 2 2, 6 6)且被圆 C C: (x x - 3 3)2+ + (y y-4 4)2= 4 4 截得的

19、弦长为2.3的直线 I I 的方程.【答案】(I) 3x3x - y y = 0 0 或 x+yx+y - 8 8= 0 0; ( n ) x x= 2 2 或 3x+4y3x+4y - 3030= 0 0.【解析】(I I)分成直线过原点和不过原点两种情况，求得过A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 (IIII)先根据弦长求得圆心到直线的距离 分成直线I斜率不存在和存在两种情况，求得直线I的方程 【详解】(I I)当直线 I I 在两坐标轴上的截距都等于0 0 时，斜率 k k= 3 3,直线 I I 的方程为 y y= 3x3x；当直线 I I 在两坐标轴上的截距不等于0 0 时，x y设

20、直线 I I 的方程1，把点 A A (2 2, 6 6)代入求得 a a = 8 8,a a故直线 I I 的方程为-1即 x+yx+y - 8 8 = 0 0,8 8故直线 I I 的方程为 3x3x- y y= 0 0 或 x+yx+y - 8 8= 0 0 ；(IIII )圆 C C : (x x - 3 3)2+ + (y y- 4 4)2= 4 4 的圆心 C C ( 3 3, 4 4),半径 R R= 2 2,直线 I I 被圆 C C : (x x- 3 3)2+ + (y y- 4 4)2= 4 4 截得的弦长为2、3,故圆心 C C 到直线 I I 的距离 d d= 1 1

21、,当直线 I I 的斜率不存在时，直线 x x= 2 2 显然满足题意，当直线 I I 的斜率存在时，可设 y y- 6 6 = k k (x x- 2 2),即 kxkx- y+6y+6 - 2k2k= 0 0,解可得，k k第1616页共 1717 页此时直线 I I : 3x+4y3x+4y- 3030 = 0 0,综上可得直线 I I 的方程 x x= 2 2 或 3x+4y3x+4y - 3030= 0 0.【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查点到直线距离公式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题 1919 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有

22、一家公司现有职员.人(140.140. ；420420，且.为偶数)，每人每年可创利万元 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员 1 1 人，则留岗职员每人每年多创利|，万元，但公司需付下岗职员每人每年匚-怡万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获4得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？【答案】见详解【解析】【详解】 设裁员-人，可获得的经济效益为 万元，则| : | - = - : :1又 140.140.； 420,420, 7070：210.210.(1)(1)当 00農一盹； W W，即即 7070 ,即 140140：210210 时，、二, ,取到最大值；辣

23、上所述当70缶询时，应栽员口-P 人T当14.QiT210时应就员k52020 如图，四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD,AD/BC,AB AD AC 3,PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM 2MD,N为PC的中点. .(1)(1) 证明：MN /平面PAB;(2)(2) 求点A到平面 PMNPMN 的距离；(3)(3) 求直线AN与平面 PMNPMN 所成角的正弦值依题意第1717页共 1717 页【答案】（1 1）证明见解析（2 2）心（3 3）色卫525【解析】（1 1）取PB中点G，连接AG, NG，根据已知条件，可证四边形AMNG为平 行四边形，即可得证结论；（2 2）点A

24、到平面 PMNPMN 的距离，即为点A到平面PCM的距离，求出PCM，ACM的面积，Vp ACMVA PCM等体积法，即可求出结论；（3 3）由（2 2）的结论，得出直线与平面所成的角，解直角三角形，即可求解【详解】（1 1）证明：取PB中点G，连接AG, NG,1 N为PC的中点，二NG/BC，且NG - BC 2,22又AM AD 2，且AD/BC,31 AM /BC，且AM BC，2，则NG/AM，且NG AM,-四边形AMNG为平行四边形，-MN / /AG. .又 TAG平面PAB. .MN平面PAB,-MN /平面PAB. .（2）取BC的中点H，连接AH,TABAC,-AHBC且

25、AH.5 ,四边形AHCM是矩形，-CMAD，又TPA平面ABCD, - PA CM-CM平面PAM且CMAH、5,过点A作AF平面 PMNPMN 于F,则AF即为点A到平面 PMNPMN 的距离. .3SACMPA3SPCMAF,3312.5 4 AF1、5,4222, AF415 22 5(3 3)连接AN,NF由(2 2)知T VPACMVA PCM,第1818页共 1717 页ANF即为直线AN与平面 PMNPMN 所成的角，第1919页共 1717 页在Rt PAC中，PA 4,AC 3，二 PCPC 5 5,又:N是PC的中点，15 AN 2PC2，所以直线AN与平面 PMNPMN

26、 所成角的正弦值为 冬 V .25【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到面距离，以及直线与平面所成的角，解题的关键是等体积法的应用，属于中档题.f.f2121.已知函数 f(x)f(x)满足f(x) log2x log2(ax 1). .(1) 当 a a 1 1 时，解不等式f (x) 1；1 3(2) 设a 0，若对t-,，函数 f(x)f(x)在区间t,t 1上的最大值与最小值的差2 2不超过 1 1,求a的取值范围. .2【答案】(1 1)x|0 x 1(2 2),3【解析】(1 1)当 a a 1 1 ,f (x) log2(x 1),x (0,)，由 f f (x)(x)的单调性

27、，即可求解；1(2 2)a 0,f(x) log2(x -),x(0,),a0,由 f(x)f(x)单调性求出在区间t,t 1a1 3上的最大值与最小值，利用其差不超过1 1，求出关于a,t的关系式在t ,恒成立，二sin ANFAF 8 = 5AN 25第2020页共 1717 页2 2转化为关于t的函数最值与参数a关系，即可求解. .【详解】第2121页共 1717 页x 0(1 1)1由题意可得log211，得丄1 2xxx 10解得彳x|0 x 1.11(2 2) 当0X1X2时，aa,%X2lOg21a. 1 log2a,%X2 f(f(X)X)在1 1(0,)上单调递减，函数 f(x)f(x)在区间t,t 1上的最大值与最小值分别为f(t), f(t 1),1 1即-a 2( a)tt 11 2整理得at2(a 1)t 1 0对任意t 恒成立,2 30，二函数y at2(a 1)t1对称轴方程为x1 2at2 (a 1)t1在区间上单调递增，131二t时，y有最小值一a. .242出31 c2由一a 0，得a -,4232故a的取值范围为，. .3【点睛】 本题考查了对数函数的运算法则、单调性、不等式的解法，考查恒成立问题，转化为求二次函数最值，考查了推理能力和计算能力，属于较难题2222 已知圆C的方程为x