2019届上海市延安中学高三三模数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1515 页2019 届上海市延安中学高三三模数学试题一、单选题11 1 .x 1是x -xA A .充分不必要2的()条件C C 充要D D .既不充分也不B B. 必要不充分必要【答案】B B【解析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。【详解】1设P：x 1对应的集合是A ( ,1)，由x2解得x 0且x 1x1q：x2对应的集合是B , 1 U 1,0，所以Bn A，x1故x 1是x 2的必要不充分条件，故选 B B。x【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法一一集合关系法。设A x x p，B x x q，如果A B，则p是q的充分条件；

2、如果AnB则p是q的充分不必要条件；如果B A，则P是q的必要条件；如果Bn A，则P是q的必要不充分条件。/ 11 1、22 2.已知无穷等比数列an的公比为 2 2,且im()，贝ya1a3a2n 13/ 111、im( )()na2a4a2n124A .-B.C C.1D D.333【答案】A A【解析】 依据无穷等比数列求和公式，先求出首项印，再求出a2，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。【详解】11因为无穷等比数列an的公比为 2 2，则无穷等比数列的公比为 。an2第2 2页共 1515 页(x 1)22x 1，则f(1) g(1)()B B. 0 0【答案】C C【解析】先根

3、据奇偶性，求出f (x) g(x)的解析式，令【详解】【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性的应用。【答案】A A1由lim(11-)2有，a12，解得a12，所以a24,nda3a2n1311431nim(丄1丄)41丄1，故选 A Aona2a432n34【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。3 3 .设 f(x)f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x) g(x)即可求出。因为 f(x)f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f(x)g(x) (x 1)22x1,用x替换x，得f ( x) g( x)1)22x 1,化简得f(x) g(x) (x 1

4、)22即f (x) g(x)2x1(x 1)2令x 1，所以f (1) g(1)200故选 C Co4 4.已知正三角形ABC的边长为 2 2,uiuv的动点，并满足AED为边BC的中点,E、F分别为边AB、AC上uuv2 CF，则 DfDfDF7的取值范围是(B B.(1C. -,0D D.(,0第3 3页共 1515 页【解析】建立平面直角坐标系,求出直线AB : y . 3( x1)，AC: y ,3(x 1)设出点E(m,、3(m 1), F(n, ,3(niuruuu1)，通过|AE| 2 |CF |，找出m与n的关系.通过数量积的二次函数，禾U用二次函数的相关知识，求出其值域，即为

5、DE DF的取值范围.【点睛】第 3 3 页共 1515 页【详解】 以 D D 为原点，BCBC 所在直线为X轴，ADAD 所在直线为y轴建系，设A(0,、.3),B( 1,0),C(1,0)，则直线AB:y .3(x 1),AC : y 3( x 1)设点E(m, ,3(m 1),F(n, ,3(n1)，1 m0,0n1uuu-UUL、3(n所以AE(m, 3m), CF (n 1,1)uuuUUUO22由| AE |2|CF|得m24(n 1)2，即m2(n 1),LujurUULT721所以DEDF mn 3(m 1)(n 1)4n27n 34(n 4)2丄8 16172由1 m2(n

6、1)0及0 n 1，解得n 1，由二次函数y 4(n)281 1iuur rnr1 1的图像知，y -,-_，所以DEDF的取值范围是2，花故选 A A .【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用.二、填空题5 5 不等式VT7 1的解集为_【答案】1,2)【解析】通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可。【详解】由X 11得0 x 11，解得1 x 2,所以解集是1,2)。【点睛】本题主要考查无理不等式的解法。6 6.点(2,1)到直线3x 4y 0的距离为_【答案】2 2【解析】直接根据点到直线的距离公式即可求出。【详解】13 2 1 41依据点到直线的距离公

7、式，点(2,1)到直线3x 4y 0的距离为2=2。V34丄16第5 5页共 1515 页本题主要考查点到直线的距离公式的应用。27 7在(X2)6的二项展开式中，所有项的系数的和为 _X【答案】1 12【解析】设f(x) (x2-)6，令X 1，f (1)的值即为所有项的系数之和。X【详解】2设f (x) (X2)6，令X 1，X所有项的系数的和为f (1)=(1-2)61。【点睛】本题主要考查二项式展开式所有项的系数的和的求法一赋值法。一般地,对于f(x) (ax b)n，展开式各项系数之和为f (1)，注意与 二项式系数之和”区分。8 8 若复数z 1 3i(i是虚数单位)，则z(Z 1

8、0)_【答案】30i【解析】直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可.【详解】QZ=1 3i，z(Z 10)(1 3i)(1 3i 10)30i【点睛】本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用.9 9 .已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9 9 和15，则该圆锥的体积为 _【答案】1212【解析】依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求 出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积。【详解】【点睛】设圆锥的底面r，母线长为I，高为h，所以有r29rl 15解得h I2r2、52324故该圆锥的体积为V二212r h -3412。3第6 6页共 1515 页101

9、0 从 2 2、3 3、5 5、7 7、1111、1313 这六个质数中任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。第7 7页共 1515 页(结果用最简分数表示)15,枉取两个数，和是质数”的事件有(2,32,3), (2,52,5),【点睛】 本题主要考查古典概型的概率求法。【答案】i i【解析】作出不等式组表示的平面区域， 将直线进行平移，利用z 2x可求出目标函数的最大值。【详解】由z 2x y，得y 2x z，作出可行域，如图所示:0 x 1c，解得 ，代入直线z 2x y，得z0y 1【点睛】【答案】【解析】15依据古典概型的计算公式,分

10、别求 任取两个数”和 任取两个数，和是质数”的事件数,计算即可。【详解】(2,11(2,11 )共 3 3 个，所以任取两个数,这两个数的和仍是质数的概率是31P15 5。1111满足线性的约束条件x的目标函数z 2x y的最大值为2本题主要考查简单的线性规划问题的解法平移法。1212 .设数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n,都有an02n0,则Sn2任取两个数”的事件数为n C6y的几何意义,2x z,由图像知，当直线经过点C时，截距最小,此时z z 取得最大值。平移直线y第8 8页共 1515 页第9 9页共 1515 页ai【答案】【解析】 利用行列式定义，得到an与Sn的关系，

11、赋值n 1，即可求出结果。【详解】an02nSn2n Sn2nan(Sn2n) 10,令n得a1(a12)0，解得a1【点睛】本题主要考查行列式定义的应用。1313 .若关于x的不等式log1(4 0，设t2x1,4t， 由函数y4t在1,上递减,1所以-4t 1 t【点睛】3，故实数的取值范围是本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法分离参数法。1414 .已知一组数据1, 1 1, 0 0,2,x的方差为1010,则x【答案】【解析】 依据方差公式列出方程，解出即可.【详解】0 0,x的平均数为乙上5所以22510第1010页共 1515 页第1111页共 1515 页解得x

12、 7或x 8【点睛】本题主要考查方差公式的应用.x2y21515 .设Fi、F2分别为椭圆F:1的左、右两个焦点，过Fi作斜率为 1 1 的直43【解析】由椭圆的标准方程，求出焦点Fi的坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立,【详解】【点睛】法，注意直线过焦点，位置特殊，采取合适的弦长公式，简化运算。11616.已知关于x的方程a |sinx| sinx在区间0,2 上恰有两个解，贝U实数a的取2值范围是_3 1【答案】(二丄)2 21【解析】先换元，令t si nx，将原方程转化为att,利用参变分离法转化为研2究两函数的图像交点，观察图像，即可求出.【详解】线，交于A、B两点，贝U | AF2

13、1|BF2| _【答案】32求出弦长,利用定义可得| AF2| BF2| AB4a，进而求出| AF2| | BF2|。3x2Xi2y34(xX2由定义有,所以IAF2|1知，焦点Fi( 1,0)，所以直线I2 21)12，即7x 8x 80，设7，故AB| AF2| | BF2|BF2| 4 22aAB247e(xiX2)4a,32072y y x x 1 1，代入4A(xi, yj, B(X2, y2),1/8、24()277本题主要考查椭圆的简单几以及直线与椭圆位置关系中弦长的求第1212页共 1515 页1因为关于x的方程a | si nx|si nx在区间0,2 上恰有两个解，令t

14、si nx,所以21方程a t - t在t 1,0 U 0,1上只有一解，即有2第1313页共 1515 页求异面直线A1C与直线AD1所成的角的大小;t1t1直线y a与y1,0 U 0,1的图像有一个交点,综上实数3 1a的取值范围是(,一). .2 2【点睛】本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力,方程有解问题点问题，是常见的转化方式.三、解答题1717 .如图，在正四棱柱ABCD A1BQ1D1中，已知AB 1,BB12. .第1414页共 1515 页(2)求点C到平面AB1D1的距离 第1515页共 1515 页【答案】(1 1)arccos30; (2 2)4. .103uji

15、rujun【解析】(1)建立空间坐标系，通过求向量AC与向量AD1的夹角，转化为异面直线AC与直线AD1所成的角的大小；( (2 2)先求出面AB1D1的一个法向量，再用点到面的距离 公式算出即可.【详解】 以A为原点，ABAD，4A所在直线分别为x, y,z轴建系,设A(0,0,0), C(1,1,2), A(0,0,2), D1(0,1,0)uuuu所以AC(1,1,2), ,AD1(01,uuur uuuurA C AD1uuur uuuu2)uuur uuuu cosA1C,AD1112(2)AC AD16、53010所以异面直线AC与直线AD1所成的角的余弦值为30，异面直线AC与直

16、线AD110所成的角的大小为730arccos10uuuu(2)因为AD1(01,2),umrB1D1(1,1,0)，设(x,y,z)(x,y,z)是面ABD的一个法向量,所以有vnvnuuuvAD1uuuu/B1D12z1,z，故n (1,1丄),2uuuu又DC(10,2)，所以点【点睛】本题主要考查意在考查学生的数学建模以及数学运算能力.1818 某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区，如图,已知两个购物广场的占地都呈正方形，它们的面积分别为1313 公顷和 8 8 公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积为 $公顷和 S,S,公顷；由购物广

17、场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为S3公顷和第1616页共 1515 页（1）设BAC，用关于 的函数S（）表示SS2S3S4，并求S（）在区间（0,）上的最大值的近似值（精确到 0.0010.001 公顷）；（2 2）如果 S!S!S2S3S452，并且S,S2，试分别求出s、S S2、S3、S4的值. .【答案】（1）S,S2$3S4422 .26 sin，最大值52.198公顷；（2 2）1717、2525、5 5、5.5.【解析】（1 1）由余弦定理求出三角形 ABCABC 的边长 BCBC,进而可以求出S1，S2，由面积 公式求出S3，S4，即可求

18、出S（），并求出最值；（2 2）由（1 1）知，S1S242，S3S4， 即可求出S3、S4，再算出sin ,cos，代入（1 1）中表达式求出S1，S2。【详解】(门 由余弦定理得，BC213 8 2 ,13 ,8 cos 21 4.26 cos所以，S121 4 26 cos，同理可得S221 4 26cos()=21 4 26 cos又SsS4丄.8 sin.26 sin2所以S( )=S1S2S3S4=42 2 26sin故S、S S2、S3、S4的值分别是 1717、2525、5 5、5 5。【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函数平方关系的应用,故S(）在区间（0,

19、）上的最大值为422 26，近似值为52.198。(2)由（1 1）知,SS242，S3S4，所以S3S4=5，进而sin5.26，S2知，cos 0，cos3=21417, S221425意在考查学生S4公顷. .第1717页共 1515 页的数学建模以及数学运算能力。1919 在本题中，我们把具体如下性质的函数f(x)f(x)叫做区间D上的闭函数：f(x)f(x)的定义域和值域都是D:f(x)f(x)在D上是增函数或者减函数. .(1 1)若f(x) tan( x)在区间1,1上是闭函数，求常数 的值；故满足在区间1,9上是闭函数只有f (x) 3log3x x。【点睛】(2)找出所有形如

20、f (x)agxb x的函数(a,b都是常数)，使其在区间1,9上I答案】(1)- ；(2)f (x) 3log3x x【解析】(1 1)依据新定义,f f (x)(x)的定义域和值域都是1,1，且 f(x)f(x)在1,1上单调,建立方程求解；(2 2)依据新定义，讨论 f(x)f(x)的单调性,列出方程求解即可。【详解】(1(1)当0时,由复合函数单调性知，f(x) tan(x)在区间1,1上是增函数,即有tan()tan2 21，解得同理，当0时，有tan(tan2 21，解得1；，综上，(2)f(x)f(x)在1,9上是闭函数，则f(x)f(x)在1,9上是单调函数,当f(x)f(x)

21、在1,9上是单调增函数，则f(1) b 1 f (9)2a 3b9，解得3，检验符合;1当f(x)f(x)在1,9上是单调减函数，则f(1) b 9 f (9)2a 3b1，解得139f (x) 13log3x.x在1,9上不是单调函数，不符合题意。第1818页共 1515 页本题主要考查学生的应用意识,利用所学知识分析解决新定义问题。2020 .如图，己知圆1：x22y r2(r 0)和双曲线21(b0)，记第1919页共 1515 页1与y轴正半轴、X轴负半轴的公共点分别为A、B，又记1与2在第一、第四象限的公共点分别为C、D. ./ (1)若r = 2，且B恰为2的左焦点，求2的两条渐近

22、线的方程；uur uuur(2)若r = 2，且AC AD (m, 5)，求实数m的值；(3)若B恰为2的左焦点，求证：在x轴上不存在这样的点P，使得PA PC 2.019. .【答案】(1 1)y；2x；(2 2)m10 2 502 5；(2 2)见解析.2【解析】(1 1)由圆的方程求出B点坐标，得双曲线的c，再计算出b后可得渐近线方程;(2 2)设C(X1, yj, D(X2,y2)，由圆方程与双曲线方程联立， 消去x后整理，可得y1y?,PC PD (x1x2,y1y26)，由AC AD (m, 5)先求出b，回代后求得C,D坐标，计算mx1x2；【详解】(1(1)由题意圆方程为x2(

23、y 1)24，令y 0得x.3 , B(一3,0)，即c 3,b、 c2a23 1a a 1 1, 渐近线方程为y 2x.( (2 2)由(1 1)圆方程为x2(y1)24,A(0,3),2x设C(X1, %), D(X2, y2)，由2x(y 1)24得，(b21)y22b2y 2b20()(),(3(3)由已知得 b b1,设eg, yj, D(X2,y2),由圆方程与双曲线方程联立，消去x后整理，可解得2b2ry22 2马1 p 1，从而可得brAC2，由PAPCAC2，可知满足要求的P点不存在.41第2020页共 1515 页yi2b272厂，y22b2b21uuurACujurAD化

24、，3)(X2,y23)(XiX2, yi鸟26)(m, 5),所以y1y25，解得b1,方程（）为2 y22y20,即y215，代入双曲线方程得21 y2乙5, /C,D在第一、四象限,- X10 2 5- ?X210 2、5-?X1X210 2、5,10 2 5(3)3由题意A（0,3），B(r,0)，cb2c21,2/33设C(X1, yj D(X2, y2)2X由2X2y_b2得:b21(y 2)2(1 b2)y2rb2b2-r2b24由b2厂得3r2y4rb2b40，解得y12b2ry22b23r，2X1yLb24b22r所以AC2X1(y13、23r)323r)4(b232、22r4b22rJ-2rACPAPCAC当且仅当P,A,C三点共线时，等号成立,第2121页共 1515 页 - - x x 轴上不存在点P，使得PA PC 2.019.【点睛】本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题考查向量的加法运算，本题对学生 的运算求解能力要