2019届四川省成都石室中学高三适应性考试(一)数学(理)试题(解析版)

1、第 1 1 页共 2121 页2019届四川省成都石室中学高三适应性考试（一）数学（理）试题、单选题1 1 .已知集合A=x| 0 x 2 , B=【答案】B B【解析】 根据交集的定义，即可求解 【详解】因为A x|0 x 2, B 1,0,1,2，则AI B 0,1,2,故选: :B. .【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题 22 2设i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于 （）1 iA A .第一象限B B.第二象限C C .第三象限D D .第四象限【答案】A A【解析】利用复数的除法运算化简 z z，求得 z z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限【详解】对应的点的坐标为1

2、,1，位于第一象限故选：A.A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题B. 【答案】A A【解析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值【详解】1,0,1,2，则A B=(A A.0,2B B.0,1,2C C.1,2D D.1,0,13 3 .计算log25sincos等于第 1 1 页共 2121 页原式本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题4 4 党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能 共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象 为考察共享经 济对企业经济活跃度的影

3、响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,发展有显著效果的图形是（）a号野朕A A aihaihQ Qri 1 r1C口V*D D 04CU1-【答案】D D【解析】 根据四个列联表中的等高条形图可知,图中 D D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选面ABCi所成角的余弦值为（）【答案】C C【解析】 在长方体中AB/C1D1,得DDi与平面ABCi交于Di，过D做 DODO ADADi于第 2 2 页共 2121 页lOg2 223log222故选：A A【点睛】cos 23

4、32.lOg2子cos 3最能体2,AA3， 则直B B.C壬第 3 3 页共 2i2i 页0,可证DO平面ABCP，可得DDiA为所求解的角，解Rt ADDj，即可求出结论 【详解】在长方体中AB/CQ，平面ABCi即为平面ABCP,过D做 DODO ADAD!于0，Q AB平面 AADQAADQ，DO平面AA| DiD, AB DO, AB I ADiD，DO平面ABCQi，DDiA为DDi与平面ABCi所成角,在Rt ADDi,DDiAAi3, AD 2, ADi.5，直线DDi与平面ABCi所成角的余弦值为 上5【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现 做”证”算”，三

5、步骤缺一不可，属于基础题. .6 6 执行下面的程序框图，若输出的S的值为 6363，则判断框中可以填入的关于i的判断条件是（）cos DDiADDi卫ADi、55故选: :C.C.第5 5页共 2121 页/礼A A.i 5B B.i 6C C.i 7D D.i 8【答案】B B【解析】 根据程序框图，逐步执行，直到S的值为 6363,结束循环，即可得出判断条件【详解】执行框图如下：初始值：S 0,i1,第一步：S011,i112,此时不能输出，继续循环；第二步：S123,i2 13，此时不能输出，继续循环；第三步：S347,i3 14，此时不能输出，继续循环；第四步：S7815,i4 15

6、，此时不能输出，继续循环；第五步：S151631,i5 16，此时不能输出，继续循环;第六步：S313263,i617，此时要输出，结束循环；故，判断条件为i 6. .故选 B B【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型 r rr r rr2r r r r7 7.已知平面向量a,b满足a = 2, b =1,a与b的夹角为 ,且（a+ b） （2a b）,则3实数的值为（）第6 6页共 2121 页A A .7 7B B.3C C.2D D.3第7 7页共 2121 页【答案】D D求解即可 【详解】r依题意得ar r由a b即390，解

7、得3. .故选：D. .【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题8 8.已知三棱柱ABC ARG 的 6 个顶点都在球 0 的球面上 若 AB 3, AC 4, AB AC,AA 12,则球 O 的半径为（）（）A A . 口7【答案】C C【解析】 因为直三棱柱中，ABAB = 3 3, ACAC = 4 4, AAAAi= 1212, ABAB 丄 ACAC,所以 BCBC= 5 5,且 BCBC为过底面 ABCABC 的截面圆的直径.取 BCBC 中点 D D，则 ODOD 丄底面 ABCABC,则 O O 在侧面 BCCBCCiB Bi9 9 .若

8、函数y 2sin 2xi的图象经过点石，则函数f x sin 2xcos 2x图象的一条对称轴的方程可以为( ( ) )371713A A .x一B B.x-C.xD D.x24242424【答案】B B【解析】由点，0求得 的值，化简f x解析式，根据三角函数对称轴的求法,i2求得f x的对称轴，由此确定正确选项 . .2彳cos13r20，得2ar2r rb 21 a b 0【解析】由已知可得ab 2a b 0,结合向量数量积的运算律，建立方程,内，矩形 BCCBCCiB Bi的对角线长即为球直径，所以2R2R=,12252= i3i3,i3第8 8页共 2121 页【详解】所以数对称轴的

9、求法，属于中档题1010 .已知F为抛物线C :y28x的焦点，点A 1,m在C上，若直线AF与C的另-个交点为B，则AB( () )A A .12B B10C C.9D D.8【答案】C C【解析】求得A点坐标， 由此求得直线AF的方程，联立直线AF的方程和抛物线的方程，求得B点坐标，进而求得AB【详解】抛物线焦点为F 2,0，令x 1，y28，解得y2、2，不妨设 A A 1,.1,. 2 2，则直线AF的方程为y红2x 22& x 2，由y222%2，解得1 2y 8xA 1,2 2 ,B 4, 4.2，所以AB . 4 124 2 2 2 9故选：C C【点睛】本小题主要考查抛

10、物线的弦长的求法，属于基础题- uuuiu1111.过点P（2、6,2-6）的直线I与曲线y、13 x2交于A,B两点，右2PA 5AB，则直线l的斜率为（）由题可知2sin 2120,f xsin 2xr 6令2x5k , k122得xk,k Z24237令k3，得x24故选：B Bcos2X? 2sin 2X6匚2x务本小题主要考考查三角恒等变换， 考查三角函【点第9 9页共 2121 页A A.23B B.2.3C C 23或2 3D-2 J3或J3i【答案】A A【解析】利用切割线定理求得|PA，AB|，利用勾股定理求得圆心到弦AB的距离，从 而求得APO 30，结合POx 45，求得

11、直线I的倾斜角为15，进而求得I的斜 率 【详解】曲线y；13一x2为圆x2y213的上半部分，圆心为0,0，半径为,13. .设PQ与曲线y.13x2相切于点Q，本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题2则PQ |PA |PB PA PA ABf|PA2|PO2|OQ235所以|PA5, AB2,O到弦AB的距离为,132、3，sin APO2/3齐APO 30，由于POx 45o，所以直线l的倾斜角为45o30o15o，斜率为tan15otan 45o30ota n 45otan 30o1 tan45otan30o23. .故选：A A【点睛】第1010页共

12、 2121 页2x1212.若函数f X x mx 2 e （e 2.71828为自然对数的底数）在区间1,2上不【答案】法，求得m的取值范围. .【详解】x 2f x e x 2 m x 2 m, 设g x x22 m x 2 m,要使f X在区间 1,21,2 上不是单调函数,即g x在（1,2）上有变号零点，令g x 0,2则x 2x 2 m x 1,令t x 12,3，则问题即m11t-在t 2,3上有零点，由于t-在2,3上递tt5 10增，所以m的取值范围是 一，一2 3故选：B B【点睛】与转化的数学思想方法，属于中档题、填空题64,231313 .在1 x 1 y的展开式中，x

13、 y的系数为【答案】60是单调函数，则实数m的取值范围是1035 10B B.7 7 2 3C C.2半3D D .理3【解求得f的导函数f X由此构造函数根据题意可知g在（1,2）上有变号零点 由此令g利用分离常数法结合换元本小题主要考考查方程零点问题的求解策略，考查化归【解析】根据二项展开式定理，求出（1 x）6含x2的系数和（1 y）4含y3的系数，相乘第1111页共 2121 页【详解】第1212页共 2121 页641 x 1 y的展开式中，所求项为：C(?x2C3y36- 4x2y360 x2y3,2x2y3的系数为60. .故答案为：60. .【点睛】本题考查二项展开式定理的应用

14、，属于基础题. .BCBC =3=3，以 A,A, B B 为焦点，且过 C,C, D D 两点的双曲线 的离心率为【答案】2 2【详解】e -2a本题正确结果：2【点睛】1515 .已知函数f(x) exex1，则关于x的不等式f(2x) f(x 1)2的解集为1【答案】(-，)3【解析】判断g x f x 1的奇偶性和单调性，原不等式转化为g 2x? x 1 g x 1，运用单调性，可得到所求解集.【详解】令g x f x 1，易知函数g x为奇函数，在 R R 上单调递增，f 2x f x 12 f 2x 1 f x 110,即g 2x g x 10,1414 .已知矩形 ABCDABC

15、D , AB=AB= 4 4【解析】根据代B为焦点，得2；又ACBC2a求得a，从而得到离心率 代B为焦点2cC在双曲线上，则ACBC2a又ACJAB2BC22a 2本题考查利用属于基础题第1313页共 2121 页 g 2x ? x 1 g x 112xx 1，即 x x 31故答案为：，3【点睛】 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.anan 12an 13an &1，则数列an的通项公式an _【答案】1 1的通项公式可得2n，再利用累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出an 1an结论 【详解】1 1-1 1 、由anan 12a

16、n 13an & 1，得2()an 1ananan 1丄 2，数列丄 是等比数列，首项为 2 2,公比为 2 2,a2a1an 1an11n11n 1 -2 ,n 2,2 ,an1ananan 11“ 11、11 、 ,z11、1()()L(-)ananan 1an 1an 2a2a1a1n 1n 212nn22L2 12 1 ,12n1，满足上式，an才1616 .已知数列an满足 61月23对任意n 2,n【解析】由1 13an 1an 1可得席an2（丄丄），禾U用等比数列anan 1第1414页共 2121 页故答案为12n1故回归方程为:4x 105第1515页共 2121

17、页【点睛】本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题 三、解答题1717 在国家 大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入 为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示试销价格x（元）4567 789产品销量y（件）898382797467已知变量x,y且有线性负相关关系， 现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为：甲$ 4x 53；乙$ 4x 105；丙$4.6x 104，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的 （1 1）试判断谁的计算结果正确？（2 2） 若由线性回

18、归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据 是 理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求 理想数据”的个数X的分布列和数 学期望 【答案】（1 1）乙同学正确3（2 2）分布列见解析，E X -2【解析】（1 1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点（x,y）代入验证，即可得出结论；（2 2）根据（1 1）中得到的回归方程，求出估值，得到理想数据”的个数，确定 理想数据”的个数X的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解【详解】（1 1）已知变量x,y具有线性负相关关系，故甲不正确，Q x 6.5, y 79，代入两个回归方程，验证乙同学正确，第1616页共 2121 页（2

19、 2）由（1 1）得到的回归方程，计算估计数据如下表:x4567 789y898382797467$898581777369理想数据”有 3 3 个，故理想数据”的个数X的取值为：0,123. .C3C3CT20，PXC；C；CT920C32C3CT20，PX30C3C3CT120第1717页共 2121 页是理想数据”的个数X的分布列X0 01231991P20202020【答案】（1 1） .5.5 ； （2 2） 4.4.（2 2）利用余弦定理求得cos CAB，由此求得sin DAC，进而求得sin ADC，利 用同角三角函数的基本关系式求得tan ADC. .【详解】E X【点0 1

20、2223丄20 20 20 20本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题以及离散型随机变量的分布列和期1818 .已知在平面四边形ABCD中，ABC（1 1）求AC的长；,ABAD, AB 1VABC的面积为-. .2(2)已知CDADC为锐角，求tan ADC. .【解析】（1 1）利用三角形的面积公式求得BC，利用余弦定理求得AC第1818页共 2121 页(1)在V ABC中，由面积公式:在VADC中，由正弦定理可得Q ADC为锐角tan ADC 4【点睛】 本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数

21、的基本关系式，属于中档题(2)若CAD 30，二面角C AB D为60，求异面直线AD与BC所成角的余弦值. .【答案】（1 1）证明见解析SV ABC12AB BCsinABCBC|2在VABC中，由余弦定理可得:2AC2AB2 .BC 2 AB | BC cosABC(2)在V ABC中，由余弦定理可得：cos CAB|AB|2AC2BC22辰2|AB|BC5sin DAC si n( DABCAB)sin2 CABsin DACcos CAB2.55ACCDsinADCsin ADC4.1717cos ADC 1 sin2ADCBC,DA DCDB. .171919 .如图，在四面体DA

22、BC中，AB第1919页共 2121 页（2） _!6【解析】（1 1）取AC中点F,连接FD,FB，得DF AC,ABBC，可得FA FB FC,可证VDFAVDFB，可得DF FB，进而DF平面ABC，即可证明结论；（2 2）设E,G,H分别为边AB,CD,BD的中点，连DE, EF , GF, FH , HG，可得GF/AD，GH /BC,EF /BC，可得FGH（或补角）是异面直线AD与BC所 成的角，BCAB，可得EF AB，DEF为二面角C AB D的平面角，即DEF 60，设AD a，求解FGH，即可得出结论 【详解】（1 1）证明：取AC中点F,连接FD,FB,由DADC,则D

23、FAC,Q ABBC,则FA FBFC,故VDFA 3DFB,DFBDFA 2Q DFAC,DFFB, ACFB F DF平面ABC,又DF平面ACD故平面ABC平面ACD（2 2）解法一：设G,H分别为边CD,BD的中点，则FG /AD,GH /BC，FGH（或补角）是异面直线AD与BC所成的角 设E为边AB的中点，贝VEF / /BC，由AB BC,知EF AB. .又由（1 1）有DF平面ABC, DF AB,EF I DF F,AB平面DEF, DE AB.,所以DEF为二面角C AB D的平面角，DEF 60,设DA DC DB a,则DF AD CAD -2第2020页共 2121

24、 页在Rt DEF中,EFa丄3二la2361从而GHBC EF三a26在RtVBDF中，FH!BDa2 2又FG1ADa,2 2从而在VFGH中，因FG FH,cos FGHFG 6因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为解法二：过点F作FM AC交AB于点M ,由(1 1)易知FC , FD , FM两两垂直,以F为原点，射线FM ,FC,FD分别为x轴,y轴，z z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F xyz. .不妨设AD 2，由CD AD, CAD 30,易知点 代C,D的坐标分别为A(0, J3,O),C(O, .3,0), D 0,0,1uuirL则AD (0, .3,1)r显然向

25、量k 0,0,1是平面ABC的法向量已知二面角C AB D为60,c c22uuur设Bm, n,0，则m2n23,AB (m,n 3,0)r设平面ABD的法向量为n x,y,z,1GHIt第2121页共 2121 页j,1, mUU T |k n| kn本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直， 考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题2 22020 已知Fi,F2分别是椭圆E:笃每a2b2iuvADuuvABvnvncos k,nn一3由上式整理得21解之得n .3(

26、(舍) )或n7 .3cos因4 Z6 7 /3门亍，0LULTUUUAD,CB异面直线uuuUUUCBllCUULUJUTADUJLTUUUAD CB3 _o2.32 -31(ab0)的左，右焦点，点P(P( 1#)1#)在AD与BC所【点第2222页共 2121 页2椭圆E上，且抛物线y 4x的焦点是椭圆E的一个焦点.()求a,b的值：(2 2)过点F2作不与x轴重合的直线|，设|与圆 x x2y y2a a2b b2相交于 A A, B B 两点，且uuv uuv与椭圆E相交于 C C， D D 两点，当F-IAF|B 1时，求FiCD的面积.【答案】(1 1)a . 2, b 1; (

27、2 2)1. .7【解析】(1 1)由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出a,b;(2)设直线|方程为x ty 1，联立直线与圆的方程可以求出t2，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积.【详解】2(1 1)y=4x焦点为 F F (1 1, 0 0),则 F F1( 1 1, 0 0), F F2(1 1, 0 0),2a=PF1+ P F2=272，解得a血,c = 1,b=1,l方程为x ty 1,A(X1,yJ,B(X2, y?)因为F1A FjB 1,所以=1 1，解得t2=-t2+13x=ty 1联立x22，得(t2+2)y2+2ty-1=0, =8

28、( t2+1)0 0y=12丫3+丫4设C(X3,3), B(X4,4)，则2tt2+21t22(n)由已知，可设直线x ty 12联立22得(t(t2x y 321)y1)y 2ty2ty 2 20 0，易知 0 0,则y1y2y22tt2+12t2+1uuuv uuvF1A F1B=(x11)(x21) y1y2=(ty1+2)(ty2+2)+yp2=(t2+1)y2+2t(y1+ y2)+4=2-2t2t2+1第2323页共 2121 页SFCD=1二F F2y3-y4、 .8(1+t2t2+2=467【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用,线与圆，直线与椭圆的位置关系问题.2

29、121 .已知函数f x xlnx（1 1）若a e，讨论f x（2）若f X有两个极值点同时考查利用根与系数的关系，解决直意在考查学生的数学运算能力.ax2x,a R, e 2.718282是自然对数的底数 的单调性;X,XX,X2，求a的取值范围，并证明: :x1x2x1x2 【答案】（1 1）减区间是0,1，增区间是e0,1，证明见解析 e【解析】（1 1）当a e时，求得函数f x的导函数f x以及二阶导函数f x,由此求得f x的单调区间 （2 2）令f（x）= 0求得a，构造函数xIn x，利用导数求得g x的单调X区间、极值和最值，结合有两个极值点,求得a的取值范围 将,x,x2

30、代入x Inx ax列方程组，由In为x2x1x2In x2X2In xxxx2【详解】(1)Q fInx ax Inxex,e 0，所以f x在(0,）单增,从而当0,1时，fex 0, f x递减,时，f x递增 (2)Inx ax 令In xx证得X/2x-ix2. .第2424页共 2121 页（I）求出直线I1的参数方程和曲线 C C 的直角坐标方程;第2525页共 2121 页人In x1 In x令g x，则g x xx故g x在0,e递增，在（e,）递减，1所以g Xmaxg e 注意到当x 1时g x 0,e所以当 a a 0 0 时，f x有一个极值点，1当0 a时，f x

31、有两个极值点，e1当a-时，f x没有极值点，e综上a 0,1e因为 X X!,X,X2是f x的两个极值点，In x-iax-i0In % a%所以1111In x2ax20In x2ax2不妨设为 X X2，得1 x1e x2，因为g x在（e,）递减，且X1X2X2,In xx2所以12In x2InX1X2-ax1x2X2X1X2In Xt2又In % In x2a x1x2aX1X2In %x2In为冷所以-x1x2XX2x1x2X-,x2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题22

32、22 .在平面直角坐标系xOy中，直线 h h 的倾斜角为 3030 ,且经过点A 2,1以坐标原点 O O 为极点，x x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I2: cos3，从原点 O O 作射线交I2于点 M M，点 N N 为射线 OMOM 上的点，满足OMON 12，记点 N N 的轨迹为曲线（I）求出直线I1的参数方程和曲线 C C 的直角坐标方程;第2626页共 2121 页C C.第2727页共 2121 页二曲线 C C 的直角坐标方程为 x x2-4x+y-4x+y2=0=0 (x x 工 0 . .将 1 11的参数方程代入 C C 的直角坐标方程中,2)24 2乜t (1 t)20,2 2 2二 t