2019届江苏省连云港市高三上学期期中考试数学试题(解析版)

1、第1页共 17 页2019 届江苏省连云港市高三上学期期中考试数学试题一、填空题1._已知集合A=1,3,B=1,2,m，若 B,则实数 m =_【答案】3【解析】试题分析：“,二 3.【考点】本小题主要考查集合的关系，考查学生的逻辑推理能力 点评：集合的关系是常考的内容，但难度一般较低2 .求 Iog21+ Iog42 = =_1【答案】【解析】根据对数运算公式，直接计算得出结果【详解】1 1= + log ,2 = -log.2 =-原式.【点睛】本小题考查对数运算，直接利用对数运算公式可计算出结一匚=.金-13 .若 tan 厶，且角 a 的终边经过点 P(x, 1)，贝 U x=_【答

2、案】2【解析】根据三角函数的定义，列方程，解方程求得的值【详解】1 1tana = _ = _根据三角函数的定义，有，解得.果属于基础题其中解方程即可求得未知数【解析】第 2 页共 17 页【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，利用三角函数的定义列方程，,r2 tmnct = - sina = - cos a =-的值属于基础题三角函数的定义是：.根据三角函数的定义，可以确定三角函数在各个象限的符号要注意正切值不存在的情况4命题：“x 1, x2 - 2 0 是_ 命题.(填 真”、假)”【答案】真【解析】利用特殊值，代入-验证命题的真假性【详解】如.时，故原命题为真命题【点睛】本小题主要考查

3、特称命题真假性的判断要使一个特称命题成立，只需要举出一个正面的例子来验证即可，属于基础题x)(a + x)5.已知函数 f(x) =x是奇函数，则 f(x) 1 或1VXV0【解析】现根据函数为奇函数求得的值，然后利用解不等式 【详解】(1 + x)(a-x)+ X)(1x)(! + x)f(F)=- f(X)=-由于函数为奇函数，故,解得故,+ x) n- 0令.，解得 I 或-：； 0)截得的线段长为2、；2，则圆 C 的半径 r =_【答案】2【解析】先求得双曲线的渐近线，利用直线和圆相交所得弦长公式列方程，解方程求得的值.【详解】由于双曲线为等轴双曲线，故渐近线为： ,不妨设渐近线为圆

4、的圆心为,【点睛】半径为圆心到直线的距离为本小题主要考查双曲线的渐近线,考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆相交所得弦2 2x - =1长公式对于双曲线，渐近线为by =+-x日，对于双曲线日b，渐近线为b.故弦长为第6页共 17 页10.若函数 f(x) = 3sin(x+ )与 g(x) = 8tanx 的图象在区间(0,)上交点的横坐标为xO,则 cos2x0 的值为_1【答案】【解析】令一 ，化简求得交点的一个表达式，然后代入求得.【详解】3$in/x + -)二 Stanx22.令 f(x) -ECX) 即 2/3cosx =x - 8$inx 3(lsin x) = 8sinxsi

5、nxfl= 一COS2XA= l-2siri2xft= 1-23, 故【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式， 考查同角三角函数关系，考查一元二次方程的解法， 以及二倍角公式诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”同角三角函数关系主sinx22tanx =-要是平方关系: I 和商数关系解一元二次方程可以首先考虑十字相乘法，不行的话再考虑公式法11.已知为正常数，：，若使：，则实数 的取值范围是_ .【答案】(2,+)【解析】，当时，故需 I 由此解得 【详解】由于 ，函数：. 在上单调递增，当 时有最小值为在 时, 函数为增函数，要使存在，使得丨、,则需,解得【点睛】本小题主要考查分段函数

6、的单调性，考查二次函数的单调性，考查指数函数的单调性直线和圆相交所得弦长的弦长公式为，其中：为圆心到直线的距离第7页共 17 页属于中档题2nAB = 3.AC = lA = AD- 一12 在三角形臓中，3是“的角平分线，则 AD，AB=_.9【答案】【解析】利用角平分线定理，将表示为* -的线性和的形式，由此求得向量的数量积【详解】AB BD丄 - 亠 2 一 1 亠一=3,AD= AB + BD = AB + -0C = AB + -(AC-AB) = -A0 + -AC由角平分线定理得： 所以I-：，丄-m-1了 mi i 9AD AB = -AB + -AC AB = - x 3S

7、- x 3 x 1 x =-所以u 4)44w 8.【点睛】本小题考查三角形角平分线定理的应用，考查向量数量积在三角形中的处理方法角平分线定理是一个平面几何的定理，在不少题目中都会运用到对于三角形中的向量运算，往往都化为已知的同起点的向量来运算如本题中的；，就转化为：两个向量的线性和来处理这样处理后就可以利用已知条件来求解了2 2X V13 椭圆的两个顶点 UEEt 小过A,B分别作与二垂直的直线交椭圆丁与若BC3AD,则椭圆的离心率 _ .【答案】：【解析】ba直线的斜率为 ，故直线_川的斜率都为，利用点斜式写出直线 -川的方程，联 立直线方程和椭圆方程， 求得的坐标，根据向量* 列方程，化

8、简可求得椭圆的 离心率.【详解】baay = x + b直线的斜率为，故直线_ 丁的斜率都为，所以直线 的方程为，直线，第8页共 17 页本小题主要考查直线和椭圆的位置关系利用直线方程和椭圆方程联立,标，对运算能力有一个很大的要求属于难题.B nAAB + BC = 4ftan-=-24 一如，则当角 B 最大时，三角形点的面积为【答案】-2a3b2b5-a4b的方程为.将直线：的方程代入椭圆方程，求得点的坐标为,a4+ b4a4+ b4；/a -ab -2a b将直线，的方程代入椭圆方程，求得4 .I 4 4. 41D 点的坐标为 5+b a +b/,由于 BC3AD，即/-2a-2a4b/

9、-2ab4-2a2b?-2a3b2-6ab- 亠4. 4* 4.BC = 3AD，也即 a + b a + b4.44.42，即；匕：；上，化简得：故离求得交点的坐14 在三角形中,3心率为第9页共 17 页【解析】第10页共 17 页B sinAtan=-将；几汁化简得到：illA 1-，用正弦定理转化为 心-三+：-4 ,即卩而故，点在以：为焦点，长轴长为的椭圆上当，点位于椭圆的上顶点时，角取得最大值，进而求得三角形的面积【详解】B sinAsinB sinAtan-=- - =-由？ 心，得 :-n-.A，得_，*：，由正弦定理得为-|：-，即 ，而汁一八，故点在以为焦点，长轴长为于椭圆

10、的上顶点时，角取得最大值，此时三角形 是等腰三角形【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理边角互化, 方法属于难题 二、解答题n15 .已知向量日=(1, 2sin ,)= (sin( %,+1), 0eR。若丄二求 tan 啲值；n若/厂，且0(0,)，求B的值【答案】(1)tan0 =-; (2)0=.【解析】(1)利用两个向量垂直的坐标表示， 列出方程， 化简可求得 量平行的坐标表示，列出方程，化简可求得！的值【详解】(1)依题意，得：？= 0，即-的椭圆上当，点位椭圆的半焦距为，I/芈扌M ZJ15届24考查了化归与转化的数学思想第11页共 17 页sin(0+ )+2sin0

11、= 0,展开，得：第12页共 17 页71sin0cos+cos0sin+2sin0 =0,化简，得:n(2) 因为,所以，2sin0sin(0+ ) = 1,展开得：nn2sin0 (sin0cos+cos0sin)=1,I即：2sin20+2 sin0cos0 =2,即：1 cos20+ sin20= 2,n 1nnn 5n化为：sin (20)=：,因为0 (0 ,)，所以，20(：),n 7in所以，20=,解得：0=【点睛】本小题主要考查两个向量垂直和两个向量平行的坐标表示，还考查了三角恒等变换，以及特殊角的三角函数值等知识，属于中档题16 .设二次函数 f(x) = ax2 +bx

12、+c,函数 F(x) = f(x) x 的两个零点为 m, n(m 0 的解集；1若 a 0,且 0 x m n 0当时，不等式 ：的解集为 I 或：;第14页共 17 页当时，不等式：的解集为八.（2）Ii I11）1* I x 11：:-J A . - 1 :0 xmn 0,且a K-m 0I： . I .I gp l：； : C .17 已知椭圆 C:：的离心率为，以短轴为直径的圆被直线x+y 1 =0 截得的弦长为(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设 A, B 分别为椭圆的左、右顶点，D 为椭圆右准线 I 与 x 轴的交点，E 为 I上的另一个点，直线 EB 与椭圆交于另一点 F,是

13、否存在点 E,使肚川 m R)?若 存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)椭圆 C 的方程为：;(2)见解析.【解析】(1)利用直线和圆相交所得弦长公式建立方程， 可求得 ：，再结合离心率可求得的 值，由此求得椭圆的方程 ( 2)求出右准线方程，设出 点的坐标，写出直线-的方程 并代入椭圆方程，求出 点的坐标，代入 【-，化简后求得 点的坐标【详解】(1) 圆心为(0,0 ),半径为 R,，依题意，得：b = R,圆心到直线 x+y 1 = 0 的距离为：J，又弦长为 ,分 12所以，氏=3,所以,第15页共 17 页离心率 e= =：,即卩;，又了，解得：,+ 二1椭圆

14、 C 的方程为：-(2)依题意，有 A (- 2,0 ), B (2,0 ) , c= 1,【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系有关圆的弦长问题,主要通过圆的弦长公式来建立方程解决直线和椭圆的位置关系，直线和椭圆相交所得的交点坐标，可以通过联立直线和椭圆的方程得到本小题还考查了向量共线的坐标表示属于难题2 2J J4 3ty =-(x2)2消去可得 V “4t2-6x =-点 B(2,0)，F(x，y)是直线与椭圆的 2 个交点，所以，由韦达定理，得：2+ 3，2t -3所以,12t*= 代入 BE 方程，解得：12t-/ 2t -6 12t所以,F(，/2t2-

15、6t +3).因为心kFD(hER)，所以肚之陶，与共线, 所以12t t =- 6厂t2+ 3,所以 t=30E(43 间.第16页共 17 页18 规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球 A 是指该球的球心点 A.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上 运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1 的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：(1)如图，设母球 A 的位置为(0,0),目标球 B 的位置为C(8,-4)处运动，求母球

16、 A 球心运动的直线方程;(2)如图，若母球 A 的位置为(0, -2),目标球 B 的位置为(4, 0),能否让母球 A 击 打目标 B 球后，使目标 B 球向(8, - 4)处运动？若 A 的位置为(0, a)时，使得母球 A 击打目标球 B 时，目标球 B(4,0)运动方向可以碰到目标球C(7 , -51：)，求 a 的最小值(只需要写出结果即可)& 2 Q + 1y - -x【答案】(1) I;(2)不能;【解析】(1)求出直线：的方程，设出球心的坐标， 利用球心在直线：上以及卜冲匚列方程组, 可求得的值.,由此求得母球运动的直线方程.(2)计算:求得 为锐角, 同理,计算点 L 到线

17、段*的距离，判断出不能( 3)要使最小，临界条件为球从球的左上方，处撞击球 后， 球从球 的右上方 处撞击球列方程求得的坐标，过作倾斜角为,的直线，与轴相交于八：此二，由此求得的最小值【详解】(4,0),要使目标球B 向第17页共 17 页(1)点 B ( 4,0 )与点 C (8, 4)所石室的直线方程为：x+ y 4= 0,依题意，知 A, B 两球碰撞时，球 A 的球心在直线 x + y 4= 0 上，且在第一象限，此时| AB|= 2，设 A, B 两球碰撞时球 A 的球心坐标为* ,f a + b- 4 = 0治叽宀 2则有，解得：，.：,即：A, B 两球碰撞时球 A 的球心坐标为

18、(- ,-),& 2& + 1y -产-x所以，母球 A 运动的直线方程为：I-(2)记，因为 =一二-V .亠一.,-门，所以、m 故为锐角，同理可知-也为锐角故 L 在直线上的投影在线段上，该点到 L 的距离小于，故球经过该点之前就会与球碰撞，故不可能让母球击打目标球后，使目标球向：I 处运动(3)的最小值为-.-.要使得最小，临界条件为球从球的左上方：处撞击球，后，球II从球 的右上方处撞击球.如下图所示，设是球；的所有路径中最远离-的那条路径跑丄 B C代叫衣归&) + V(V + 5 於)=0上离球匚最近的点，则有,联立(I+尸5耐皿,解得B丽 T 插,所有直线 CB 的倾斜角为却

19、5“，所以直线心 E 的倾斜角为诈“,易得直 0Q.过；作倾斜角为的直线，交轴于点，易得：，就是一个符合题意的初始位置若：-：,则球会在达到之前就与球 碰撞，不合题意因此.的最小值为-2 玄第18页共 17 页需要有很强的理解和分析能力，属于难题19 .对于函数与，若存在实数 满足，且，则称为f 何注凶的一个 T 点.证明：函数与：-一和-1不存在 r 的点；若函数： 与-存在的点，求的范围；已知函数证明：存在正实数、，对于区间内任意一个 皆是函数 匸丄心的点.【答案】（1）详见解析；（2） I；（3）详见解析.【解析】（1）通过证明卜：证得命题成立.（2）构造函数禾用导数研究函数 的单调性，

20、求得最小值，由此证得在 上恒成立.然后分成a1xiox0恒成立，所以，在定义域(0,+)内，Xo 1 Inx0恒成立，当 X。1时，| X0 1 | = X0 1, | Inx0|= Inx0,因为 X0 1 Inx0恒成立，所以，| X0 1 | | Inx0|恒成立，为 的一个，点当 0vX0V1 时，| X0 1 |=( X0 1)， | Inx0|= Inx0，L由 X01Inx0，得：一(X01)w Inx0，即|X01|w|Inx0|，此时 *不是的一个，点所以， 的取值范围为1，+8)a1m = e 十一(3)证明：取，因为，所以 ，下面证明所取正实数符合题意当a1x 0 且 f

21、(x)A。显然成a1 1x e +-xl + -2了又因为当时，有，所以rmi ax2-a-(x-l)-l - ax?(-一-a all + -j-a = 1 0Kea+ -日丿 al.故当日时，他)AfiW 即心)|呂(耳)|第20页共 17 页m = e + 恒成立，即存在正实数，对于区间.内任一个.皆是函数；的点【点睛】本小题主要考查新定义知识，考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查了利用导数研究不等式等知识，综合性很强，属于难题eK1f(x) = g(x) = ax + - + 120 .已知函数(其中 )(1) 求的单调减区间；(2) 当 时, na 恒成立，求 的取值范围；叫(3)设 Fk) = f 図皿).F%)只有两个零点求勺的值【答案】(1)单调减区间为(一 8,0)和(0,1 ); (2)卩 2；( 3) 2.【解析】(1)先求得函数的定义域，然后求导，利用导数求得函数的单调减区间.(2)构造函数 I：；厂-诲-一】，禾悯其二阶导数研究它的单调性，由此求得的取值范围.(3)化F(x)丸卞+ ? +专-简 ,利用导数，研究零点分布的情况，由此求得的值.【详解】(1)的定义域为 x |XM0,xex(x - l)eKf(x)=-