利用均值不等式求最值的方法

1、.利用均值不等式求最值的方法均值不等式当且仅当a=b时等号成立是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进展必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 【例1】当时，求的最大值。 【解析】由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 当且仅当，即x=2时取等号。 所以当x=2时，的最大值为8。 【评注】此题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 2. 凑项 【例2

2、】，求函数的最大值。 【解析】由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进展凑项才能得到定值。 当且仅当，即时等号成立。 【评注】此题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 3. 别离 【例3】求的值域。 【解析】此题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有x+1的项，再将其别离。 当，即时 当且仅当x=1时取“=号。 当，即时 当且仅当x=-3时取“=号。 的值域为。 【评注】分式函数求最值，通常化成，gx恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换 【例4】，求的最小值。 【解法1】不妨将乘以1，而1用a+2b代换。 当且仅当时取等号，由 即时，的最小值

3、为。 【解法2】将分子中的1用代换。 【评注】此题巧妙运用“1的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。 三、换元 【例5】求函数的最大值。 【解析】变量代换，令，那么 当t=0时，y=0 当时， 当且仅当，即时取等号。 故。 【评注】此题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。 四、取平方 【例6】求函数的最大值。 【解析】注意到的和为定值。 又，所以 当且仅当，即时取等号。 故。 【评注】此题将解析式两边平方构造出“和为定值，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二

4、定三相等，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 【练一练】 1. 假设，求的最大值。 2. 求函数的最小值。 3. 求函数的最小值。 4. ，且，求的最小值。 【参考答案】1. 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言开展的障碍。不少幼儿当众说话时显得害怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂

5、教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学形式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的时机，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断进步，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模拟。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断进步。 2. 5 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗读儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读才能进步很快。 3. 8 与当今“老师一称最接近的“老师概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问?示侄孙伯安?诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。于是看，宋元时期小学老师被称为“老师有案可稽。清代称主考官也为“老师，而一般学堂里的先生那么称为“老师或“教习。可见，“老