2019届江西省名校(临川一中、南昌二中)高三5月联合考试数学(理)试题(解析版)

1、第1页共 20 页2019 届江西省名校(临川一中、南昌二中)高三 5 月联合考试数学(理)试题一、单选题1 .已知集合A = x x2+2x 3兰0, B2，贝UAc B=()A .x3Ex兰仆B.ix0 x1C.x3兰xvlD.x1Ex0【答案】B【解析】先化简集合 A,B，再求：，得解.【详解】A=x3兰x兰讣，B=x0兰xc4,所以AcB=x0兰x兰1.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.复数z =2 i,若复数z!,Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则乙乙2=()A.-5B.5C.-3 4iD.3-4i【答案】A

2、【解析】由题意可知Z2- -2 i，据此结合复数的乘法运算法则计算乙Z2的值即可.【详解】_ 2由题意可知z - -2 i，所以Z-z2- (2 i)( -2 i - -4 i 5，故选 A.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数的对称性，属于基础题3 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是()注：90 后指 佃 90 年及以后出生，80 后指 佃 80-佃 89 年之间出生，80 前指 佃 79 年及以 前出生第2页共 20 页A .互联网行业从业人员中B 互联网行业中从事技术岗位的人数

3、超过总人数的20%C.互联网行业中从事产品岗位的90 后人数超过总人数的 5%D 互联网行业中从事运营岗位的90 后人数比 80 前人数多【答案】D【解析】 本道题分别将各个群体的比例代入，即可。【详解】A 选项，可知 90 后占了 56%，故正确；B 选项，技术所占比例为 39.65%，故正确；C 选项，可知 90 后明显比 80 多前，故正确；D 选项，因为技术所占比例，90 后和 80后不清楚，所以不一定多，故错误。故选D。【点睛】本道题考查了统计方面的知识，关键抓住各个群体的比例，逐一分析，得出结论，即可,难度较容易。4已知数列a为各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若印玄7=

4、4，且5a4 2內=2，则S5=（）A. 32B. 31【答案】B1【解析】根据已知求出- 2,再求出公比和首项，最后求S5.4【详解】所以a42=4,；an0ra4=2.5因为a4 2a7：C. 30D. 29联网行业命世分布图90 后占一半以第3页共 20 页21所以a?.411所以q3, q,6=16.,82第4页共 20 页15161-(2)所以S5=231.12故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用， 考查等比数列的前 n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力5 执行如图的程序框图，则输出x的值是（）卑J1A 2018B

5、.2019C D 22【答案】D【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x, y 的值，当y=2019时,不满足条件退出循环，输出 x 的值即可得解.【详解】解：模拟执行程序框图，可得观察规律可知，x 的取值周期为 3,由于2019=673 3，可得：满足条件y2019，执行循环体，满足条件y2019，执行循环体,满足条件y2019，执行循环体,满足条件y2019，执行循环体,满足条件y2019，执行循环体,x _ -1,y =1；x =2, y =3；x -1,=4；y=0第5页共 20 页当x=2, y=2019，不满足条件y2019，退出循环，输出 x 的值为 2.【答案】B第

6、4 页共 20 页【详解】故选：A【点睛】本题主要考查三角形的重心的性质，考查三角形的减法法则和数乘向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力7 .我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2 和 6,高为 2,贝 U【点本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x, y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时 x 的值是解题的关键.6 .在 ABC 中,DC,A 2PD,B = AC，廿-()1A.3【答案】AB.C.-【解由题得以 P 为ABC的重心，再求出J 的值得解.因为BD

7、 = DC,AP=2PD,所以 P 为.ABC的重心,所以所以11311AD AB AC, AP AB AC,2222 21 AP AB3所以2BP = AP - ABAB AC3因为BPVABAC,所以 = _2,=1,.：;；丄，求出第7页共 20 页【解析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2 和 6,高为 2，1_ 104所以几何体体积V (4 36 36)2.33故选：B【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力8. 20 佃年 4 月 25 日-

8、27 日，北京召开第二届一带一路”国际高峰论坛，组委会要从 6个国内媒体团和 3 个国外媒体团中选出 3 个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有 国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为()A. 198B. 268C. 306D. 378【答案】A【解析】根据题意，分两种情况讨论，3 人中有 2 名中国记者和 1 名国外记者，求出不同的提问方式的种数；3 人中有 1 名中国记者和 2 名国外记者，求出不同的提问方式的种数，由分类计数原理相加即得答案.【详解】分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有Cf2c3A =90种不同提问方式；若选两个外国媒体一个

9、国内媒体，有C6C3A3=108种不同提问方式,所以共有90+108=198种提问方式故选 A【点睛】100104B.3C. 27D . 18该刍童的体积为（）第8页共 20 页本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9 .已知 x n, n7T贝“X,是 “sin(sinx)vcos (cosx)成立的()(A)充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：当JlH厂 兀x ,时，sinx + cosx 2 :2 22第9页共 20 页rcr i i31JI所以 Owsinx cosx223T

10、于是 sin(sinx)vsin ( cosx)2V1cos (cosx)= cos (- ) = cos 22所以 sin (sinx)vvcos (cosx)也成立，必要性不成立 故选 C【考点】三角函数的性质，充要条件10 .在ABC中，AB|_BC BC_CA CA_|AB，则A:si n B :si nC二()5一4一3A.9:7:8B. 、9:、.7:、8C.6:8:7D. 、6:、8:. 7【答案】B匹空二CAdB，求出_i、9t,b,c忌,再利用正弦定理求解【详解】所以-accosB =5t, -abcosC =4t, -bccosA =3t,ooooo oooo所以c a -

11、b=-10t,b a-c = -8t,cb -a= -6t,得a = -1.9t, b = - 7t, c = - . 8t所以sin A:sin B:sin C =a : b :c = , 97 : 8故选：B【点睛】本题主要考查向量的数量积，考查余弦定理和正弦定理边角互化，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平和分析推理能力211.过双曲线x2-1的右支上一点P，分别向圆C1: x 42y4和圆152 2 2 2c2: (x 4 ) + y2=1 作切线，切点分别为M , N，则|PM - PN 的最小值为()=cos (cosx),充分性成立 .取 x =二，有 sin (sinx) =

12、 sin3(乜)=sinv02 2【解析】设AB?BC设ABTBC=BC?CACA?AB所以AB BC =5t, BCCAfCATBt,第10页共 20 页A. 10B. 13C. 16D. 19【答案】B【解析】 试题分析：由题可知，PM |2 PN |2= ( PC,|24) ( PC2|2-1),因此PM |2-|PN JpG |2PC2|2Y = ( PG _ PC2)( PG|+! PC2)_3=2( PC, | PC2)3 3 2 GC23=13，故选 B.【考点】圆锥曲线综合题.12 不等式.匚汁贺胪；!.对任意: - ：/恒成立，则实数常的取值范围()A._ 一B.(逻八 工+

13、 对任意- 恒成立”转化为 0. 0 得 x 1 或 xv-3,即函数在(-a,- 3) , (1, +P 单调递增, 由 f(x)v0 得-3vxv1,则函数在(-3, 1)单调递减，5则函数的极大值为 f (- 3) =9，函数的极小值为f(1) =3根据函数的图象可知，2设|f (x) |=m，可知 m +tm+1=0，原方程有 12 个不同的根，(5、则 m2+tm+仁 0 方程应在0,-内有两个不同的根,I 3丿2设 h ( m) =m +tm+1 ,5h(_) 03冲c t 534丄 c则0t：2.2315=t2-4 034所以取值的范围t：-2.1534故答案为：t：-2。15点

14、睛：本题主要考查函数与方程的应用，求函数的导数判断函数的极值和单调性，以及 利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键综合性较强，难度较大一般这种 成为复合函数方程的所以min故答案为:125二12第15页共 20 页根，分别设内层外层函数，内外层单独研究。三、解答题17 .已知数列1an/有an=0,Sn是它的前n项和，印=3且Sn3 n2a. S；，n_2.(1) 求证：数列an an为等差数列.(2) 求:an/的前n项和Sn.32【答案】(1)见解析；(2)Snn； n22 2【解析】(1)先化简已知得(& - SnjH3n,(Snd- Sn) = 3(n 1)，再求出an-

15、 an i=6n - 3，再证明数列an- an门为等差数列；(2 )对 n 分奇数和偶数两种情 况讨论得解【详解】2 2 2 2(1)当n2时，Sn=3n务,(&-&)(&)=3 nan,an= 02 2所以(SnSnA) =3n,(SnSn)=3(n 1),两式对应相减得an an 1=3(2 n，1),所以(an- an1)-( an4an)=6n 3-(6n-3) = 6又 n=2 时，(3+a2)2=12a29,. a2=6所以a3 =9,所以(a2a3)-( a1- a2) =6 9 -(6+3) =6,所以数列an an 1为等差数列.(2) 当n为偶数时

16、，Sn=佝a2) (a3a4H (an4an) =3(3 7川(2n-1)n(3 2n-1)3=3 23(n2n)2 2当n为奇数时，Sn二印(a2a?) f (an4- an)n-1(5 2 n-1)3=3 3(5 9川(2n-1)=3 3厘|(n2n -2) 3第16页共 20 页32综上：Snn n2【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明,解掌握水平和分析推理能力 18 已知空间几何体ABCDE中，UBCD与CDE均为边长为2的等边三角形，ABC为腰长为.13的等腰三角形，平面CDE_平面BCD，平面ABC _平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线， 使直线上任意一点F与A的连线A

17、F均与平面CDE平行，并给出详细证明；(2) 求直线BE与平面AEC所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)乙：空13【解析】(1)如图所示：取 BC 和 BD 的中点 H、G,连接 HG.HG 为所求直线证明平面AHG| 平面 CDE ,原题即得证；(2)以 CD 中点 0 为坐标原点，0D 所在直线为 x 轴，0B 所在直线为 Y 轴，0E 所在直线为 Z 轴,建立空间直角坐标系， 利用向量法求直线BE与平面AEC所成 角的正弦值【详解】如图所示：取 BC 和 BD 的中点 H、G,连接 HG.HG 为所求直线所以HG/CD,因为平面ABC_平面BCD,AH _ BC,所以AH _平面

18、 BCD,取 CD 中点 0,连接 EO,因为平面CDE_平面BCD,考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理第17页共 20 页所以EO_平面BCD,所以 AH|EO,又AH二平面 CDE,EO平面 CDE,所以AH /平面CDE.因为GH |CD, GH二平面CDE,CD平面CDE,所以GH /平面CDE,因为AH ,GH二平面AGH , AH GH二H,则 平面AHG /平面CDE, 所以直线 HG 上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行(2)以 CD 中点 O 为坐标原点，OD 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 Y 轴，OE 所在直 线为 Z 轴，建立空间直角坐标系*1,

19、0,0)心,03),込30),心#2花),所以直线BE与平面AEC所成角的正弦值为2-26.13n?CE设n =(x,y,z)_ 平面AEC,.!n?EA=x、3z = 0一* +纽+辰=0 x = -Vay -3Z=1所以sin口= cos0 =2.2613本题主要考查空间几何元素位置关系的证明,考查线面角的计算,意在考查学生对这些第18页共 20 页知识的理解掌握水平和分析推理能力第19页共 20 页佃每年七月份，我国 J 地区有 25 天左右的降雨时间，如图是 J 地区 S 镇 2000-2018年降雨量（单位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列冋题:（1）假设每

20、年的降雨天气相互独立，求 S 镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过 350mm 的概率；（2）在 S 镇承包了 20 亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总 利润为 31.1万元.而乙品种水果的亩产量m（ kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01 m （元/kg）,请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润E（万元）的期望更大？（需说明理由）；降雨量100，200)200，300)300，400)400， 500)亩产量5007006004005【答案】（）;（2）乙品种杨梅的总利润较大32【解析】（1）由频率分布直

21、方图中矩形面积和为1,计算第四组的频率，再求出第三组矩形面积的一半，求和即可求出对应的概率值， 再利用独立重复试验概率公式可得结果；（2）根据直方图求随机变量的概率，可得随机变量的分布列，求出乙品种杨梅的总利润的数学期望，与过去种植的甲品种杨梅平均每年的总利润为28 万元比较得出结论和建议【详解】（1）频率分布直方图中第四组的频率为1-100 0.002 0.004 0.003二0.1该地区在梅雨季节的降雨量超过350mm的概率为50 0.003 0.1二0.25所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率为-3(2)据题意，总利润为20n 32 - 0.01n元，其中n

22、 =500,700,600,400所以随机变量（万元）的分布列如下表:273531.222.4P0.20.40.30.1故总利润（万元）的期望E =27 0.2 35 0.4 31.2 0.3 22.4 0.1=5.4 14.0 9.36 2.24=31(万 元）因为31 28，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润（万元）的期望更大.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题直方图的主要性质有：（1 ）直方图中各矩形的面积之和为1；（ 2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后 求和可得平均值；

23、（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数f 1 ）20.已知两定点A一,0 ,B ,0，点M是平面内的动点，且I 3丿（3丿AB+AM|+|BA+B7|=4，记M的轨迹是C（1）求曲线C的方程；（2）过点F1（1,0）引直线|交曲线C于Q, N两点，设QF 0且-1），点Q关于x轴的对称点为R，证明直线NR过定点.2 2【答案】（1） y1； （2）见解析43【解析】设M （x, y），根据条件列方程化简即可；（2）先探究特殊性，当点 Q 为椭圆的上顶点（0, -.3 ）时，直线 RN 过定点 P（4,0）.再讨论一般情形，设直线I：x =my 1,Q（X1, yd N（X2, y2）,

24、则R（X1, -y）点R,N,P三点共线，因此直线 RN 经过定第 15 页共 20 页C3241一1C4d+丄46464532(或0.15625.)第21页共 20 页点 P(4,0).【详解】(1)设M (x, y), AB AM = (x 1, y) , BABM=(x_1, y), 则|AB AM|= (x 1厂y2,|BABM|=Jx_1)2y2, 由于 i AB AM | | BA BM 1=4,即，(x 1)2y20二1厂丫2=4，设斤(-1,0),F2(1,0),则1 FiM 1 1 F2M匕4，点M的轨迹是以Fi,F2为焦点的椭圆，故a=2,c=1,b=. 3,22所以，动点

25、M的轨迹E的方程为： =1.43先探究特殊性，当点 Q 为椭圆的上顶点(0,3)时，直线 I：y =kR-,直线 RN:4y3X-、.3,令 y=0,如图所示，第22页共 20 页所以直线 RN 过定点 P(4,0).下面证明一般情形：设直线 l：x=my 1,Q(X1,yJ, N(X2, y2),则R(X1, -yj联立 0,令 g (x)2 3xx e -3x-21 nx-1x,x0 ,y2第24页共 20 页22由 f(x)0，得 xv-一或 x0 ;由 f(x)v0,得一一 x0,33第25页共 20 页-）内递增，在（-,0）内递减，在（0, +s）内递增,33 f （x）的极大值为

26、(2) / x2e3x (k+3) x+2 In x+1 , k o,x令 h ( x)= x2(1+3x) e3x+2Inx - 1，贝Uh (x)在(0, +上单调递增, 且 xT0+时，h (x)T-s,h (1) = 4e3- 1 0,存在 x0 (0, 1),使得 h (x0) = 0,当 x (0, X。)时，g (x)v0, g (x)单调递减, g（x）在（0,+s）上的最小值是 g (x0) =x宀眺-21x令xe3* =1,2lnx03x = 0,1 -2In x0令0=1,2lnx03x=01 3x2 3x01 -2ln x0小所以x0e=1，2Inx0=-3x0,运尹-

27、3x-21 nx0 T1-3x3x -1g （X0）0 xx实数 k 的取值范围是（-s,0.【点睛】本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题,考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力22 .选修 44 :坐标系与参数方程当 x (x0, +s)时,g (x) 0, g (x)单调递增,Th (x) =x21 3x0+2Inx-仁 0,所以2 3x0 xe1-21 n x01 - 3x。 f (x )在(s,当 xv0 时,f(X) Wf449e-：9 4令 g(x)x2e3x-3x -21 nx -1xx 0，则 gx2(1 3x)e3x21 nx -12

28、,x意在第26页共 20 页一一Ix = a+J2t在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 Ci过点 P(a, 1)，其参数方程为(t 为参数，a R)，以 0 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为pCOSB+4COS9- p=0.(1)求曲线 Ci的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；已知曲线 Ci和曲线 C2交于 A , B 两点，且|PA|= 2|PB|，求实数 a 的值.219【答案】(1) Ci：x y a+ 1 = 0, C2：y = 4x; (2) 或364【解析】(1)直接消参得到曲线 Ci的普通方程，利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线 C2的直角坐标方程；(2)把曲线 C1的标准参数方程代入曲线 C2的直角坐标方程利用直线参数方程 t 的几何意义解答【详解】x = a + J2tC1的参数方程为_消参得普通方程为x y a+ 1 = 0,