2019届湖南师大附中高三上学期月考(四)试卷数学文(解析版)

1、页1第湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(四)数学(文科)本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。第I卷一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 U= R,集合 M =x|2x1,则下列结论中成立的是(C)A.MnN=M B.MUN=NC.Mn(?uN)=M D.(?uM)nN=【解析】由 2x1 = 20,得 x1 = log22, /x2 ,；Mn(?uN)=x|x0nx|x0,o0,|,x取)在一个周期内的图象可得：A=1，寸 T=疋

2、,a/3 勺条件不具备，C 不成立；D 也不成立，选 A.3.已知 P(1, 3)在双曲线=1(a0 , b0)的渐近线上,则该双曲线的离心率为A. 10 B. 2 C/.5 D. 3(A)y = 3X,所以有字4.已知 f(x) = Asinx+Q(A0,co0,Mq,x R)在一个周期内的图象如图所示,则 y= f(x)的解析式是(B)A .f(x) = sinB . f(x)= sin2x+nf(x)=皿+疳D . f(x)= sinnrn再由可得:nM= 3,所以函数 f(x)= sinn !2x+ 3 故应选B.2 2x y【解析】根据点 P(1 , 3)在双曲线的渐近线上，所以双曲

3、线的一条渐近线方程为3,即 b= 3a,根据双曲线中n1 代入函数的解析式可得:12 ,1页2第o=2,再把点页3第值是(D)A . 62 B. 63 C. 126 D. 1277.设 A、B、C 为圆 O 上三点，且 AB = 3, AC= 5,贝 U = (D)A . 8 B. 1 C. 1 D. 81【解析】取 BC 的中点 D,连接 AD , OD ,因为 O 为三角形 ABC 外接圆的圆心，贝9=?(+),= 0 所1 12 2以=(+) = = 5(+) (- )= 2(| |)= 8,选 D.8.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)= f(x+ 2),数列an的前

4、n 项和为 Sn,且 Sn= 2an+ 2,则 f(an) = (A)A . 0 B. 0 或 1 C. 1 或 0 D . 1 或1【解析】.f(x) = f(x+ 2),所以 f(x)函数周期为2,.数列a*满足Sn=2an+ 2,a1=2,Sn1= 2an1+ 2, -an= 2an 2an1,即an= 2an1, an以一 2 为首项，2 为公比的等比数列，.an= 2 , - f(an) = f( 2n)=f(0)= 0,故选 A.5 .公元263 年左右,多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的

5、“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图(参考数据：sin 15 = 0.258 8, sin 7.5 = 0.130 5)(C),则输出 n 的值为A . 12B . 16C. 24D . 48【解析】由程序框图可列表如n61224S3也233祈3迈因为 3 6 3 23.1063.10 ,所以输出 n 的值为 24,故选 C.6 .已知数列an的前 n 项和为 Sn,通项公式 an= log2n+ 1n+ 2(n N*),则满足不等式Sn 6 的 n 的最小【解23因为 Sn= Iog2.x 4X.Xn+ 1=log2n+ 2 丿+ 2,-6，所以126,故应选 D.我国

6、数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时页4第|lg|x 2|,XM2,29.设定义域为 R 的函数 f(x) = i il若b0 ,贝U关于X的方程f(x)1 2+ bf(x) = 0 的不同实, x =2,数根共有(C)A . 4 个 B. 5 个 C. 7 个 D. 8 个 c.5)2 12= 2,圆锥底面半径为 r = l2 h2= 2,22128 页5第由f(x)2+ bf(x) = 0,得 f(x) = 0 或 f(x)= b所以方程f(x)2+ bf(x) = 0 的根的个数转化为函数y= f(x)与函数 y= 0, y= b(b0)的图象的交点个数.因为函数f(x)的图象

7、大致如图所示，数形结合可知，f(x)= 0 有 3 个实数根，f(x) = b(b0)有 4 个实数根，所以f(x)2+ bf(x) = 0 共有 7 个不同的实数根，故答案 选 C.10.一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下的几何体的体积为(D)8n16n -A. + .15B. 3 +38n2 ,316n2 3C.3 3D.9 3S= 3nr +歹 sin 120 =3n+3,故几何体的体积为：【解,则余下部分页6第【解析】由已知中的三视图，圆锥母线为l = ： ( ,；5)2+223= 2 2 ,圆锥的高 h =截去的底面弧的圆心角为120,故底面剩余

8、部分为V = sh=1X8n+3X2=16冗+穿，故选 D.11.本周星期日下午 1 点至 6 点学校图书馆照常开放， 甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习 2 小时，乙连续自习 3 小时.假设这两人各自随机到达图书馆，贝 U 下午 5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是(B)1111A6 B.6 C.3 D.2【解析】据题意，甲、乙应分别在下午4 点、3 点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别1WX4,为X, y，则，所对应的矩形区域的面积为6.若下午 5 钟点时甲、乙两人都在自习，则JWy 3,3WX 4,1所对应的正方形区域的面积为1,所以 P = 1 选 B.2Wy3,6d

9、 (x) a, x 1,f(x)恰有 2 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是(A)A.扌,12, +s) B. 4,1 ju 号，iC. 4，+8/ D. (8,3I【解析】因为函数 d(x)与函数 y= log2x 关于直线 y= x 对称，所以 d(x) = 2x;设 g(x)= 4(x a)(x 2a), x 1, h(x)= 2x a, x 1,1若 g(x)有两个零点，h(x)没有零点，则丿得 a2(1 )= 2 a 0,a1,a0,12若 g(x)和 h(x)各有 1 个零点，则 且$得新 a4|h (1)= 2 a0,5综上，a 舟，1 但 2,+8.故答案选 A.选择题答题

10、卡题号123456789101112答案CAP AP BCDDACDBA第n卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223 题为41a+ b 1 1【解析】 由已知，a= log210=, b= Iog510=.所以.=_ + = lg 2 + lg 5 = lg 10 = 1.lg 2lg 5 ab a b16.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意实数 a、b 都有f(a + b) = f(a) + f(b) 1,且当 x0 时 f(x) 1若 f(4) = 5 ,则不等式 f(3x2 x 2) X2,贝 U X1 X2 0 , f(X1

11、 X2) 1.所以 f(X1) f(X2)= f(X1 X2)+ 刈f(x2)= f(X1 X2)10 ,即 f(X1) f(X2),所以 f(x)是增函数.因为 f(4) = 5,即 f(2) + f(2) 1 = 5,所以 f(2) = 3.所以原不等式化 为 f(3x2 x2)f(2)3x2 x 223x2 x 40 1x4.故不等式的解集是一 1,号.三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本题满分 12 分)页7第选考题，考生根据要求作答.二、 填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线 上.13.已知圆 C

12、1： (x a)2+ y2= 1 与圆 C2： x2+ y2 6x+ 5= 0 外切，贝 V a 的值为 0 或 6 .【解析】 圆 C1: (x a)2+ y2= 1 的圆心为(a, 0),半径为 1 ,圆 C2： x2+ y2 6x + 5 = 0 的圆心为(3, 0),半径为 2,两圆外切，所以|a 3|= 3, /a = 0, 6,故 a 的值为 0 或 6.314.如果复数 z 满足关系式 z+= 2+ i,那么 z 等于_4+_ .【解析】 设 z= a+ bi(a, b R),则=a bi, = a2+ b2,所以 a + bi + a2+ b2= 2 + i,a + yj a2

13、+ b2= 2 ,a = 4 ,3所以得：S解得：彳4所以 z= 3+ i.P =1,Jb = 1a+ b15.已知 2a= 5b= 10 ,则一 =_1_.ab页8第n已知函数 f(x) = asin x+ bcos x,0, x R, f(x)的最大值是 2,且在 x = 处的切线与直线x-y = 0平行.(1)求a、n由(1)有 f(x) = , 3sin x+ cos x = 2sinjx+, 6 分18.(本题满分 12 分)如图，已知三棱柱 ABC ABC 的侧棱垂直于底面，AB = AC, / BAC = 90，点 M, N 分别是 AB和 B C 的中点。(1)证明：MN /平

14、面 AA C C;设 AB=入 AA 当入为何值时，CN 丄平面 A MN，试证明你的结论.b 的值;1f(x)的图象上每点的横坐标缩小为原来的2，纵坐标不变已知g“+ 7 =芳(1)fx) = acos x bsin x, 1 分- a2+ b2= 2由已知有：(2)先将g(x)的图象,【解n，n，求 cos 2a的值.6 2I a=3,解之得：丫nnb=1acos o bsin = 1b=1.6 6n,再将其向右平移石个单位得到函数因为将 f(x)的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，n再将其向右平移 匚个单位得到函数 g(x)的图象,6则 g(x) = 2sinn “2x-6

15、，8分则 cosn10a+ 4 = 13，an ：1厶八2 +3 =-云10分 n n2a+3丿-r12 1535j31211 1I11 1t13 十 13 2 =26COS 2a=cos鳥得sin12=COS7n； 5it i厶儿2a+ =153,且2少七n !n2a+3cos3+sin2a+ sin2 a33.12 分页9第【解析】(1)取 A B 的中点 E,连接 ME , NE.因为点 M , N 分别是 A B 和 B C 的中点，所以 NE/A C : ME /AA :页10第又 AC面 AACC, AA面 AACC,所以 ME/平面 AA C C, NE/平面 AA C C,所以

16、平面 MNE /平面 AA C C,因为 MN 平面 MNE ,所以 MN /平面 AA C C.6 分连接 BN,设 A A = a,贝UAB=a由题意知 BC = 2 入aNC= BN=a6 7 8+尙2, 三棱柱 ABC A B C 的侧棱垂直于底面，平面 A B C 丄平面 BB C C,AB= AC,点 N 是 B C 的中点，:AN 丄平面 BB C C, .CNIA N.要使 CN 丄平面 A MN ,只需 CN JBN 即可，.CN2+ BN2= BC2, 2 a2+ *爲2= 2 為2治 2,当= 2 时，CN 丄平面 A MN.12 分19.(本题满分 12 分)某地 11

17、0 岁男童年龄 片(单位：岁)与身高的中位数 yi(单位：cm)(i = 1, 2,，10)如下表所示:X/岁12345678910y/cm76.588.596.8104.1111.3117.7124130135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.I4ISI WI2Ul|Uicio319701.丄4I :.*1T 2 H错误！(Xi)(yi)112.4582.503947.71566.85=112.456.87X5.5却4.67,所以 y 关于 x 的线性回归方程是=6.87X+ 74.67.4 分若 y 关于 x 的线性回归方程是=6.87X+ 74.67

18、,所以 x= 11 时，=150.24;2若回归方程是=0.30 x + 10.17X+ 68.07,所以 x= 11 时，=143.64;因为|143.64 145.3|= 1.66|150.24 145.3|= 4.94,所以回归方程=0.30 x2+ 10.17X+ 68.07 拟合效果更好.8 分6 求 y 关于 x 的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01);7 某同学认为方程y= px2+ qx+ r 更适合作为 y 关于 x 的回归方程模型，他求得的回归方程是=0.30X2+10.17X + 68.07.经调查，该地 11 岁男童身高的中位数为145.3 cm.与(1)中的线性

19、回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？8 从 6 岁10 岁男童中每个年龄阶段各挑选一位男童参加表演(假设该年龄段身高的中位数就是该男童的身高)再从这 5 位男童中任挑选两人表演“二重唱”，则“二重唱”男童身高满足|y yj|w6, (i, j =6, 7, 8, 9, 10)的概率是多少？参考公式：=,= 【解(1)因为=10=5.5,566.8582.5P.87,页11第设 6 岁10 岁男童挑选的 5 位男童身高分别为 a, b, c, d, e,则从中任挑选两人表演 “二重唱” 有 10 种选法：(a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b,

20、 d), (b, e), (c, d), (c, e), (d, e);两男童 身高的中位数满足|yiyj| 1),以 H 为圆心，HA 为半径的圆方程为：OM 方程：(x 4)2+ y2= 1.得：直线 AB 的方程为(2x m2 4)(4 m2) (2y m)m = m4 7m2+ 14.15当 x = 0 时，直线 AB 在 y 轴上的截距 t = 4m _(m 1),t 关于 m 的函数在1 , +旳单调递增，tmin= 11.12 分、”V14 X1法二：设 A(x1, y1), B(x2, y2), -kMA=, -kHA=,X1 4y1可得，直线 HA 的方程为(4 X1)x y

21、+ 4x1 15= 0 ,(135.4, 140.2),故概率是3P|yi_yj6= 10.12 分y2),yH y1yH y2 =,XH X1XH X2y2 y1y2 y1kEF= 2X2 X1y2 y1y2+ y1法二：当/AHB 的角平分线垂直 x 轴时，点 H(4, 2), HB = 60 可得 kHA= . 3 , kHB= 3 , 直线 HA 的方程为 y=J3x 4 近+ 2 ,|y=/3x 4 也+ 2 ,联立方程组 ly2=x,詁 336佻+2= y , -yE=飞帀6同理可得 yF=311八=6分得，3y2 y_ 4,3+ 2 = 0,13 4.3XE= 3 .13+ 4、

22、31XF=3, kEF= 4.6 分242242HM2= m4 7m2+ 16, HA2= m4 7m2+ 15.(x m2)2+ (y m)2= m4 7m2+ 15, 页13第同理，直线 HB 的方程为(4 X2)x y2y+ 4x2 15= 0 ,页14第2 2.(4 Xi)yo yiyo+ 4xi 15= 0, (4 X2)y y2yo+ 4x2 15 = 0,直线 AB 的方程为(4 y0)x yoy+ 4y0 15 = 0,15令 x = 0,可得 t = 4yo (yo1),yot 关于 yo的函数在1 , +旳单调递增，tmin= 11.13 分21.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)= ax2+ bx+ 1 在 x= 3 处的切线方程为 y = 5x 8.(1)求函数 f(x)的解析式；若关于 X 的方程 f(x)= kex恰有两个不同的实根，求实数 k 的值；数列an满足 2a1= f(2), an+1= f(an), n N,证明： an+1an11 1 1 1 S=+.+1,又 an+1= f(an) = an an+ 1.22an+1 an= an 2an+ 1 = (an 1) 0,