2020届安徽省江南十校高三第二次联考数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2222 页2020 届安徽省江南十校高三第二次联考数学(理)试题、单选题1 1.已知全集Uy y ex，集合Ax In x 10，则eUA=()A A .-,02,B B.2,C C .-,12,D D.0,1 U 2,【答案】D D【解析】 分别求两个集合，再求CuA. .【详解】解得U y|y 0，0 x111x2A x|1 x 2，euA0,12,故选：D D【点睛】 本题考查指对函数表示集合，集合的补集，意在考查基本计算，属于基础题型x 6,x ,若角 的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合,2x,x 0终边经过P( 5,12)，则f f cos()B B. 2 2【

2、答案】B B【详解】根据三角函数的定义可知OP13, ,所以cos513，5故f cosf136 1,1313贝y f f cosf 12.故选：B B【点睛】2 2.函数f(X)【解析】 首先根据三角函数的定义，先求cos，再代入分段函数求值第2 2页共 2222 页本题考查三角函数的定义，分段函数求值，属于基础题型3x 2y 03 3.已知点P x, y满足不等式x y 5 0，点Q x, y是函数f（x）x2的图x 5 0像上任意一点，则两点P P,Q Q 之间距离的最小值为（)A A .匚！12B B.1313 1 1C C. 4 4D D.5三2【答案】A A【解析】首先画出不等式表

3、示的可行域和函数f x的图象，根据数形结合表示两点间距离的最小值 【详解】如图所示，点 P P 在平面区域阴影内任一点 P P,y .1 x2y21 x2y 0,2 2即x y 1 y 0点 Q Q 在半圆x2y21（0 y 1）上，如图，过点 O O 作直线x y 50的垂线，垂足为 P P,交半圆于 Q Q，此时|PQ取最小值,【点睛】本题考查不等式表示的平面区域，函数图象的做法，意在考查数形结合解决问题的能力,第3 3页共 2222 页属于中档题型logbSinlogbcoslogb si4 4.已知b 1,0,x (cos ),y (cos ),z (sin )4则 x x,y y,z

4、 z 的大小关系为()A A .xyzB.zxyC.zyxD.yzx【答案】B B【解析】 首先比较sin与cos的大小，再根据指对函数的单调性比较x, y的大小,根据幕函数的单调性比较x, z的大小. .【详解】解：f t logbt为增函数，0 sin cos 1为减函数得logbsin logbcos 0，g(t) (cos亍为减函数，则x y.a当 a a O O 时，h t t在第一象限单调递减,的值域，求sin的值，再解实数x的值. .【详解】x 1解：由题得x 0不是方程的解，sinx x，由X1X1a logbSin且cos sin，贝U x z. 故z x y.故选：B B【

5、点睛】本题考查根据指对幕函数的单调性比较大小， 性的应用，属于中档题型 5 5.如果关于实数的方程2xsinx21A A .x| x1或x 1C C .x |x 0或x 1【答案】D Dx【解析】首先参变分离为sin212x以及三角函数的大小，重点考查函数单调0有解，那么实数x的取值范围是()B B .x |x 0或x1D D .1,1,利用基本不等式求sin的范围，再结合sin第4 4页共 2222 页2X1且1 sin1得sin1，故X1.故选： D D【点睛】本题考查根据函数零点求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想，属于中档题型6 6要得到函数y、2COS2X的图像，只需将函数 y

6、 y sin2xsin2x cos2xcos2x 的图像()A A .向左平移一个单位B B 向右平移个单位8833C C.向左平移 个单位D D 向右平移个单位8 8【答案】D D【解析】 首先将两个函数化简为同名三角函数，再判断图象平移过程【详解】解：y sin2x cos2x、2sin(2x ). 2sin2(x )48y 2cos2x、“2sin(2x) 2sin 2(x),3故向右移个单位.8故选：D D【点睛】本题考查三角恒等变换，和函数平移变换，本题的关键是两个函数一定要化为同名三角函数，熟练应用诱导公式和辅助角公式 7 7 在公差不为 0 0 的等差数列an中取三项32,34,

7、38，这三个数恰好成等比数列，则此等比数列的公比为(1A .-3)1B B. 一2C C. 2 2D D . 3 3【答案】C C【解析】根据题意a：3238，解得322d2d，再代入求公比. .【详解】解：34322d,a8a26d,因为a4a2a8，且d 0，求得 a a22d2d ,所以公比q- 2；a2qa8a4a8a44d2或解：q2.a4a2a4a22d故选：C【点睛】本题考查等比数列和等差数列的基本量的计算，重点考查计算，属于基础题型8 8 .设 m m、n n 是两条不同直线，aB是两个不同的平面.命题p: m / / n，且p是命题 q q的必要条件，则 q q 可以是（）A

8、 A.m/,n/ ,/B B.m,n,/C C.m丄,n丄,/D D.m,n/,/【答案】C C【解析】由题意可知，若p p 是命题 q q 的必要条件， 则qP,逐一分析选项，判断直线m,n的位置关系. .【详解】由题意可知，若 p p 是命题q q 的必要条件，则qP,A.A.若满足m/,n/,/，则m,n平行，相交，异面都有可能，所以不正确；B.B.若满足m,n,/，则m, n平行或异面，所以不正确；C.C.若满足m丄,n丄,/，只能推出两直线平行，故正确；D.D.若满足m,n/,/，则m,n平行，相交，异面都有可能，故不正确 故选：C C【点睛】本题考查线线， 线面， 面面的位置关系，

9、以及必要条件的判断， 意在考查空间想象能力,定理的灵活应用，属于基础题型9 9.设函数f (x) e exa(x0), 若存在b0,1使得f f bb成立,则实数a的取值范围是（)c1A A.2,eB B.2,e1C C.e, e -D D.2,eee第 5 5页 共 2222页第6 6页共 2222 页【答案】A A【解析】 首先利用导数可知函数f x单调递增，由题意可知f b b有解，参变分0,1，再换元设ebt，t 1,e，利用基本不等式求a的取值范围【详解】解：f (x) exex10(x0)，故f x在0,上单调递增.b 0,1时，f f b b成立，即f b b有解，则ebebb

10、a b-故a ebeb，b (0,1.令ebt，则t 1,e,e e t 2,e ，即a 2,e tee故选：A A【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，最值，和参数的取值范围，意在考查函数与方程的思想，本题的关键是根据函数的单调性，确定f b b. .1010 长度为 1 1 的线段 MNMN 的正视图，侧视图和俯视图的投影长分别为a a、b b、c,c,则a b c的最大值为（）A A 2 2B B.2 2C C D D 3 3【答案】C C【解析】由已知条件构造长方体，使 MNMN 与BD1重合，设长方体长、宽、高分别为x x,y y,z z,2 2 2 2则x y z 1，然后利用基

11、本不等求a b c的最大值. .【详解】 解：构造长方体ABCD A1B1G1GD1，使 MNMN 与BD1重合.设长方体长、宽、高分别为x x,y y,z z,离后可得a ebeb，b2【详解】第 7 7 页共 2222 页由题知：厂2za，:y22zb，x2y2c，a2b2c22，22.222ab2bc 2ac,a b cabc3(a2b2c2)6, 故abc . 6.故选：C C【点睛】本题考查三视图， 几何体的结构特征， 考查空间想象能力， 基本不等式的应用， 本题的 关键是构造几何体，将使 MNMN 与几何体的体对角线重合. .2x1111.如图所示，点 P P 为椭圆一4SVIF1

12、F2的内心为 I I，贝y(【答案】1上任一点，F,F2为其左右两焦点,PF,F2B. 22【详解】第 7 7 页共 2222 页得到面积比值【解首先连 PIPI 延长 x x 轴于 D D,连IF,IF2，利用角平分线定理得到IDIP|DFi1PF,I，再利用和比定理和椭圆的性质，得到ID 2cI7IIa1，从而第9 9页共 2222 页解：连 PIPI 延长 x x 轴于 D D,连IFi,IF2.IDDF1，在VPF2D中有IDIPPFjIP在VPFQ中有PF2DF2故帥器馆窃2cIP|ID I 11F1F2【点睛】故S2a本题考查椭圆的性质和角平分线定理解决三角形面积比值，意在考查转化

13、与化归的思想，数形结合分析问题，属于中档题型，本题的难点是角平分线定理的应用1212 偶函数y f x满足 f f 2 22 2 x x，当X2,0时有f x 2x.若存在实数冷X2,X，满足0为X2L Xn，且f X1f x2A A . 198198【答案】B Bf X2f X3B B. 199199【解析】首先由条件分析函数的周期为取得最小值，需尽可能多的最小值. .【详解】解：f x 2f 2 x，推得f故f x最小正周期为 4 4.f Xn 1C C.1984 4,并且f Xif Xi 1xn299，则Xn的最小值为log23D D.199 log234 13,所以要Xn3，根据函数的

14、周期和解析式得到Xn的第1010页共 2222 页f Xif Xi 14 1 3,Xn取得最小值,则需尽可能多的Xi取到最高(低)点，【点睛】本题考查函数的周期，最值，图象，解析式的综合应用，意在考查转化与化归的思想,函数性质的灵活应用，属于中高档题型 、填空题2【答案】-5【解析】由诱导公式变形求tan 2，再根据三角恒等变形化简求值【详解】解：sin2cos可得tan 22sin (2cos 1) sin cossin cos.2 2sin costan 2tan2152故答案为：兰5【点睛】 本题考查三角恒等变形，意在考查转化与化归的思想，属于基础题型 1414 已知三棱锥A BCD所有

15、顶点都在半径为 2 2 的球面上，AD面 ABCABC,BAC 90,AD 2，则三棱锥A BCD的体积最大值为 _1313 .已知sin2cos， 则sin1)第1111页共 2222 页【解析】由条件可知三棱锥可补成长方体，并且求得AE BC2：3，底面AB2AC2BC212，根据基本不等式可求得AB AC的最大值和体积的最值【详解】因为AB,AC,AD两两垂直，所以三棱锥可补成长方体，底面三角形ABC可补成长方形ACEB，连结AE，DE，则DE是长方体的体对角线，也是球的直径，AE是小圆的直径,如图，DE4，AE . DE2DA22 3 2r BCAB2AC22BC 12 2AB AC则

16、AB AC6,【点睛】V - - AB AC AD3 2-2AB AC6【答第1212页共 2222 页本题考查三棱锥和球的组合体的综合问题，意在考查空间想象能力，基本不等式解决最值问题，属于中档题型，本题的关键是确定三棱锥可补成长方体，利用长方体的性质和基本不等式求底面的最大值1515 函数f X是定义在 R R 上的奇函数，若对任意X!,X2,0且捲X2，都有勺_一X2f X20成立，则不等式xf x x 1 f x 10的解集为X,x21【答案】X | X2【解析】 设函数g x xf x，由条件可知函数g x是偶函数，并且在,0单调递减，不等式等价于g X g X 1，利用函数的性质解

17、抽象不等式 【详解】解：令g x xf X，X-1f (x1) x2f(x2) cc由一11220，得g x在-,0为减函数，X1x2且g x为偶函数，故g x在0,上为增函数，g X g X 1即g(|x|) g(|x 1|)1故|x| |x 1|，解得X -,21所以不等式的解集是x|x. .21故答案为：X | X2【点睛】本题考查判断函数的性质，并且根据函数的奇偶性，单调性，解抽象不等式，意在考查转化与化归的思想，本题的关键是构造函数g X xf X，并判断函数的性质 1616 如图所示，F1, F2为椭圆的左右焦点，过F2的直线交椭圆于 B BD D 两点且BF2|2F2F2DIDI

18、 , E E 为线段BF1上靠近F1的四等分点若对于线段BR上的任意点 P P,第1313页共 2222 页ujuluur uuur uur都有PF1PD EF1ED成立，则椭圆的离心率为 _ 第 i i1414页共 2222 页【解析】取FiD的中点 Q Q,连 EQEQ.PQPQ.根据向量的加法和减法转化uuu uuuUUUL21LturPF1PDPQ -DFi,4UUUULLTuuuu21UUUU uur uuu同理EFiED EQ2DFj，等价于| PQ | |EQ|,由点P的任意性判断4EQ BFi，得到DFi|DB |，根据几何关系和椭圆定义得到边长，根据余弦定理建立方程求椭圆的离

19、心率【详解】UUU iPD -4uuur(PFiunr2PD)UULT uuur2(PFiPD)ujur4PQ2luuirDFi2UJUUPQ2uuurDFi2,4uur uurEFiEDuurEQ2iU吧UULT UUU-DFi,PFiPDuuurEFiuuurED恒成立等价于umr|PQ|mur|EQ|,解：取FiD的中点 Q Q，连 EQEQ.PQPQ.同理因为点P是线段BFi上的任意一点，故BFi，得到DFi|DB |,EQ设DF2x，贝y BF22x,DFia由2a x 3x，得x ,2在VFiBF2中，cos FiBF2在VDFiB中，又cos FiBD3BFiBF2aDFi2a，

20、2 a24c2212e2a22233a-a-a221332a a22a x,2第1515页共 2222 页UUUTPFi42第1616页共 2222 页即g x的单调Ik k，k Z.所以12e23，解得e辛.J5K故答案为：J1I3【点睛】 本题考查求椭圆的离心率，平面向量和几何图形的应用，意在考查转化与化归的思想， 数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中高档题型，本题的关键是把向量的数量积 转化为边长关系，再根据点P的任意性，进一步得到几何关系 三、解答题1717 .已知面数f(x) 2sin(2x)，2 2(1 1)当时，求函数g x f x 2sin2 x的单调递增区间;3i答案】(

21、1)3k，-k，k Z(2)区间;(2(2)若函数x满足f(6x)f ( x)，求的值6【解析】(1 1)根据三角恒等变形为g x2.3 sin 2x ，直接求函数的单调递增6(2(2)由题意可知函数【详解】x关于x$对称，代入直接求的值. .(1)g(x)2si n(2x ) 2si n2x2 3sin(2x6)，2k2x2kk Z时函数单调递增,第1717页共 2222 页(2)由f ( x) f ( X)得f X图像关于X对称6 66k6，k Z- 又 -2得n6【点睛】 本题考查三角恒等变形，求函数的性质，以及根据函数的性质求参数，意在考查转化与 化归的思想，基本能力，属于基础题型(1

22、)若B-，求ACD的余弦值;uuuT(2(2)点 M M 是线段 CDCD 上一点，且满足AMuuuu求| AM |的最小值.coscos ACDACD ；或是设ACD,在VACD和VBCD中18如图在VABC中，BAC3 3,满足uuuruuurAD 3DB-【答案】(1)cos ACD5.1326UUU(2)|AM |minUULT【解析】(1 1)设DBuuua，则|AD|3a，在VACD和VBCD中利用余弦定理求CD，利用正弦定理，建立等量关系求ACD的余弦值;(2(2)利用 C C、M M、D D 三点共线,求得1 1uuu uuum m - -,再根据三角形的面积求得| AB| |

23、 AC| 8,3 3UUUUU 4根据向量数量积求AM2131UULTAC1UULT2!AB，展开后利用基本不等式求最小值2【详解】ujurmAC1 uuu_2AB，若VABC的面积为以，再在VACD第1818页共 2222 页uur(1)由题意可设DBuuua，则| AD | 3a.在VBCD中有：BC2DB2GD22DB CD cos BDC3可得CD213a2，在VACD中有：AD2AC3CD22AD CD cos ACD，解得cos ACD5-26或解：由题意可设ACD, 在厶 ACDACD中：-ADCDsin sin605/ABCuur|AB|ujur|AC|uur2|AC |216

24、 uur2|AC|2在VACD中有：AC2ADAD2CDCD22AD2AD CDCD coscos ADCADC 在VBCD中:DBCDsi n(60)si n60由，可得3sin60sin解得tan3 3-,故cos5 13526uuuuuuu1uuuuur(2 2)AMmACABmAC2D D 三点共线，所以且 C C、 M M、1 1m m2 uur-AD,3uuu故|AB|uuu|AC|UJUJUAM21uuu-AC31 uuu-AB2uuuuAC2uuuuAB241 ujur uur AC AB3uuu当且仅当| AC|2.3时;所以UULUU| AM|min22、3第1919页共

25、2222 页本题考查解三角形，平面向量，基本不等式求最值的综合应用，主要考查了方程的思想,转化与化归的思想，计算能力，本题的难点是结合条件，分析图形，转化为数学问题1919 .已知数列an的前 n n 项和记为Sn,4 2且nan 1(n 2)& n N*.(1 1)求数列Sn的前 n n 项和Tn；Sn 1(2 2)数列bn的通项公式bn；n，证明 Jb?n 1 .(n 1)22n 1n 1【答案】(1 1)Tn(n 1) 22(2 2)证明见解析【解析】(1 1 )首先条件变形为n Sn 1Sn(n 2)Sn，变形后可得 色是等比数列,n求Snn 2n，并且利用错位相减法求和；(2 2)由

26、(1 1)可知bn，证法一，首先 並放缩为2n 1，再求乘积证明不n 12nV 2n 1等式；证法二， 放缩为，n，再求乘积证明不等式；n 1Y n 2【详解】(1 1)由叫1(n2)Sn, n N可得n :Sn 1Sn(n 2)Sn,即2,n*N,n1n所以SnS12n 12n，故Snn 2nn1Tn11 22 2 23 23Ln 丁第2020页共 2222 页证法二（参照给分）【点睛】2020 已知四棱锥P ABCD的底面 ABCDABCD 为菱形，BADBAD 6060，侧面 PADPAD 与底面 ABCDABCD3P P 到平面 ABCDABCD 距离为2【答案】（1 1）证明见解析（

27、2 2）7【解析】（1 1）要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，取2Tn1 222 233242n1- -得:Tn12122232nn 2n 1Tn(nn 11) 2(2(2) b bnSn(n 1)2n2n(n 1)2n证法一：Q红2n(2n 1)2(2n)2(2n 1)2(2n)22n 12n 1bi baL b2n 12n2n,2n 1L -2n 1bi baL b2n 14L2n 12n2n 112n 1本题考查递推公式求通项公式,错位相减法求和，利用不等式放缩证明不等式，意在考查推理证明，转化与化归，第二问是本题的难点, 放缩法是证明不等式的常用方法ADAD 中点 E E,即证明A

28、DPBPB 的中点为 G G,由（1 1）2T1nJi2，nn 21335L. 2n 1第2121页共 2222 页平面PBE;（2 2）由几何体的关系，得到如图所示的空间直角坐标系，设第2222页共 2222 页可知AG,BC都与交线垂直，GA与BC的夹角 为所求二面角的平面角【详解】（1 1）取 ADAD 中点 E E,BEAD则由已知得AD平面PBEAD PBPEADAD平面 PBE(2 2)AD平面ABCD平面 PBEPBE,平面 ABCD又平面PBE平面ABCD BE.过 P P作PO BE交 BEBE 的延长线于 0 0,则PO面 ABCDABCD ,由题可得到PEO 60uuu

29、uuu-GA BC2、7-tuuUUU- |GA|BC| 7【点睛】 本题考查线线垂直的证明，二面角的求解，意在考查推理证明，空间直角坐标系解决空间角，属于中档题型，本题的第二问是用空间直角坐标的方法解决二面角，一般都是要 求两个平面的法向量，但这个题不用，而是有和交线垂直的线，所以连接AGAG,朋 2,0),C(UUU3 巧3uuuPB(0,),BC2,2UUUUUUUUUTUUU于是GAPB 0,BC PBUUUUUUGA与BC的夹角为所求二2,0), GA(1,仝3,24 4则COSULD UUlUGA与BC的夹角建立如图所示直角坐标系，设PB的中点为 G G,则P（O,O,|）,B（O

30、,苧,o）,PB中点G（O,33/3）第2323页共 2222 页表示二面角 2121 如图，已知椭圆 E E 的右焦点为F21,0, P P.Q Q 为椭圆上的两个动点,2 2【答案】（1 1）竺乞1（ 2 2）x 143【解析】首先表示VPQF2的周长，并利用定义转化求周长的最值，求解方程;（2 2）可设直线I : x my 1,与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示 面积，并通过换元法和基本不等式求最值【详解】（1 1）取左焦点F-,0,VPQF2的周长为：PF2QF2|PQ| 2a PF12a QF1|PQ|4a | PF|QFj|PQ|4a（三点 P P,Q Q.F1共线时取等号），2 2由4a 8,a 2，椭圆 E E的方程：1. .43P S-7VPQF2周长求厶F1MNF-!MN的面积取最大值时的