2020届山西省太原五中高三3月模拟数学(文)试题(解析版)

1、第1页共 22 页2020 届山西省太原五中高三 3 月模拟数学(文)试题、单选题1.已知集合A x|ln x 1，Bx| 1A .(0,e)B.( 1,2)C.( 1,e)D.(0,2)【答案】D【解析】 解不等式In x 1，化简集合A，根据交集定义即可求解【详解】因为A x| Inx 1x|0 x e，所以A B x|0 x 2.故选:D【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题.【详解】解：因为211.2故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的计算以及复数的模，属于基础题.3 .已知向量a1, 2，向量b 3,4，则向量a在v方向上的投影为( )x 2，则AI B

2、2 .已知复数Z则|z|【答B. 2C. .3【解根据复数代数形式的除法运算计算化简，再计算其模所以|z|B. -1第2页共 22 页A. 1【答案】B第3页共 22 页【详解】r r,向量a在b方向上的投影故选：B【点睛】 本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题2 24 .若过椭圆X1内一点 P (2, 1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为94A . 8x+9y- 25 = 0B. 3x - 4y- 5 = 0C. 4x+3y - 15= 0 D . 4x- 3y - 9= 0【答案】A【解析】 设出 A、B 坐标，利用平方差法，求直线的斜率，然后求直线方程.【详

3、解】设弦的两端点为 A ( X1, y1), B (X2, y2), P 为 AB 中点，因为 A, B 在椭圆上，2所以x12y121, 22生1,94942 22 2两式相减得：刍一堂 凶注0,94yi+y2= 2,89，8则 k ,且过点 P (2, 1),98所以 y- 1(x-2),9整理得 8x+9y - 25= 0.故选：A.【点睛】r r【解析】 根据向量a在b方向上的投影，带入数值即可arb 3 8b .( 3)242因为X1+X2=第4页共 22 页本题主要考查直线与椭圆的位置关系，点差法的运用，还考查学生的计算能力，属于中 档题.325 .已知函数f x x x 1 si

4、n x,若f a 1 f 2a 2，则实数a的取值范围是（）3311A . 1，-B. -,1C. 1,-D. -,1222 2【答案】C【解析】 构造函数g x f x 1，证明g x是奇函数，单调递增，再将所求的不等式转化成关于函数g x相关形式，利用g x的性质，解出不等式，得到答案【详解】因为f x3xx 1 si nx设g xf x31 x X sinX，定义域x Rg x3x x sinxg x，所以g x为奇函数,g x 3x21cosx0,所以g x单调递增，不等式fa 1f 2a22f a 11f 2a21g a 1g2a2g a 1g2a2a 12a21解得 1 x -2故

5、选 C 项【点睛】本题考查构造函数解不等式，函数的性质的应用，属于中档题6 .已知命题 P：XH, FAQ,命题使皿仗+ ）=伽口+如久则下列命题为真命题的是（）A.PMB. P 甘（g）c. （P）人 qD .PA（）【答案】c第5页共 22 页【解析】试题分析：因为 冲 E R, F Z ，所以命题 P 是假命题，因为当 = -0时，第6页共 22 页愉n（cc+ /i）=lantx +山叩，所以命题q是真命题，所以pAq是假命题，卩丫（制）是假命题，莎人耳是真命题，小（F）是假命题，故选 C.【考点】1、全称命题和特称命题的真假性；2、复合命题的真假性.7 在荷花池中，有一只青蛙在成品字

6、形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一 叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）【答案】的 n 的值为（）B.8D【解【详若按照顺时针跳的概率为P，则按逆时针方向跳的概率为2p，可得P 2P 3P 1，解得P 1，即按照顺时针跳的概率为-，按逆时针方向跳的概率32为一，若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，则满足3针若先按逆时针开始从A B，2 2则对应的概率为-228若先按顺时针3 3327 1开始从A C，则对应的概率为11 1 1，则概率为811，故选 A.3 3 32727273程序框图描述

7、，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S（些，16一），则输入64A 33次逆时针或者3次顺时8 庄子说： 一尺之锤，日取其半，万世不竭，这句话描述的是一个数列问题，现用第7页共 22 页A. 7B. 6【答案】C【解析】模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的S, k 的值，由题意，说明当算出的值八 H)后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的【详解】框图首先给累加变量 S 赋值 0,给循环变量 k 赋值 1,即：54V6,n 值.输入n 的值后，执行循环体，S判断 2 n 不成立，判断3 n 不成立，执行循环体,判断 4 n 不成立，执行循环体,1,k= 1+1 = 2；23k=

8、 2+1= 3;47k= 3+1 = 4;815k= 4+1 = 5.16判断 5 n 不成立，执行循环体,3132，k=4+1=6.判断 6 n 不成立，63,k= 4+1 = 7.64由于输出的Sc(15,63)，可得：当S32, k= 6 时，应该满足条件32S=Q,k=Ik=kl/输出s/可得输入的正整数 n 的值为 5.故选：C.【点睛】 本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，属于基础题.【解析】 根据函数的奇偶性和特殊值可判断【详解】故选：D.【点睛】 本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法

9、灵活判断，属于基础题10 如图，在长方体ABCD A1B1C1D!中，AB 8,AD 6，异面直线BD与 AG 所成角的余弦值为1，则该长方体外接球的表面积为(5【答案】B【解析】先做出BD与AG所成角的角下图中的BOE，设CE x,OE, BE用x表示,然后用余弦定理求出x,求出长方体的对角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案9.函数f(x)ln|X|C0SX在x sin x,0)U(0,的图像大致为()il /hA .Jr七十-IT2 心7TX解：因为f( x)In | x| cosxx sin xf (x)，所以 f(x)为奇函数，关于原点对称，故排除A，又因为f (0，f(2)0，匕

10、)0,f( )0，故排除B、C,成角的余弦值为1，则该长方体外接球的表面积为(5A.98B.196C.784第9页共 22 页第 6 页共 22 页【详解】 连AC与BD交于0点，则O为AC中点，取 CCi中点E，连BE,OE，则 ACi/0EEOB 为异面直线BD与 ACi所成角,设CE x,则BEx6，AB 8,AD 6,OB OC 5,OE 25 x2在OBE中，由余弦定理得CCi2x 4,6，所以长方体的外接球的半径为【答案】BBE236 x2OB2OE22OBOE cos EOB36 x225 25 x22 25 x2解得x 2.6所以长36 一 6 厂 9614所以长方体外接球的表

11、面积为196.i XYDJ r/J本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角，解三角形是解题的关键，属于较难题11.若f x1当 x 0 , 1时，f ( x)= x,若在区间(-1, 1内,x 1mmx,2m0有两个零点，则实数 m 的取值范围是(B.o,2【解析】根据当x 0 , 1时，f (x)= x,当 x(-1, 0)时,x+1 ( 0, 1),得到 fE【点故选:B第11页共 22 页所以 f (X)1所以函数 y= f （x）与函数 y= m （x ）在区间（-1, 1内有两个交点，211而函数 y= m （x ）恒过定点（ ，0）,在同一坐标系内画

12、出两个函数的图象，如22图所示:函数 y= m(x象，根据图象,【详根据题意,故当 x (-1，故 f (x)x 1x,0 x 11,1xvo，题目问题转化为函数y= f（x）与1一 一 一 一 ）在区间（-1, 1内有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图2利用数形结合法即可求出m 的取值范围.1rr，又当xc0,1时，f(x)= x,1, 0)时，x+1 ( 0, 1),则 f (x) +1故 f ( x)1x 1x,01,1x0在区间（-1, 1内有两个零点,21）在区间（-1, 1内有两个根，2第12页共 22 页当 y= m(x121）过点（）时，斜率m,第13页共 22 页当 y

13、=m(x-)过点(1, 0)时，斜率 m= 0,由图象可知，当0vm2-时，两个函数图象有两个交点,3即g xf Xmx,m0有两个零点，2故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及直线过定点问题，属于中档题.xX有两根为 X1, X2,设g Xe利用导数法研究其图象利用数形结合法求解【详解】依题意：xf (x)= X- aex，则 f (x)= 0 的两根为 X1, x2,g卩a的两根为 X1, X2, g (乂)在(-8,1 )上单调递增，在(1, +8)上单调递减，函数 g (X)的图象如下,1J /r12W由图可知，0vX1v1, X2 1,x当 x(-8,X1)

14、u(X2, +8)时，v a，则 f (x)v0, f (X)单调递减,12 已知 a 为常数，函数fA f Xiv0,fx2C f x-iv0,fx2v【答案】Ax1x2aex有两个极值点21 B f Xi21D f Xi2X1,X2,且 xivX2,则有()1v0,fX2210, f【解析】 求导 f (x)= x - aex,将问题转化为aXXe xe/ X 2(e )，令 g (X) =0,解得 X= 1,第14页共 22 页ex当 x( X1, X2)时，二 a，贝yf (X) 0, f (x)单调递增，e第15页共 22 页故选:【点睛】属于中档题二、填空题x y13 .已知实数x

15、, y满足2x yy【答案】先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解【详解】平移直线3x y 0,.f (x)极小值f x1122X1X1eX11为2X1，又 X1(0, 1),Xif (x)极大值f x22x2X2eX2ex12X2X2，又 X2(1,+8),2X2本题主要考查利用导数研究函数的极值,考查转化思想及数形结合思想,运算求解能力,x y画出不等式组2x y 20表示的可行域如图阴影区域所示z 的直线系,易知当直线z 3x y经过点M ( 3,1)时，直线的纵截距最小，目标函数z 3x y取0,贝y z 3x y的最小值是【解第16页共 22 页得最小值，且Zmin3

16、 ( 3) 18.故答案为：-8【点睛】本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力14 .在区间-2, 4上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|三的概率为丄，则 m=_【答案】3【解析】【详解】I只如图区间长度是 6,区间-2, 4上随机地取一个数 x,若 x 满足凶w啲概率为一，若 m0对于 3 概率大于,若 m 小于 3,概率小于,所以 m=3.故答案为 3.,I1、-5 4 *3、10L 2J 15.在 MBC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 (a+b) sinB = csinC - asinA ,2c 2J3,AAB

17、C 的面积记为 S,则当S取最小值时，ab=_s4.613由正弦定理化简已知等式可得a2+b2- c2=- ab,利用余弦定理可求 cosC，可进而由题意，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求解.【详解】sinB= csinC - asinA,b= c2- a2,可得 a2+ b2- c2=- ab,2ab C(0, n),【答案】【解析】2.2 2cosCa b cab2ab第17页共 22 页S,SS第18页共 22 页即 S2-absinC ab 时等号成立，解得此时ab -.243故答案为：4 63【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综

18、合应用，还考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题.16.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b a b,原点0为AD的【答案】122bb10,解得一12或1- 2,因为aab0 a b，所以一12.a【考点】抛物线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答红球的抛物线的焦点坐标，得到四边形的面积，列出关于a,b的方程是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.0经过C,F两点，贝U -a【解析】试题分析：因为D是抛物线ya2a

19、x p 0的焦点，所以D（a，0），因为正a方形DEFG的边长为-，所以F（22b,b），因为F在抛物线上，所以b2a (| b),即b22ab a20,所以()2第19页共 22 页三、解答题17 . ABC 的内角 A , B, C 所对应的边分别为 a, b, c.(I)若 a, b, c 成等差数列，证明：sin A+s in C=2s in (A+C );(n)若 a， b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值.1【答案】(I)详见解析(n)2【解析】 试题分析：(I)由 a, b, c 成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；(n)

20、由 a, bc 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB,将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB 的最小值试题解析：(I)ta, b, c 成等差数列， 2b=a+c,利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC ,/ sinB=sinr(A+C)=sin(A+C), sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C );(n) / a, b, c 成等比数列，二 b2=ac,当且仅当 a=c 时等号成立, cosB 的最小值为1.2【考点】 余弦定理；正弦定理18 .如图所示的多面体中， AD 丄平面 PDC，四边形 ABCD 为平行四

21、边形，E 为 AD 的中点，F 为线段 PB 上的一点，/ CDP = 120 AD = 3, AP = 5,PC2眉.(I)试确定点 F 的位置，使得直线 EF /平面 PDC ；P第20页共 22 页(n)若 PB = 3BF，求直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值.【答案】(I)当点 F 为 BP 中点时，使得直线 EF/平面 PDC; ( n )18 57.209【解析】(I)设 F 为 BP 中点，取 AP 中点 G,连结 EF、EG、FG ,推导出 GF / AB / CD , EG/ DP，从而平面 GEF /平面 PDC，进而当点 F 为 BP 中点时，使得直线 EF /

22、平面 PDC .(n)以 D 为原点，DC 为 x 轴，在平面 PDC 中过 D 作 CD 垂线为 y 轴，DA 为 z 轴，uur建立空间直角坐标系，求得平面PBC 的一个法向量，AF的坐标，代入公式uurr,AF nsin0 -Uutr占 求解.AFIIn【详解】(I)设 F 为 BP 中点，取 AP 中点 G,连结 EF、EG、FG , AD 丄平面 PDC，四边形 ABCD 为平行四边形，E 为 AD 的中点， GF / AB / CD, EG/ DP ,/ EGAFG = G, DPPCD = D，平面 GEF /平面 PDC ,/ EF?平面 GEF ,当点 F 为 BP 中点时，

23、使得直线 EF /平面 PDC .(n)以 D 为原点，DC 为 x 轴，在平面 PDC 中过 D 作 CD 垂线为 y 轴，DA 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， E 为 AD 的中点，F 为线段 PB 上的一点，/ CDP = 120 AD = 3, AP = 5,PC 27.CD25232(2歼 cos120，解得 CD = 6,2CD丿5232第21页共 22 页所以 A (0, 0, 3), B (6,0, 3), P (-2,2豪,0), c( 6, 0, 0),uuu 1 uuu设 F (a, b, c)，由 PB= 3BF，得BF -BP,31即(a- 6, b, c- 3)

24、 - (-8, 23, - 3),3【点睛】本题考查满足线面平行的点的位置的确定，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，还考查了转化化归的思想和运算求解能力， 属于中档题.19 . 2016 年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688 元发成手气红包 50 个，产生的手气红包频数分布表如表:| 1 . 5 | 5)(更乜11 H口 I L7. 21 )21, k就 fcAgp11(I)求产生的手气红包的金额不小于9 元的频率；(n)估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(川)在这 50 个红包组成的样本中，将频

25、率视为概率.(i) 若红包金额在区间21 , 25内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手 的概率；(ii)随机抽取手气红包金额在 1 , 5)U - 21 , 25内的两名幸运者，设其手气金额解得 a10,b口 , c = 2F (33uuuAF(巴,2 3，-1),CB(0,33设平面 PBC 的一个法向量n(x,y,r uuvn CB3z0则ruuv-，取 x= 11 n CP8x2.3y 0102 32),33uur0,3),CP(-8，2.3,0),z),得r4n(1,_3,0)，则直线 AF 与平面PBC 所成角的正弦值为:sin18 57209设直线 AF 与平面 PBC

26、 所成角为 0,第22页共 22 页分第23页共 22 页别为 m, n,求事件叫16”的概率.1913【答案】（I）; （D）12.44；（川）（i）, （ii）.25255【解析】（I）由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产生的手气红包的金额不小于9 元的频率.（D）先求出手气红包在1,5）、5,9 ）、9,13）、13,17）、17,21）、21,25内的频率，由此能求了出手气红包金额的平均数.（川）（i）由题可知红包金额在区间21 , 25内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰 好是最佳运气手的概率.（ii）由频率分布表可知，红包金额在1 , 5）内有 3 人，在21 ,25内有 2 人

27、，由此能求出事件m- n| 16 的概率 P （|m- n| 16）.【详解】3（H）手气红包在1,5）内的频率为500.06，手气红包在5, 9）内的频率为 一0.18,50手气红包在179 , 13）内的频率为-500.34,手气红包在1113, 17）内的频率为500.22,手气红包在817 , 21）内的频率为500.16,手气红包在221 , 25内的频率为500.04,则手气红包金额的平均数为:X3 0.06+70.18+11&34+15 0.22+190.16+230.04=12.44.（川）（i）由题可知红包金额在区间 21 , 25内有两人,设红包金额分别为 a, b

28、, c,在21 , 25内有 2 人,（I）由题意得产生的手气红包的金额不小于9 元的频率:17 118 2501925， 产生的手气红包的金额不小9 元的频率为1925抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率2 1P5025（ii）由频率分布表可知，红包金额在1 , 5）内有 3 人,第24页共 22 页设红包金额分别为x, y,第25页共 22 页若 m, n 均在1 , 5)内，有 3 种情况：(a, b), (a, c), ( b, c),若 m, n 均在21 , 25内只有一种情况：(x, y),若 m, n 分别在1 , 5)和21 , 25)内，有 6 种情况，即(a, x), (

29、a,y), (b, x)(b, y)(c, x), (c, y),基本事件总数 n= 10 ,而事件“|i-n|16 所包含的基本事件有6 种,第26页共 22 页 P (|m- n| 16)【点睛】10本题考查频率分布表的应用以及概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题22r-20 .已知椭圆 C:笃 爲1 ab0的离心率为 ，与坐标轴分别交于 A, B 两a b2点，且经过点 Q (2, 1).(I)求椭圆 C 的标准方程；(n)若 P (m, n)为椭圆 C 外一动点，过点 P 作椭圆 C 的两条互相垂直的切线 11、12,求动点 P 的轨迹方程，并求 ABP 面积的最大值.228

30、【答案】(i ) 0吐 1； (n) y=x -G8.423【解析】(I)由离心率及椭圆过的点的坐标，及a, b, c 之间的关系可得 a, b 的值，进而求出椭圆的方程；(n )过 P 的两条切线分斜率存在和不存在两种情况讨论,当斜率不存在时，直接由椭圆的方程可得切点 A, B 的坐标，当切线的斜率存在且不为0 时，设过 P 的切线方程,与椭圆联立.由判别式等于 0 可得参数的关系，进而可得PA, PB 的斜率之积，进而可得 m, n 之间的关系，即 P 的轨迹方程，显然切线斜率不存在时的点P 也在轨迹方程上;因为 PA, PB 互相垂直，所以三角形 RAB 的面积为11PA|2PB|2SA

31、ABP-|FA|?PB| 丄-22 2到点 P 的坐标求解.【详解】(I)由题意可得 e 2 丄 2 ,三a 2 a1 AB，当且仅当|PA|=|PB|时取等号，此时得41了1,c2=a2-b2,解得a2=4，b2=2，第27页共 22 页代入椭圆的方程可得 3x2+4、.6x+8 = 0,解得2226亏V,y土-3，所以 AB2= 2|FA|23233 所以椭圆的方程为：1;42(n)设两个切点分别为A, B，当两条切线中有一条斜率不存在时,即 A, B 两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时P 的坐标为：(2, 土、, 2 ),当两条切线的斜率存在且不为0 时，设过 P 的切线的方程为：

32、y-n = k (x- m),(km- n)x+2 ( km - n)2- 4= 0,即 m2+n2=6, (mz),所以点 P 在圆 x2+y2= 6 上.因为 li丄 12,y kx km联立直线 y - n= k (x- m)和椭圆的方程x2n，整理可得(1+2k2) x24k由题意可得= 16k2( km - n)2- 4 (1+2k2) 2(km n)2- 4 =0,整理4)k2- 2kmn+n2 2= 0，所以 ki?k2n22m24设直线 PA, PB 的斜率分别为 kik2,则 ki?k2n22m24 而 FA, PB 互相垂直，所以2n -2_41,m 4又因为 P ( 2,

33、)在m2+ n2= 6 上,1所以SABP|PA|?pB|221 PA|2PB|2|AB|2，当且仅当|PA|= |PB|时取等号,4即 P 在椭圆的短轴所在的直线上时即P (0,.6 ),由圆及椭圆的对称性设P(0, 76)，则直线FA 的斜率为FA的方程为:),第28页共 22 页【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系和求轨迹方程，还考查了运算求解的能力，属于难题.21 .已知函数 f (x)= axlnx - x2- ax+1 (a R)在定义域内有两个不同的极值点(1) 求实数 a 的取值范围；(2)设两个极值点分别为 xi, X2, X1VX2,证明：f (xi)

34、 +f(X2)V2 - X12+X22【答案】(1) a 2e (2)证明见解析【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论，确定导数正负即可求解函数单调性，结合单调性即可求解；(2)分析要证明不等式特点，进行合理的变形，然后构造函数，结合导数及函数性质 可证.【详解】(1)由题意可知，f (x)的定义域为(0, +8), f (x)= alnx - 2x,令 g (x)= alnx 2x (x0),由函数 f (X)在定义域内有两个不同的极值点，可知g (x)在区间(0, +8)内有两个不同的变号零点，,a 2x八由g x可知，所以(SAABP)max2I AB|第29页共 22 页x当 aw0 时，g (x)v0 恒成立，即函数 g (x)在(0, +8)上单调，不符合题意，舍去aa当 a 0 时，由 g (x) 0 得，0vXV -，即函数 g (x)在区间0,上单调递增；22aa由 g (x)v0 得，x?，即函数 g (x)在区间，上单调递减；第30页共 22 页解得：a 2e；a又g 12,函数 g (乂)在(1,)内有一个零点,2a只需证明：x；vx-ix2,22 22 1)其