2020届江苏省百校联考高三上学期第三次考试数学试题(解析版)

1、第1 1页共 2525 页2020 届江苏省百校联考高三上学期第三次考试数学试题一、填空题1 1若A 1,2,3,4,5,B 3,4,5,6，则下图中阴影表示的集合为 _【答案】3,4,5【解析】 根据韦恩图表示的是AI B，再利用交集的定义计算即可 【详解】解：韦恩图表示的是AI B，由A 1,2,3,4,5,B 3,4,5,6，则AI B 3,4,5故答案为：3,4,5【点睛】本题考查交集的运算，韦恩图的应用，属于基础题2 2.已知命题p :- 1 x1,xx0 m 1,m 0,m 0时，讨论函数 f f (x)(x)单调性，分析 f f (x)(x)的零点，进而得出m的取值范围.【详解】

2、解：(1)f1112m 1 1 mIn11-m ,22函数fx的导数为f x x m 1mx函数yfx在x1处的切线的斜率为f 1“m小1 m 10,1函数yfx在x1处的切线的方程为y1m.2由函数yx在x 1处的切线与函数y g x相切,2mx所以4m2(2)设函数2mxIn x所以当m2时,2,2,上单调递增 由题意xmin222 m 2 I n2点为(X(X。, y yo) ),xo0,y。yo(2(2)由题知任意 x x 22 ,2x02m 01 1) ),f (x) g (x)恒成立，一 x x2(m(m 1)x1)x mlnxmlnx x x22mx2mx 恒2 2 一成立，可得

3、出，令InxInx x xh(x)h(x)1 12x x x x2 2_, , x xInxInx x x22) )，只需m小于h(x)的最小联立得x22mx0. .12第2323页共 2525 页第2424页共 2525 页单调递增. .所以m2 In 2当m 2时，当x 2,m时,0,函数x在2,m上单调递减;上单调递增 由题意xminm12m2m m m I n m 0,1即1-m2In m0. .又因为m2,11 m2In m 0不成立 0,函数x在m,x4m的取值范围为综上所述,m当x m,时,(3)f 2 In 2x2m 1 x m当0m 1时，若x0,m0,m,f x 0,fx单

4、调递增;若xm,1,f x0,fx单调递减；若x1,f x0,f x单调递增 所以fx的极大值为f m12m m 1 mmIn mxxx22mm m In m 0，所以函数f x的图象与x轴至多有一个交点 当0时，若x0,1,f x单调递减;所以min(1)min占八、 、-(2)minm InftIn t,21时，函数f x的图象与x轴至多有一个交20,20时,3m 1 In m21,第2525页共 2525 页【点睛】2020.已知数列an，若对任意的n,m N*,n m，存在正数k使得|anami k |n m|,则称数列an具有守恒性质，其中最小的k称为数列an的守 恒数，记为P. .

5、(1)若数列an是等差数列且公差为d (d 0)，前n项和记为Sn. .1证明：数列a.具有守恒性质，并求出其守恒数 . .2数列Sn是否具有守恒性质？并说明理由 1(2)若首项为1 1 且公比不为 1 1 的正项等比数列an具有守恒性质，且p，求公比2q值的集合 1【答案】(1 1)见解析，P d 数列Sn不具有守恒性质 见解析(2)-2)-2【解析】(1 1)运用等差数列的通项公式和数列an具有守恒性质可得结论；gt12 3tt 2tInIn 20,所以当12，0时，In所以fmm m21Inm所以存在X1m,1,f X10. .r214/2m In2f eem 1 ee222e e12

6、e2m0,2所以存在X21,fX20. .(3 3)当m0时，fx12xx22 2e me 2m只有一个零点,综上所述，实数m的取值范围为0. .本题考查导函数的综合应用，恒成立问题,属于中档题.第2626页共 2525 页数列&不具有守恒性质，运用等差数列的求和公式和不等式的性质可得结论;(2 2)讨论q 1，0 q 1，由等比数列的通项公式和不等式的性质，构造数列，运用 单调性，即可得到所求范围.【详解】所以对任意n,m所以数列an具有守恒性质，且守恒数pSnSmd22n md印 一n mkn mkdn md a1 1 12222(i)若q 1，等比数列an递增，不妨设n m，则q

7、n即qn 1kn qm1km,*n 1解：(1 1)因为an是等差数列且公差为d，所以ana1anamai1 da1m 1 dd n m恒成立,假设数列SnSn %2，所以存在实所以数列(2(2)显然因为数列则当n则当nan2 k a1时,矛盾;2 k a12时,d不具有守恒性质. .0且q1，因为a11，所以an具有守恒性质,a1所以对任意n, m N,n m，存在正数k使得anam即存在正数k n m对任n, mm都成立. .第2727页共 2525 页设bnq kn，由*式中的m,n任意性可知，数列bn不递增, 所以bn 1bnqn 1q 1 k 0对任意n N*恒成立. .k1 log

8、qk1而当n 1 logq厂，b.1b. qn1q 1 k qq1q 1 k 0，所以q 1不符题意 (iiii )若0 q 1，则数列an单调递减，不妨设n m，则qm 1qn 1k n m, 即qm1km qn1kn,*n 1设cnq kn，由*式中的m,n任意性可知，数列Cn不递减，所以Cn 1Cnqn 1q 1 k 0对任意n N*恒成立，所以k qn 11 q对任意n N*恒成立，显然，当0 q1，nN*时，f n qn 11 q单调递减， 所以当n 1时，f n qn11 q取得最大值f 1 1 q，所以k 1 q. .111又p，故1 q，即q2221综上所述，公比q的取值集合为

9、. .【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于难题.2121.已知线性变换T1是顺时针方向选择 9090。的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变x x 2ya换T：对应的矩阵为N，列向量X. .y yb(1) 写出矩阵M,N；4(2) 已知N %収，试求a,b的值. .20 11 2【答案】(1 1)M,N. . (2 2)a 2,b 8. .1 00 1第2828页共 2525 页【解析】(1 1)通过旋转变换的特征得出结论即可；1144(2 2)因为N1M1X，所以X MN，再按照矩阵的乘法法则

10、计算可得；2 2第2929页共 2525 页线性变换T2：y2y对应的矩阵为N，故(2)Q N1M1XX MN0112 410 0 12所以a 2，8. .【点本题考查矩阵变换及计算，属于基础题2222 .在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为3J t为参数)，曲线3 3tx cosC2的参数方程(1(1)求曲线 G G 的直角坐标方程和 C2C2 的标准方程;(2(2)点P,Q分别为曲线G,C2上的动点，当PQ长度最小时，试求点Q的坐标. .【答(1)曲线G的直角坐标方程为,3x y 6 0,曲线C2的标准方程为121. .( 2 2)臥12 2【解(D消去参数t得到曲线C1的直角坐

11、标方程，根据sin cos 1消去参数得到C2的普通方程;(2)设Q cos , 1 sin利用点到线的距离公式，再利用辅助角公式及三角函数的性质求出最值；【详解】解：(1 1)曲线G的直角坐标方程为3x y 6 0,【详解】解：(1)因为线性变换Ti是顺时针方向选择 9090。的旋转变换，其对应的矩阵为M，故cosMcossin 2sin2第3030页共 2525 页2 2曲线C2的标准方程为x y 11. .(2)设Q cos , 1 sin，则点Q到曲线Ci的距离7 2 sin cos cos sin 7 2sin3332 2x cos 2k此时点Q的坐标为y 1 sin 2k6所以点Q

12、的坐标为【点睛】的性质的应用，属于中档题【答案】见解析【解析】利用柯西不等式证明即可;【详解】当sin31时，即2k孑k乙本题考查参数方程化为普通方程,点到直线的距离公式的应用， 辅助角公式及三角函数2323.设a,b,c都是正数，求证:(b c)2(c a)2(a b)24(a b c). .7 sin ,3 cos2第3131页共 2525 页证明：因为b,c都是正数,所以abba第3232页共 2525 页2 2c a a b4 a b c. .bc【点睛】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题2424 .在四棱锥P ABCD中，CD平面PAD,PAD是正三角形，DC/AB,（1 1）求平

13、面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小；（2 2）点E为线段CD上的一动点， 设异面直线BE与直线PA所成角的大小为 ， 当cos 5时，试确定点E的位置 5【答案】（1 1） （2 2）E的位置可以是C，也可以是D. .3【解析】（1 1）以 0D0D 所在直线为x轴，OFOF 所在直线为y轴，0P所在直线为 Z Z 轴建立 空间直角坐标系O xyz，利用空间向量法求出二面角;（2 2）由点E为线段CD上的一动点，可设E 1,t,0，t 2,0，利用空间向量法表 示出异面直线BE与直线PA所成的角的余弦值，从而求出t的值，即可确定E的位置 【详解】解：（1 1 ）取AD的中点为O，在平面A

14、BCD内作OF/DC，交BC于点F. .因为PAD是正三角形，所以PO AD. .又因为CD平面PAD，PO平面PAD，所以PO CD. .又因为ADI CD D，PO平面ABCD，由CD平面PAD，OF /DC，所以直线OF平面PAD. .2所以b ca第3333页共 2525 页如图，以 0D0D 所在直线为x轴，OFOF 所在直线为y轴，0P所在直线为 z z 轴建立空间直角坐标系0 xyz. .1,0,0,B 1, 1,0,C 1, 2,0,D1,0,0,P 0,0, .3,LUMPA1,0,uuu.3，PB1, 1,3. .ur设平面PAB的法向量n1X1,%,乙,所以uur ur

15、uuu irPA n10，PB nX1X1忌0y13z101,则n 3,0,同理得平面PCD的法向量匕3,0,1，设平面则cos又因为所以ir uun1n2iriUPAB与平面PCD所成的锐二面角为，12PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小为所以平面(2(2)由点E为线段CD上的一动点，可设E 1,t,0，t 2,0，uuu所以BEuuuL2,t 1,0，PA 1,0,由异面直线BE与直线PA所成角的大小为 ，第3434页共 2525 页所以E的位置可以是C，也可以是【点睛】2525 .在直角坐标系xOy中，已知抛物线C : y22px( p的距离为 6 6,点Q为其准线I上的任意一点，过点

16、Q作抛物线C的两条切线，切点分别为A, B. .(1) 求抛物线C的方程；(2) 当点Q在x轴上时，证明：QAB为等腰直角三角形. .(3)证明：QAB为直角三角形. .【答案】(1 1)y28x(2 2)见解析(3 3)见解析【解析】(1 1)根据抛物线的定义可知， 到焦点的距离等于到准线的距离，得到4卫62求出参数P即可求出抛物线的解析式；(2)由(1 1)可得Q 2,0，由题意知切线的斜率存在且不为0 0,设为k，所以切线方程为y k x 2，联立直线与抛物线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据0求出k的值，即可求出A、B的坐标，即可得证；(3)设点Q 2,y。，由题意知切线的斜率

17、存在且不为0 0,设为k，所以切线方程为y k x 2 y。，联立直线与抛物线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据0求出k*2的值，即可得证；【详解】解：(1 1)根据题意可得4卫6，得p 4,2所以抛物线C的方程为y 8x. .(2 2)抛物线C:y28x的准线方程为x 2,得cosuuu uuuBE PA11 in 11 inBE PA2.t 122所以t 124.5，解得t0或2. .本题考查利用属于中档题0)上一点P(4, m)至y焦丿F第3535页共 2525 页所以点Q 2,0，由题意知切线的斜率存在且不为0 0，设为k,所以切线方程为y k x 2y k x 22 2 2 2由方程组2，得k2x24k28 x 4k20，y28x2所以4k28 16k464 64k20，解