2020届上海市长宁嘉定金山高三一模数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1818 页2020届上海市长宁嘉定金山高三一模数学试题一、单选题1 1 .已知x R，则“x 0”是X 1”的（）A A .充分非必要条件B B .必要非充分条件C C 充要条件D D 既非充分又非必要条件【答案】B B【解析】 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】解：由题意可知，x R,x| x 0? ?x| x 1 XX 0 0”是 x x 1 1”的必要不充分条件.故选：B B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题.2 2下列函数中，值域为0,的是（）1A A .y 2xB B.yx2C C.y In XD.y cosx【答案】A A【解

2、析】 由指数函数，幕函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解.【详解】1解：选项 A.A.y 2x的值域为0,，选项 B.B.y x2的值域为0,，选项 C.C.y In x的值域为R,选项D. y cosx的值域为1,1.故选：A A.【点睛】本题考查常见函数的值域，属于简单题.3 3.已知正方体ABCDARC1D1，点p是棱 CGCG 的中点，设直线AB为a,直线AD1为b 对于下列两个命题：过点p有且只有一条直线I与a、b都相交；过点p有且 只有一条直线I与a、b都成45角 以下判断正确的是（）第2 2页共 1818 页【答案】B B【解析】作出过 P P 与两直线相交的直线 I I 判断

3、；通过平移直线 a a, b b，结合异面直线所 成角的概念判断.【详解】解：直线 ABAB 与 A AiD Di是两条互相垂直的异面直线，点P P 不在这两异面直线中的任何一一条上，如图所示：取 BBBBi的中点 Q Q,贝yPQPQ/ A A1D D1,且 PQPQ = A AiD Di,设 A AiQ Q 与 ABAB 交于 E E,则点 A Ai、D Di、Q Q、E E、P P 共面, 直线 EPEP 必与 A AiD Di相交于某点 F F，则过 P P 点有且只有一条直线 EFEF 与 a a、b b 都相交，故 为真命题;分别平移 a a, b b,使 a a 与 b b 均经

4、过 P P,则有两条互相垂直的直线与 a a, b b 都成 4545。角，故为假命题.为真命题，为假命题.故选：B B.本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数 学思想，是中档题.4 4 某港口某天 o o 时至 2424 时的水深y（米）随时间X（时）变化曲线近似满足如下函数A A.为真命题，为真命题C C .为假命题，为真命题B B.为真命题，为假命题D D .为假命题，为假命题模型y 0.5sin3.24(0）. .若该港口在该天 0 0 时至 2424 时内，有且只【点睛】第3 3页共 1818 页有 3 3 个时刻水深为 3 3 米，则该港口该天

5、水最深的时刻不可能为（）A A . 1616 时B B. 1717 时C C . 1818 时D D . 1919 时【答案】D D【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判 断即可.【详解】解：由题意可知，x 0时，y0.5si n0 63.243.49,由五点法作图可知:如果当x16时，函数取得最小值可得：16，可得62748，2967T14此时函数y0.5sinx3.24，函数的周期为:7748648该港口在该天 0 0 时至 2424 时内，有且只有 3 3 个时刻水深为3 3 米，满足，本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值

6、的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题.二、填空题5 5.已知集合A 1,2,3,4,5,B 2,4,6,8，则AI B _【答案】2,4如果当X 19时，函数取得最小值可得：19，可得此时函数y 0.5sin57x6324，函数的周期为:2匸57757，1147，x24时，y 0.5sin57243.243，如图:6该港口在该天 0 0 时至 2424 时内,有且只有 3 3 个时刻水深为 3 3 米,不满足,故选：D D.【点睛】第4 4页共 1818 页【解析】 找出 A A 与 B B 的公共元素，即可确定出交集.【详解】解：/A 1,2,3,4,5,B 2,4,6,8,

7、AI B 2,4.故答案为：2,4【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.6 6.方程2x3的解为_. .【答案】x Iog3【解析】 把指数式化为对数式即可求出方程的解.【详解】解：Q2x3，指数式化为对数式得：X Iog23,故答案为：x log23.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，是基础题.217 7.行列式，c 的值为_ _12【答案】5 5【解析】直接利用行列式公式可求.【详解】21解：2 2 11512故答案为：5【点睛】本题考查二阶行列式计算属于基础题.2n8 8.计算lim- _. .nn 1【答案】2 2第5 5页共 1818 页【解析】

8、直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.【详解】故答案为：2 2.【点睛】【答案】2 2程，解之即可得到该圆锥的母线长.【详解】解：圆锥的底面积为，又圆锥的侧面积为故答案为：2【点睛】侧面积公式等知识，属于基础题.【答案】解:nim2nlimn本题考查数列的极限的求法,运算法则的应是基础题.9 9.若圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的母线长为【解析】根据圆面积公式算出底面半径r r=1 1,再由圆锥侧面积公式建立关于母线 I I 的方二圆锥的底面半径为r，满足，解得r 1设圆锥的母线长为I，可得rl，解之得I 2本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积,求它的母线长,着重考查了圆的面积公式和

9、圆锥uuu/1010.已知向量AB口 ,AC/2 2BAC【解析】由题意利用两个向量的夹角公式,求得BACBAC 的值.【详解】解：向量uuuABuuir,ACcos BACuuuuuurtuurtuurABAC12_2_21 1第6 6页共 1818 页BAC第7 7页共 1818 页故答案为：6 6【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题.1111. 2 2 位女生 3 3 位男生排成一排，则 2 2 位女生不相邻的排法共有 _种 【答案】7272【解析】根据题意，分 2 2 步进行分析：、将 3 3 位男生排成一排， 、3 3 名男生排好后 有 4 4 个空位可选，在 4 4

10、个空位中，任选 2 2 个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得 答案.【详解】解：根据题意，分 2 2 步进行分析：1、将 3 3 位男生排成一排，有A 6种情况，2、3 3 名男生排好后有 4 4 个空位可选，在 4 4 个空位中，任选 2 2 个，安排两名女生，有A 12种情况，则2位女生不相邻的排法有6 12 72种；故答案为：7272【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.1212 .已知点2,y在角 终边上，且tan2 2，则sin _. .【答案】3【解析】 结合三角函数的定义及诱导公式可求y y,然后即可求解.【详解】解：由题意可得，tan,2Q

11、tantan2、2tan 222解得y 4,24血22sin4223第8 8页共 1818 页故答案为：乙 2 2.3【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查.1313 .近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工代B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了 100100 人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中代B两种支付 方式都没有使用过的有 5 5 人；使用了A,B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下表，依据数据估算：若从该公司随机抽取1 1 名员工，则该

12、员工在该月 代B两种支付方式都使用过的概率为 _支付金额（元）支付方式（0,1000（1000,2000大于 20002000使用A1818 人2929 人2323 人使用B1010 人2424 人2121 人3【答案】10【解析】根据表中数据算出两种支付方式都使用过的人数, 即可求解. .【详解】根据题意，得使用过A支付方式的人数为：18292370（人）;使用过B支付方式的人数为：10242155（人）;两种支付方式都没有使用过的人数：5 5（人）;两种支付方式都使用过的人数为：7055100 530（人）则该该员工在该月A, B两种支付方式都使用过的概率为:3故答案为：10【点睛】 本题

13、考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题由古典概型概率的计算公式303100 10第9 9页共 1818 页VVVVVvVvvVVV1414.已知非零向量a、b、c两两不平行，且all b c,b/ a c，设c xa yb,x, y R，贝y x 2y _. .【答案】3 3【解析】先根据向量共线把c用a和b表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解.【详解】 解：因为非零向量a、b、c两两不平行，且all b c,b/l a c,rr ram bc ,m 0,r1rrcabmrrrbn ac ,n 0r1rrcan，解得1nQ Q c c xaxa ybybx x y y 1 1x x 2y

14、2y 3 3故答案为：3.【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用解题时要认真审题，属于基础题 1515.已知数列an满足：a11,an 1印旦, 前n项和为Sn,若对所有满足条件的an,S10的最大值为M，最小值为m,则M m _【答案】10781078【解析】由a11,an 1an gg,a(n N*)，分别令n 2,3,4,5，求得a.an(n N*)，记数列an的第1010页共 1818 页的前5项，观察得到最小值m 1 2 3 L 10，最大值M 1 2 22L 29, 计算可得M m的值 【详解】由a11,an 1anai,a2, ,an(n*N),可得a2a1a1，

15、解得a22a12,又a3a2a1,a2，可得a3a2a13或a32a24,又a4a348283，可得a4a3印4或5;a4a3a25或6；a42a36或8；又a5a4a1,a2,a3,a4，可得a印5或6或 7 7 ；a5a4a26或 7 7 或8；a5a4a37或8或9或10或12;a52a38或9或10或12或 1616 ,综上所示可得S10的最大值为M12 22L2911 2101023，最小值为m 12 3 L 10所以Mm 1023 55 1078故答案为:10781078【点睛】本题是一道数列的新定义,1 101055,考查了根据递推关系式求数列中的项以及等差数列、等比数列的求和公

16、式，属于中档题1616 已知函数f xa，若对任意实数a，关于x的不等式 f f x xm m 在区间1-,3上总有解，则实数2m的取值范围为【答案】【解析】本题要根据数形结合法将函数yx1的图象向下平移到一定的程度，使得x第1111页共 1818 页第1212页共 1818 页函数f x1x a x的最大值最小.再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m m的取值范围.【详解】解：由题意，y x1在区间*,3x2上的图象如下图所示：10351K/l102则只要找到其中一个实数a a，使得函数f x1x a x的最大值最小即可，1如图，函数y x向下平移到一定才程度时，x函数f x1x a x的

17、最大值最小此时只有当f 1f 3时，才能保证函数f x的最大值最小设函数y1x一图象向下平移了t个单位，x(t 0).10” 口8t2 t,解得t -. .33此时函数f x的最大值为1082.333根据绝对值函数的特点，可知 实数m的取值范围为:故答案为:【点睛】本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力本题属中档题.根据题意，对任意实数 a a，关于 x x 的不等式 f f x xm m 在区间-,3上总有解,2第1313页共 1818 页三、解答题1717.如图，底面为矩形的直棱柱ABCD A1B1C1D1满足：AAi（2 2）设M、N分别为棱BB

18、1、CD上的动点，求证：三棱锥N A1AM的体积V为 定值，并求出该值 2【答案】（1 1）arctan；（2 2）证明详见解析，V 4. .5【解析】（）说明CAD即直线AC与平面AA1D D1D的所成角，通过求解三角形， 推出结果即可.（2 2）记点N到平面AAM的距离为d，由于底面积和高都不变，故体积不变【详解】解：（1 1）由直棱柱知A1A平面ABCD，所以入A CD,又因为AD CD，所以直线CD平面A1ADD1, 所以CA1D即直线AC与平面 AAAA1D D1D D 的所成角2由题意A1D 5,CD 2，所以tan52AAAA D D1D D 的所成角arctan. .5AAM的

19、距离为d，三角形AAM的面积为SA1AM，则的大小;4,AD 3,CD 2. .所以直线AC与平面（2 2）记点N到平面VVN A|AMSA1AM,由已知d 3,SA1MM1所以V 33【点睛】44为定值. .本题考查几何体的体积的求直线与平面所成角的求法， 考查空间想象能力以及计算AAAA1D D1D D 所成的角第1414页共 1818 页1818 在复平面内复数Z1、z2所对应的点为Z1、Z2,O为坐标原点，i是虚数单位uuuv ujuv(1)Zi1 2i，Z23 4i，计算Zi互与O乙OZ2；jjuv ujuv(2)设z,a bi，z2c di(a,b,c,d R)，求证：OZ1OZ2

20、z2,并指uiuv uuuv出向量oz1、OZ2满足什么条件时该不等式取等号uuu uujv【答案】（1 1）Nz211 2i，OZ1OZ25；（ 2 2）证明详见解析，当ab cd时. .uu【解析】（1 1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出Z1Z2，可知O乙1,2，uuiwOZ23, 4，然后进行数量积的坐标运算即可；取等号【详解】解：（1 1）z z212i3 4i 11 2iUUUUuuuOZ11,2，OZ23, 4UULUUJUU所以O乙OZ25证明（2 2） Q Q N Nabi，z2c di【点睛】 本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，

21、考 查了计算能力，属于基础题.2Z1Z2uuuac2bdUUUUad2bcQ O乙a,b，OZ2c,duuu uuuLULUUUUU22OZ1OZ2acbd，OZ1OZ2acbd2uuu UUUU222 2Z1Z2IOZ1OZ2Iac bdadbcac bd22adbc4ac bdadcb0Z z2ac bd ad bc iUUU LUU所以OZ1OZ2 Nz2，当且仅当ad（2 2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出Z1Z2，以及复数的几何意义表示出uuiu uuuO乙、OZ2计算其数量积，利用作差法比较2uuur LULUZ1Z2OZ1OZ2|2的大小，并得出何时uuuUJUUcb时取

22、“”此时O乙POZ2. .第1515页共 1818 页1919 如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，如图 淇中AB 4百米，BC 3百米 现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求MDN -. .4（1 1）若AN CM 2百米，判断DMN是否符合要求，并说明理由；（2 2）设CDM，写出DMN面积的S关于 的表达式，并求S的最小值. .S迈【答案】（1 1）不符合要求，理由详见解析；（2 2）S，最小值为cos cos 412 .2 1. .【解析】（1 1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解MDN，判断MDN是否符合要求，即可.所以MDN-

23、，4DMN不符合要求(2 2)Q CDM，ADN434DN所以DM(2)CDMADN，求出4S1DN DM2sin4cosc，利用两角和与差的三角函数求解最值即可.【详解】解：（1 1）由题意 MNMN 5 5，DNDN 2、5，所以cos MDN13 20 52 2 5.137.65第1616页共 1818 页coscos42第1717页共 1818 页-DN DM sin3-2-24cos cos 42sin 2cos 214-sin 2辽-辽24424所以S 12 J 1,S的最小值为12 .21【点睛】 本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想

24、以及计算能力，是中档题.2 *2020.已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项的和，且an,Sn, ann N成等差数 列. .()写出a1、a2、a3的值，并猜想数列an的通项公式an；(2)证明(1 1)中的猜想；(3)设bntan1(t ),Tn为数列 0 的前n项和. .若对于任意n N*，都有Tnbm|m N*，求实数t的值. .1 1【答案】(1 1)a11,3 322 2,a33,ann；(2 2)详见解析；(3 3)-,1-,1 . .a a2【解析】(D代入Sn n，求出a1,a2,a3，猜想出即可；2【详解】(1(1)解：由已知 S Sn2ananQ cos cos 4l

25、lcos2cossin(2)利用等差数列的定义证明即可;(3)由(2 2)知bmmt1,TnN*, 都是整数，进而n(1)t n,因为m,n1，因为的任意性，不妨设bmT2，求出即可.第1818页共 1818 页所以ai1,a a22 2 ,a33,猜想an证明(2)n 2时，sn2ananS2，Sn2an 1an 12所以anSn22Sananan 1an 1Sn 12 2得anan 1anan 110,因为an0 n N，所以anan 1数列an为等差数列,又由(1 1)aia a2所以(3)解由(2 2)知bmmt1,Tnn(ntn. .n右bmTn，则m 因为m,n都是整数，所以对于任

26、意丄都是整数,t1进而-是整数t所以t设bmT2，则m 3 k所以k当k1时，对于任意当k2时，对于任意所以实数t取值的集合为【点睛】考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n n 项和公式的应用，中档题.2121 .已知函数f x x x a，其中a为常数. .(1(1)当 a a 1 1 时，解不等式 f f x x 2 2 ；(2(2)已知g X是以 2 2 为周期的偶函数，且当0 x1时，有第1919页共 1818 页35且g，求函数y g x x 1,2的反函数；24(3 3)若在0,2上存在n个不同的点Xii 1,2, ,n.n 3,为x?Xn，使得f N f x2f x2f x3f xn 1f xn8,求实数a的取值范围【答案】(1 1),2；( 2 2)y 3X1 x 0,3；( 3 3), 2 U 6,. .【解析】(1 1)直接利用绝对值不等式的解法及应用求