2020届江苏省南京师大附中高三下学期期初数学试题(解析版)

1、第1页共 21 页2020 届江苏省南京师大附中高三下学期期初数学试题一、填空题1.已知A x_ x 2.31,xRB x52x 11,x R，则AI Bx 3【答案】2,4【解析】 求出集合A、B,然后利用交集的定义可求出集合AI B.【详解】解不等式3x 2130，得x 20，解得x 2，则A2,.解不等式2x 11，即x440，解得-3 0，所以02x-iX1x21,所以0X112f所以一X1 ,=x12mIn x12x12(x11)2x1x21 n 1【解析】先由题得所以x1X2X2X2治 + 化简得m门X21,x,X2，02=(1x1) 2x-i In x-iXi记g(x)= (1x

2、) 2xln(0 xi)，所以g(x)1 2ln x1(x 1)2In (ex2)(x所以e41g (x)0, g(x)在(0,)单调递减,0 ex21, I n(ex2)0In x又由洛必达法则得当x 0时，xInxx11Iim( xIn x) 0, Iimg(x) 0 g(-)x12x1 In 2 2 23-In 2,2第14页共 21 页第15页共 21 页(si n AcosB sin BcosA)cosC si nCcosA，再逆用两角和的正弦公式并化简，可得cosC cos A，进而可得求出sin B.【详解】c cos A代入acosB bcos A -3所以函数 g(x)的值域

3、为In 2,0.2f x3即L的取值范围为In 2,0.x223故答案为：一In 2,02【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和取值范围,握水平和分析推理能力意在考查学生对这些知识的理解掌二、解答题15 .已知a,b,c分别是ABC三个角A,B,C所对的边，且满足acosB, ccos Ab cos AcosC(1)求证:若buir uuu2,BA BC 1，求sin B的值.【答案】(1)见解析(2)sin B亠23【解析】(1)利用正弦定理将已知的边角混合式化为uir由(1)知a c，可将BAuuuBC1可化为2 .,a cos B 1再结合2 2 ,2a c bcosB2aca2求

4、出从而求出cosB，再利用同角三角函数关系(1)由正弦定理一sin Absin Bcsi nC2R，得a 2Rsin A,b 2Rsin B,c2RsinC,cosC第16页共 21 页即sin (A B)cosC si n Ceos A，因为A B C，所以sin (A B) si nC,所以sin CcosC sinCcosA，又C是ABC的内角，所以 sin C所以cosC cos A,又AC为三角形的内角,【点睛】【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)由直线与平面平行的性质可得：由AD/平面 BCC1B1，有 AD/BC，同时AD 平面 ADD1A1，可得 BC/平

5、面 ADD1A1；(2)由(1)知 AD/BC ,因为 AD 丄 DB，所以 BC 丄 DB，同时由直四棱柱性质可得 DD1丄 BC,BC 丄平面 BDD1B1，可得证明.【详解】 解：(1)因为 AD/平面 BCC1B1, AD 平面 ABCD，平面 BCC1B1Q平面 ABCD = BC,所以 AD/BC.又因为 BC 平面 ADDIAI,AD 平面 ADDiAi,(2)由(1)知，因为AC，所以a由余弦定理得cos B22, 2a c b2ac2a2a因为uirBAuuiuiu uuiBC 1，即I BA | |BC |cosB1，所以a2cosB a2所以3，所以cosB 1,因为(0

6、,)，所以sin B . 1 cos2B本题主要考查正弦定余弦定理及平面向量的数量积的运算，属于中档题.ABCD A1B1C1D1中，AD/ 平面 BCC1B1, AD 丄 DB.求证:(1)(2)平面 BCC1B1丄平面 BDD1B1.16 .如图，在直四棱柱BC/平面 ADD1A1;第17页共 21 页所以 BC平面 ADD1A1.(2)由(1)知 AD/BC，因为 AD 丄 DB，所以 BC 丄 DB ,在直四棱柱 ABCD AIBIC1D1中 DDI丄平面 ABCD , BC 底面 ABCD ,所以 DDi丄 BC ,又因为 DDI平面 BDDiBi, DB 平面 BDD1B1, DD

7、IADB=D,所以 BC 丄平面 BDD1B1,因为 BC 平面 BCC1B1,所以平面 BCC1B1丄平面 BDD1B1【点睛】本题主要考查线面平行的性质及面面垂直的证明，熟悉相关定理并灵活运用是解题的关键17 如图，圆 0 是一半径为 10 米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A, B 两点在O0 上，A, B , C, D 恰是一个正方形的四个顶点 根据规划要求，在 A, B, C,D 四点处安装四盏照明设备，从圆心0 点出发，在地下铺设 4 条到 A, B , C, D 四点线路 0A , OB , 0C

8、, 0D.(1) 若正方形边长为 10 米，求广场的面积；(2) 求铺设的 4 条线路 0A, 0B , 0C, 0D 总长度的最小值50I【答案】(1) 10025二3(平方米)(2)20.2(米)3【解析】(1)连接 AB,广场面积等于正方形面积加上弓形面积，计算得到答案(2)过 0 作 0K 丄 CD ,垂足为 K，过 0 作 0H 丄 AD (或其延长线)，垂足为 H，设/ 0AD=0(00 - ), 0D* 300 200.2sin 2，计算得到答案4Y4【详解】(1)连接 AB, /AB=10,A正方形ABCD的面积为 100,又 0A= 0B = 10, A0B 为正三角形，则A

9、0B -,32第18页共 21 页10050而圆的面积为叫扇形AOB的面积为丁 W,150又三角形 AOB 的面积为10 53 253.二弓形面积为25.空,2350则广场面积为 10025 3(平方米)；3(2)过 O 作 OK 丄 CD， 垂足为 K， 过 O 作 OH 丄 AD (或其延长线)， 垂足为 H , 设/ OAD =0(Ov0b0)的离心率为 一，右准线方程为 x= 4,a2b22A , B 分别是椭圆 C 的左，右顶点，过右焦点 F 且斜率为 k ( k 0)的直线 I 与椭圆 C 相交于 M ,N 两点(其中，M 在 x 轴上方).(1)求椭圆 C 的标准方程；1(2)设

10、线段 MN 的中点为 D，若直线 OD 的斜率为 ，求 k 的值;300 200 2sin 2第19页共 21 页2 2生孔1uurumu43(3)设M(X1, y1) , N (X2, y2),得到NF 2FM,故22(3 2x1)( 2yJ143计算得到答案【详解】2（1）椭圆的右准线为 x 红 4 ,离心率 e-ca=3.所以椭圆的标准方程:代入坐标，可得1 X22*1,即X232xy22y1y22y1(3)记 AFM , BFN 的面积分别为 Si, S2，若 S2-，求 M 的坐标.22 2【答案】（1）JL y_431（2）2（3）G，手）【解析】（1）根据题意计算得到a= 2，c

11、 = 1,得到答案(2)由设 M ( X1, y1),N (X2, y2), D (xo, yo),代入椭圆相减得到y1y3 X1X23 Xo4?k，得到答案4 koD4 y1y24 yo1贝Ua = 2 , c= 1,所以 b2= a2 c222XL2y_1y1,两式相减，整理得 由43y2?X1X23?些2y_X11X2y1y24 yo4331?4KDD3(- 2)3,所以 k 的值为3；422(3)设 M(X1, y1),N (X2, y2),由题意32,则2|AF2_2|BF|y2y132,所以1川1,所以V22umrNFuuurr2FM,(2)由设 M (X1, y1), N (X2

12、, y2), D (xo, yo),所以 k第20页共 21 页所以 M 点坐标为(,3 5)48【点睛】 本题考查了椭圆方程，点差法，根据面积关系求坐标，意在考查学生的计算能力和综合应用能力a19 .已知函数f x lnx 1, a R.x(1)若函数 f (x)在 x= 1 处的切线为 y= 2x+b，求 a, b 的值;1(2)记 g (x) = f (x) +ax，若函数 g (x)在区间(0,)上有最小值，求实数 a2的取值范围;范围2一 2，讨论 a0 两种情况，根据函数的单x调性求最值得到答案.(3)方程等价于 bx2Tnx - 1 = 0 有两个不等的实数根，设h (x)= b

13、x2- lnx - 1,贝 U h11(x)=2bx，讨论 b 0 两种情况，计算 h (x)的最小值为 h (=)，计算得到答案【详解】【答案】(1)a =- 1,b=- 2 (2)2ea (0,)(3)b(0,32【解析】(1)求导得到f( x)-a，根据切线方程公式计算得到答案x又因为 M , N 点在椭圆上，所以2x1- 4(32yyX1yyV5V57-47-43 3(3)当a= 0 时，关于x 的方程 f (x)= bx2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值(2) g (x)(1) T f x lnx由题意可得，f (1)a11, f (x)-xx=1 - a= 2，解得 a=-1

14、, f (1)=a+1 = 0,直线 y= 2x+b 过点(1, 0),可得 b=- 2；a1(2) g (x)= lnxax 1，则 g(x)2ax x a2x2x2 2第21页共 21 页f (X)单调递增， awo不符合题意，1若 a 0,设 G (x)= ax2+x-a，则 G (x)在(0,)上单调递增,21由题意，则应有G (0)=- av0, G (21则存在 x (0, 一)，使得 G (X0)= 0,2且当 x (0, X0)时，g，(x)v0, g (X)单调递减，1当 x(X0,)时，g (x) 0, g (x)单调递增，21 g (乂)在(0,)上的最小值为 g (X0

15、),22-a(0,)；3(3)由题意可知，方程 Inx+1 = bx2,即 bx2- lnx - 1 = 0 有两个不等的实数根,1设 h (x)= bx2- lnx 1,贝Vh (x)= 2bx .x当 bwo时，h(x)v0 恒成立，h (x)单调递减，不可能有两个零点,若 aW0则 gf(x)2 ”1 aax12a-2x xxx0 在(0,1丄)上恒成立,2?a 10,解得 av?,423当 b 0 时，令 h (x)= 0,解得 x且当 x1(，药时，h (x)v0, h (x)单调递减,1当x(,2bh ( x) 0, h (x)单调递增,- h (x)的最小值为 h (1)V2b由

16、题意，应用1h(,2b)-In* 1v0，解得 0vbve.2. 2b2第22页共 21 页/ h11111 ,)-In1Inb 1，设 H (b)Inb 1，贝 U H (b)bbbbb且当x (0, 1) )时，H (b)v0,H (b)单调递减，e 0, H (b)单调递增，21 H(b) H (1)=0,即卩 h() 0b1,1 1 1V _, 存在 X2 (,-，使得 h (X2)= 0., 2b b. 2b b综上，b (0,)2【点睛】 本题考查了根据切线， 最值和根的个数求参数， 意在考查学生的综合应用能力和计算能力20 .设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn，已知

17、 a1= 1，且 anSn+1- an+1Sn= an+1-入a对一切 n N 都成立(1) 当匸1 时；1求数列an的通项公式；2若 bn=( n+1 ) an,求数列bn的前 n 项的和 Tn；(2)是否存在实数 人使数列an是等差数列如果存在，求出入的值；若不存在，说明 理由【答案】(1)an= 2n-1Tn= n?2 (2)存在；X=0an 1S11【解析】(1)化简得到，根据累乘法计算得到Sn+1+1 = 2an+1，得到数列anSn1an是首项为 1,公比为 2 的等比数列，得到答案，再利用错位相减法计算得到答案(2)要使数列an是等差数列，必须有 2a2= a1+ a3,解得入=

18、0,入=0,计算得到 an= 1, 得到答案【详解】(1 ) 当 y= 1 时， anSn+1 an+1Sn= an+1 an,贝 anSi+1+an= an+1Sn+ an+1, 即(0+1+ 1 ) an=( Sn+1 ) an+1.T数列an的各项均为正数，an 1Sn 11anSn1化简，得Sn+1+1 = 2an+1,， 当 n2 时，Sn+1 = 2an,-，得 an+1= 2an,鱼？鱼La?an 1anS21S31Sn 11L _S11 S21Sn1第24页共 21 页.当 n = 1 时，a2= 2, n= 1 时上式也成立，第25页共 21 页二数列an是首项为 1 公比为

19、 2 的等比数列，即 an= 2 厂1由知，bn=( n+1) an=( n+1) ?2n_1.Tn= m+ b2+bn= 2?1+3?2+ ( n+1) ?212Tn= 2?2+3?艺+ n?2n-1+ (n+1) ?2n,-Tn= n?2f.要使数列an是等差数列，必须有 2a2= a 什 a3，解得?= 0.当 =0 时，Si+1an=( Sn+1) an+1，且 a2= a1= 1.当 n2时，Sn+1( SnSn-1) = ( Sn+ 1 ) ( Sn+1 Sn),化简，得Sn+1 = Sn+1,即 卩 an+1= 1.综上所述，可得 an= 1, n N.心0时，数列an是等差数列

20、.【点睛】本题考查了通项公式，错位相减法求和，根据等差数列求参数，意在考查学生对于数列 公式方法的综合应用.2 121 .已知矩阵 M =1 2(1)求 M2;(2)求矩阵 M 的特征值和特征向量.54【答案】(1) M2=; (2)矩阵 M 的特征值为 1 , 3,分别对应一个特征向量4 511为 ，11【解析】(1)根据矩阵的乘法运算法则计算可得答案；(2)根据特征多项式求得特征值，根据特征值求出特征向量即可【详解】两式相减，可得-Tn= 2+2+22+2n 1-(n+1) ?2n= 22 2n1 2(n+1) ?2n=- n?2.(2)由题意，令n=1，得a2= A+1 ；令 n = 2

21、,得 a3=(?+1)整理，得2Sn1Sn+Sn= Sn+1Sn-什Sn+1，即c 1nSn 1Sn 1Sn从而1?S11 S21Sn1Sn 11$?LS2S3Sn 1第26页共 21 页(1)M2=2 1(2)矩阵 M 的特征多项式为 f(R=(11)(13).1 2令 f( X) =0,解得 M 的特征值为X=1, X=3.当x=1 时，2 1xxxy0=，得12yyxy01令 x= 1，贝 U y= 1,于是矩阵 M 的一个特征向量为121xxxy012yyxy01令 x= 1，则 y= 1，于是矩阵 M 的一个特征向量为11 1因此，矩阵M的特征值为1,3，分别对应一个特征向量为1，1

22、【点睛】本题考查了矩阵的乘法运算法则，考查了矩阵的特征值和特征向量, 力，属于基础题22 .在极坐标系（p,0）（0 中, 0）及点 M（2, 0）,动直线 l过点 M 交抛物线于 A, B 两点，当 I 垂直于 x 轴时，AB = 4.当 L 3 时,考查了运算求解能第27页共 21 页(1)求 p 的值；(2) 若 I 与 x 轴不垂直，设线段 AB 中点为 C,直线 li经过点 C 且垂直于 y 轴，直线 12经过点 M且垂直于直线 I，记 li，I2相交于点 P,求证：点 P 在定直线上.【答案】(1) p = 1 (2)证明见解析【解析】(1)根据 AB = 4,知抛物线 y2= 2

23、px ( p0)过点(2, 2),代入计算得到答案(2)由题意设直线 I 的方程为：y= k (x - 2),且 k0点 A(X1,y1) , B (x2, y2),联21立方程得到 y1+y2, y1y2=- 4,根据直线方程得到 P (1,-),得到答案kk【详解】(1)当直线 I 过点 M (2 , 0),且垂直于 x 轴时，由 AB= 4,知抛物线 y2= 2px (p 0)过点(2 , 2),代入抛物线方程，得4 = 2p X2，解得 p= 1； (2)证明：由题意设直线 I 的方程为：y= k (x-2),且 心0点A(x1, y1) , B (X2, y2),消去 x,化简得 ky2- 2y- 4k= 0 ,22由根与系数的关系得 y1+ y2, y1y2=- 4;k y y 11又点 C 在直线 AB 上，则