2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2222 页2020 届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学（理）试题、单选题 1 1.已知复数 z z 满足z 1 - i = 3 i（i为虚数单位），），则复数z二（）B B.1 -2i【答案】B B【解析】运用复数的除法运算法则求出复数z，在根据共轭复数的定义求出复数z【详解】由题意z 1-i =3 i, ,可变形为z = Ly 11-i则复数z =1 -2i. .故选：B.B.【点睛】【答案】对函数进行求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再用点斜式求出切线方本题考查了复数的除法运算法则和共轭复数的定义，属于基础题. .2 2.已知全集U = R, A = 。,B = x

2、 x 2?，则A_.euB =()B B .2,:D D .4,:4,:【答案】A A【解析】根据集合补集的定义和并集的定义，结合数轴即可求出 【详解】因为U =R, B所以CuB = x x色 22, ,又A =x x a所以Au(Cu B ) = ,故选：A A【点睛】本题考查了集合补集和并集的运算，利用数轴是常用的方法 33 3 .曲线f X =X - x在点（T,fT,f（-1-1）处的切线方程为（）A A.2xy 2 =0B B.2x y -2 =0C C.2x-y 2 =0D D.2x-y - 2 = 03i1i _2 4i2i1 i 2【解第2 2页共 2222 页程, ,最后化

3、成一般式即可 【详解】23fx = 3x - -1，故切线的斜率为f -1= =2 2. .又f -1 = 0. .所以曲线fx = -xx在点j,f _1处的切线方程为y=2(x1). .即2x-y 2=0.故选: :C C【点睛】本题考查了导数的几何意义 ，考查了求函数的切线方程，考查了直线的点作斜式方程以及 一般方程. .2 2 24 4.已知抛物线y = 2px p 0的准线与圆C: x 1 y-29相切，则p p二()A A.2B B.4C C.8D D. 1616【答案】C C【解析】 求出抛物线的准线方程，根据直线与圆的相切关系即可求出P的值. .【详解】2工P抛物线y =2px

4、 p 0的准线为x. .2P22P由题意 x x = = 2 2与圆C:(x+1) =(y 2) =9相切. .所以= 1 3解得P=8. .故选：C C【点睛】本题考查了抛物线的准线方程 ，考查了直线与圆的相切关系，考查了数学运算能力. .5 5 九章算术衰分中有如下问题：今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱 欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为 今有甲持钱560, ,乙持钱350, ,丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？ ”则下列说法中错误的是()【解析】 通过阅读可以知道A,D说

5、法的正确性，通过计算可以知道B,C说法的正确性【详解】A A 甲付的税钱最多C C 乙应出的税钱约为32【答案】B BB B.乙、丙两人付的税钱超过甲D D .丙付的税钱最少第3 3页共 2222 页甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知A, D正确: :乙、丙两人付的税钱占总税钱的第4 4页共 2222 页351350不超过甲。可知B错误: :乙应出的税钱为10032. .可知C正100 2560 350 180确 故选: :B B【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查数学运算能力 属于基础题 6 6 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A A 22B 2、5C C 2 2、.

6、 6 6D D 4,2【答案】C C【解析】将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，计算其长度即可【详解】由题意得：该几何体的直观图是一个四棱锥A-A-BCCJE如图所示 其中AG为最长棱. .由勾股定理得AG二.422222= 6. .故选：C第5 5页共 2222 页【点睛】本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题第6 6页共 2222 页故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题8 8 执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）7 7 如图，在平行四边形ABCD中，AEABCQCDG为EF的中点，则忒11 *A A

7、 - AB-一AD22B B.1A -1AB2211鸣C C AB AD33【答案】A A【解析】利用向量的加减法的几何意义将转化为AB，AD即可. .【详(DA AE)-22DC31=3 =1AD1AB) AB233()第7 7页共 2222 页【解析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量a的值，可发现周期为4，即可得到i =2020，a=2，i =2021，此时输出a =2.【详解】1. 1i = 1，a-3.i=2，a.i = 3，a.23i = 4，a=2i=5， a =-3.可发现周期4,i = 2020，a =2,i=2021.此时输出a = 2.故选：D【点睛】本题主要考查

8、程序框图中的循环结构和条件结构，周期是4是解决本题的关键， 属于简单题.9 9 .公元前 5 5 世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方. .如图，以 O O 为圆心的大圆直径为 4,4,以 ABAB 为直径的半圆面积等于 AOAO 与 BOBO 所夹四 分之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与 AOBAOB 的面积相等 现在在两个圆所 覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（）第8 8页共 2222 页一12I 2兀1）- I- H下方阴影部分面积等于22 . 21. .4142丿22 + +1所以根据几何概型得所求概率：226. .4二28二

9、4故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，求出方阴影部分的面积和下方阴影部分面积是解决本题的关键，属于中档题 1010已知函数f x为定义在（一:：,0）-（0,，：）上的奇函数，当x 0时, ,f xj：x-2elnx. .若函数g x = f x - m存在四个不同的零点，则m的取值范 围为（）A A.-e,eB.-e,elC C. -1,1-1,1D D.1-1,1【答案】A A【解析】当x 0时, ,对函数f x进行求导，判断出函数的单调性，再根据奇函数的性质 画出函数f x的一致图象，最后利用数形结合思想示出m的取值范围 【详解】：；二：；6B B.8兀+4【答案】B B【解析】分别计

10、算出上方阴影部分的面积和下方阴影部分面积,再代入几何概型公式即【详上方阴影部分的面积等于|_AOB的面积SAOB=-2 2=2.2第9 9页共 2222 页,2e “1 2e当x 0时, ,f x =1 nx，1 .f x20，故fx在0,二 上单调递增xx x第1010页共 2222 页因为f e=0. .故 f ff x在0,e上单调递战，在e, :上单调递增 如图为f x大致图象 由g x = f x -m存在四个不同的零点知y二m与y=f x的图象有四个不同交点，故me,e 故选：A A【点睛】本题考查了已知函数的零点个数求参数取值问题，利用数形结合是解题的关键 1111.已知正六棱锥

11、P- ABCDEF的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（）a 16.3B.-27D.3327【答案】B B【解析】 首先过P作PM_平面ABCDEF，取0为球心，设AB二a，PM二h 然 后计算出正六棱锥的体积V3h 2h-h2设f x3x 2x-x2，利用导数求2 2出设f x最大值即可得到正六棱锥体积的最大值【详解】A A.痘27第1111页共 2222 页c过P作PM_平面ABCDEF，取O为球心，设AB = a,PM = h 在Rt AOM中有（h 1 ）2+a2=1，即a2=2h _h2. .设f x =fx2xx2由f x =2 3x3 3x = 4时f

12、x取得最大值16 3. .327故选：B【点睛】本题主要考查了正六面体的外接球和体积,题的关键，属于难题. .Cos3x7T1212 .已知f x1, ,将f x的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有COSX6 61工工点的横坐标变为原来的丄得到g x的图象，下列关于函数g x的说法中正确的个数2为（）函数g x的周期为一；函数g x的值域为1-2,21；函数g x的图象关于2/MLA奸 T正六棱锥的体积v=Sh = l 6 -32：a2h=h（2h-h2）.f x在0,4上单调递增,k3丿上单调递减 所以当16. 3所以正六棱锥体积的最大值为16、327将体积的最大值用导数的方法求解是解决

13、本第1212页共 2222 页A A .1个B B.2个C C.3个D D .4个【答案】B BJT【解析】 首先通过三角化简得到 f(x)=2cos2xf(x)=2cos2x 且xk二，Z，通过平移变换得2k 到g x =2cos(4x )且x ,kZ. .再进一步求出g x的周期、奇偶、值262域、对称即可得到答案【详解】cos2xcosx-sin2xsinx.仁2cos2x. .cosx即：f f (x)(x)二 2cos22cos2 x x 且x k二，k = Z. .2兀k兀因为于氷辽，故g因此错误. .k 令4xk二，k Z，得x,k Z. .故正确3124兀k兀因为Z 故g x图

14、象不是中心对称图形，故错误.综上，正确的个数为2. .故选：B【点睛】兀12对称; ;函数g x的图象关于f x二沁1cosxcos(2x +x cosxg x =2cos(4x3),k Z. .因为函数g x的周期为，因此正确. .2第1313页共 2222 页本题为三角函数的章内综合题，考查了三角函数的化简、周期、奇偶、对称、以及平移变换 属于难题 二、填空题1313 .已知等差数列中，a3=4, a6=10，则awa7=_【答案】6【解析】设出等差数列的公差，根据等差数列的通项公式，结合已知可以出公差，再利用等 差数列的通项公式可以求出所求代数式的值 【详解】设等差数列an/ 的公差为d

15、 则3d=a6 a3=6. .解得d =2. .所以q。9z =3d = 6. . 故答案为：6 6【点睛】本题考查了等差数列的基本量计算，属于基础题. .x-y 2 _01414.若实数x, y满足约束条件2x + y+6X0, ,则 z=x+2yz=x+2y 的最大值是 _ .x + y兰0【答案】1【解析】 作出可行解域，平移直线x，2y=0, ,找到直线 z=xz=x 2y2y 经过可行域内的点，使 得目标函数 z z =x=x 2y2y 最大即可. .【详解】x - y 2 _ 0作出不等式组2x y 0,表示的可行域如图所示，平移直线x 20易知当x y乞0直线 z=xz=x，2y

16、2y 经过可行域内的点M - 1.1时，目标函数 z=xz=x，2y2y 取得最大值，且Z最大值= =-1-121 1- -1.1.故答案为：1 1第1414页共 2222 页【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想. .1515 现有排成一排的5个不同的盒子，将红、黄、蓝色的3个小球全部放人这5个盒子 中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻的不同放法共有_ 种. .（结果用数字表示）【答案】24【解析】先考虑两个空盒相邻排列数，再考虑每种相邻情况下，排红、黄、蓝颜色的3个小球排列数，最后求出恰有两个空盒相邻的不同放法的个数【详解】恰有两个空盒相邻，则有4种排法 然后每种

17、相邻情况下，排红、黄、蓝颜色的3个小球2 2有A种排法 因此 所求放法为4Aa=24种. .故答案为：2424【点睛】本题考查了排列的应用，考查了数学运算能力 x2y21616已知点P为双曲线2=1 a b 0右支上一点，双曲线C的左，右焦a b点分别为R, F?,/FfF!= 60且/EPF?的角平分线与 x x 轴的交点为Q,满足12 2 PQ=PFi+ PF2，则双曲线C的离心率为 _ 33【答案】、3【解析】化简PQ PFi-PF, ,得到得FQ =2QF2，故SPFI2SPF2Q，结合33三角形面积公式和双曲线的定义、余弦定理可以求出离心率【详解】1 42一由PQPFi-PF2，得F

18、Q = 2 QF2，故SPRQ二2SPF2Q,33第1515页共 2222 页11_再由SLPF1Q=2 PFPQsi n30，SpF2Q= 2LPF2|PQ.si n30，故PF 2 PF2,再根据双曲线定义知PR PF?=2a，即PF?=2a, PF=4a，在PRF?中，由余弦定理知4c2=16a24a2-8a2=12a2, ,故c2= 3a2，即e =3. .故答案为：,3【点睛】, ,考查了三角形面积公式、余弦定理、双曲线的定义. .本题考查了共线向量的性质应用第1616页共 2222 页三、解答题1717 在L ABC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c, ,设L ABC的面积

19、为S, ,若3c2=16S3 b-a2. .求tanB的值；(2)(2)若S =42,a =10, ,求b的值. .【答案】(1)(1)4,(2)6.2,(2)6.242 2 2【解析】(1)(1)根据三角形面积，结合已知和余弦定理，化简3c =16S 3 b -a，最后 利用同角的三角函数关系式中的商关系求出即可；2 .22由的结果，三角形面积公式，结合已知化简3c =16S 3 b -a，得到关于b的 方程，解方程即可求出b的值 【详解】2 2 2(1)(1)由題意得8acsin B =3 a c -b3cosB-4sinB =4sin B33(2(2 ) )由tanB = -，得sin

20、B = -，又S =42,a = 10,45113则Sacsin B10c42, ,解得c = 14. .225将S =42,a二10,c =14代入6c2=16S 3 62c2- a2中，得6汽142=1642+3(b2+142102),解得 b b = =6.26.2 . .【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式、同角的三角函数关系式，考查了数学运算能力2丄2,2a c -b. .即4sin B = 3 ac整理可得又sin B 0所以cos B 0，所以tan B =sin BcosB第1717页共 2222 页1818 .已知数列的前n项和为Sn，满足Sn=3an2口-4求证澈列4

21、 -2为等比数列；第1818页共 2222 页记昇a求数列 4 的前项和Tn【解析】(1)(1)先求出ai的值，再对递推公式递推一步，两个递推公式相减，根据已知的提示 可以证明出本问；结合(1)(1)的结论，化简bn，最后利用错位相减法可以求出数列怡鳥的前n项和Tn【详解】 (1)(1)当n = 1时，S=3a=3ai22 . .解得ai= 1，由Sn=3an- 2n -4,得Sn 1= 3an 1 2 n 1 -4. .一得. .an 1=3an 1-3an2，333即a. 1=严_a，an 1_2匕a.-1 _2匕a._23故玄-2?为等比数列，公比为一，首项印-2 = -1.2故 T T

22、nJ J2 2 呼, ,222232n2n -1-2n1112_歹2n -121-尹1一22n1【答(1)(1)证明见解析,(2),(2) T Tn=3=32n2n 3 32 2n由知an一2二-12故an=2单丿121122- -得一Tn= 22T2222?3+?2n -12n112n122n -1丄9色2222?3第1919页共 2222 页32n -1【点睛】本题考查了利用递推关系证明数列是等比数列，考查了错位相减法，考查了等比数列前n项和公式，考查了数学运算能力 佃.如图，在三棱柱ABC - BIC!中，侧棱AA1底面ABC,底面LABC是正三角11形,AB二AAi=3,AEAB, C

23、1FA1C133乩一_C.C.求证：AE/平面BCF; ;(2)(2)求直线AAi与平面BCF所成角的正弦值. .【答案】证明见解析,(2),(2) -I-I3 3131【解析】在线段BC上取一点G. .使CGBC. .连结EG.FG 利用线段成比例定理3可以证明出线线平行以及数量关系，根据平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理可以证明出本问；以B为坐标原点，Bx, BC, BB所在直线分别为x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可以求出直线AAi与平面BCF所成角的正弦值 【详解】1(1)(1)证明: :在线段BC上取一点G使CG BC. .连结EG.FG 第202

24、0页共 2222 页31 1在LABC中因为AE AB,CG BC, ,第2121页共 2222 页所以BE二2AB,BG =2BC, ,33BE所以-:BG 2AB一BC一3 2所以，EG/AC且EG AC, ,3因为C1F=1A1C1,A1C1/AC. .322所以AFA1C1AC且AF/AC, ,33所以EG/AF且EG =AF, , 故四边形AiFGE为平行四边形，所以AE/FG, , 又AE二平面BCF, FG平面BCF, , 所以AE/平面BCF. .以B为坐标原点，Bx, BC,BB所在直线分别为x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系，11因为底面ABC是正三角形，AB =

25、AA1=3.AEAB.C1FAC1, ,33设平面BCF的法向量为x, y,z. .所以点B 0.0.0 .C 0.3.0 .F(希,3)则BC P.0.3.0 .BF -第2222页共 2222 页= (x,y,z?0,3,0 )=0由 J 丄(43 5 庇5,|“BF十占叫亍訐J盲x+尹+3z = 0. 令 z z = = 一. 3 得平面BCF的一个法向量为爲二6, 0, - 3 ., ,设直线AAi与平面 BCFBCF 所成角的大小为 X【点睛】本题考查利用平行四边形的性质证明线面平行 学运算能力 2020 近来天气变化无常， 陡然升温、降温幅度大于10 C的天气现象出现增多. .陡然

26、降温 幅度大于10 C容易引起幼儿伤风感冒疾病 . .为了解伤风感冒疾病是否与性别有关， 在某 妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查，得到了如下的列联表，若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为(1)(1)请将下面的列联表补充完整患伤风感冒疾病不患伤风感冒疾病合计男2525女2020合计100100又AA -0,0,3, ,则si心謝沁尸AA n339所以直线AAi与平面BCF所成角的正弦值为13，考查了利用空间向量求线面角，考查了数第2323页共 2222 页(2)(2) 能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关？说明你的理由；(3

27、)(3) 已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中，有2名又患黄痘病 现在从患伤风感冒疾 病的20名女性中，选出2名进行其他方面的排查，记选出患黄痘病的女性人数为X，求X的分布列以及数学期望. .下面的临界值表供参考P(K2* )0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.0763.8415.0246.6357.87910.8282参考公式：K2n adbc，其中n = a b c d.(a+bc + d )(a+c(b+d )【答案】(1)(1)见解析,(2),(2)不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与1性别有美.(3).(3)分布列

28、见解析，一5【解析】(1)(1)根据在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率2为一，可以求出患伤风感冒疾病的幼儿的数量，这样可以补充完成列联表；5(2)(2)代入公式求出K2的值，根据所给的表写出结论；(3)(3)根据题意, ,X的值可能为0,1,2. .分别求出相应的概率值，列出分布列，计算出数学期望即可. .【详解】(1)(1)列联表补充如下；患伤风感冒疾病不患伤风感冒疾病合计男202545女20353555合计4060100第2424页共 2222 页2计K2算的观测值为所以不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美根据题意，X的值可能为0

29、,1,2. .C；153C：518C：1则PX亠寸啟PX八蒼95，PX亠存莎故X的分布列如下:X0 012153181P19095190故X的数学期望：E X .015311821J1909519052 22121.已知椭圆C :X2y =1 a b 0上的一点 P P 2,32,3 到其左顶点A的距离为3._ 5. .a b(1)(1) 求椭圆C的方程；(2)(2) 若直线I与椭圆C交于M , N两点( (M , N与点A不重合) )，若以MN为直径的圆经过点A，试证明：直线l过定点. .x2v2了4 )【答案】(1)(1) - -V1,(2),(2)-,01612I 7丿【解析】(1)(1

30、)把点 P P 2,32,3 代入椭圆方程中，再根据点 P P 2,32,3 到其左顶点A的距离为3.5可以列出方程，联立解方程组即可求出椭圆C的方程；(2)(2)由题意可知：以MN为直径的圆经过点A, ,这样有AM AN.根据直线MN是否存在斜率分类讨论，当不存在斜率时，通过解方程可以证明直线过定点；当存在斜率时，设出直线方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，把AM _ AN转化为向量的数量积最后可以确定直线过定点2n ad -bea b e d a e b d210020 35-20 2540 x60 x45況55:0.6734：第2525页共 2222 页【详解】第2626

31、页共 2222 页所以有n 42=12(144解得n - -4(舍去)或n，所以此时直线MN的方程为x,77当直线MN的斜率存在时，设直线MN方程为.y = kx m.M xy , N x2, y2,联立：2 2x y + - =12 2 2*1612消去y得：(3 + 4k )x + 8kmx+ 4m - 48= 0,= kx + m则口=(8km$ -4(3十4k2X4m2-48) = 48(16k2-m2+12)A0,由题意A -4,0，则AM = % 4, % , AN二x24, y2,=x-x24 x-!x2i亠16亠k音m kx?m二k21 %x2km 4 % x216m2,所以k

32、21如=km 4-耳16 m0,3+4k2I 3+4k2丿(1)(1)易知左顶点A的坐标为-a,0. .由已知可得2232“12 2a b,2 a2| 亠13 -0= 3 3(a =4，解得b =2屈2 2所以椭圆C的方程为x y1.16 12证明：若以MN为直径的圆经过点A.则.MAN二90，即AM _ AN，故AM _ AN.当直线MN的斜率不存在时,设直线MN的方程为X二n由题意得L AMN为等腹直角三角形，设直线MN与椭圆在x轴上方的交点为8km3 4k2，片X24m2-483 4k2二捲4$ _X24, y2二,4 X2,4y$2，则M的坐标为则AM第2727页共 2222 页化简得

33、7m2-32km 16k2=0,所以7m -4k m -4k= 0，解得7m = 4k或m =4k,第2828页共 2222 页不合题意 综上 直线I经过定点-4,0. .I 7丿【点睛】 本题考查了求椭圆的标准方程 ，考查了利用直线与椭圆的位置关系判断直线过定点问题，考查了数学运算能力 x4a2222 .已知函数f x = In ax 1,g x =1 a R2x讨论函数f x的单调性；设a 0，当函数f x与g x的图象有三个不同的交点时，求实数a的取值范围.f 1 ）“）【答案】（1 1）函数f x在0,上单调递增，在一：上单调递减 I a丿la丿r 1） 0,4【解析】（1 1）对函数f x求导，根据a的不同取值，结合不等