2020届湖南师大附中高三第六次月考数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2020 页2020 届湖南师大附中高三第六次月考数学（理）试题一、单选题1设集合A y|y 2x,x R，B x |y ,x, x R，则A B ()A A .1B B.0,C C.0,1D D.0,1【答案】D D【解析】化简集合 代B，根据交集的定义计算AB.【详解】因为集合Ay|y 2x,x R0,化简Bx|yJ x,x R所以AB0,1,故选 D D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合B的元素的集合.2 2 .复数z 1 i i（j为虚数单位），则 z z

2、 的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A A .第一象限C C.第三象限【答案】【详解】故选：C C.【点睛】本题考查复数的除法运算， 共轭复数的概念， 复数的几何意义.掌握复数除法法则是解 题关键.B B .第二象限D D.第四象限【解由复数除法求出 z z，写出共轭复数,写出共轭复数对应点坐标即得解析：Q1 1.2 2i，1 1 .2 2i，对应点为2，在第三象限.2 2第2 2页共 2020 页3 3.搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标 搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关 注度也越高 如图是 20182018

3、年 9 9 月到 20192019 年 2 2 月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图根据该走势图，下列结论正确的是()A A 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B B 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C C 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年1010 月份的方差小于 1111 月份的方差D D 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年1212 月份的平均值大于今年 1 1 月份的平均值【答案】D D【解析】【详解】选项 A A 错，并无周期变化，选项 B B 错，并不是不断减弱，中间有增强.C C 选项错，1010月的波动大小 1111 月分，所以方差要

4、大.D D 选项对，由图可知，1212 月起到 1 1 月份有下降 的趋势，所以去年 1212 月份的平均值大于今年 1 1 月份的平均值选 D.D.4 4 .已知函数f(x)=(x-1)(a x+b )为偶函数且在(0,)单调递减，则f(3-x) 0 0,得 x x 4 4 或 x xv 2 2,即不等式的解集为(4,2 2) U (4 4, + +s),故选 B B.【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a a, b b 的关系是解决本题的关键.5.5. 等比数列的前 n n 项和，前 2n2n 项和，前 3n3n 项的和分别为 A A , B B , C C,则()A

5、 A.ABCB B.B2ACC C.A B C B2D D.A2B2ABC【答案】D D【解析】 分析：由等比数列的性质，可知其第一个n项和，第二个n项和，第三个n项和仍然构成等比数列，化简即可得结果 详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个n项和，第二个n项和，第三个n项和仍然构成等比数列，则有代B A,C B构成等比数列，22 2B A A C B，即B22AB A2AC AB,2 2A B ABC，故选 D.D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前n项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题 6.6.将函数f (x) 2sin 2x图像上的每一个点的横坐标缩短

6、为原来的一半，纵坐第4 4页共 2020 页标不变，再将所得图像向左平移徨个单位得到数学函数g(x)的图像，在g(x)图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为()A A .xB.B. x x C C.x24D.x12244【答案】A A【解析】分析: 根据平移变换可得y2sin 4x,根据放缩变换可得函数g x的3解析式，结合对称轴方程求解即可. .x 2sin2x3的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y 2sin 4x-，即g x 2sin 4 x一 2sin 4x ,1233由4x2k ,k Z,32得x1k,kZ,424当k0时, 离原点最近的对称轴方程为x，故选

7、A.A.24点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题. . .由函数 y y Asin(Asin( x x ) )可求2得函数的周期为;由x中心横坐标. .7 7.如图正方体ABCD A3CQ，点M为线段BBi的中点，现用一个过点M,C,D的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为()详解：将函数再将所得图象向左平移个单位得到函数g x的图象,1212k可得对称轴方程；由x2k可得对称第5 5页共 2020 页A A.第6 6页共 2020 页【答案】B B【解析】画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可.【详解】上半部分的几何体如图：由此几何体

8、可知,故选：B B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循长对正，高平齐,宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽 由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1 1 首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2 2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;后再根据三视图进行调整CD是圆0互相垂直的两条直径， 现分别以0A,OB,0C,【答案】D D3 3、画出整体，然8 8.如图在圆0中，AB,0D为直径作四个圆，在圆0内随机取一点，则此点取自阴影部

9、分的概率是（B B.C CD D第7 7页共 2020 页【解析】 先设出圆0的半径，然后算出阴影部分的面积，再计算出圆 利用几何概型公式求出概率0的面积，最后第8 8页共 2020 页【详解】设圆0的半径为 2 2,阴影部分为 8 8 个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为S, ,则11 2s 12 1 1，圆0的面积为224，在圆0内随机取一点，则4248 s 2411此点取自阴影部分的概率是P，则P, ,故本题选 D.D.442【点睛】本题考查了几何概型，正确计算出阴影部分的面积是解题的关键，考查了数学运算能力17 417 317 217 14444【答案】D D【解析】设P的坐标为，用

10、导数表示P点处切线斜率，再由P, F两点坐标表示斜率，由此可求得m，即P点坐标，写出左焦点坐标，由双曲线定义求得a，从而 可得离心率.【详解】则在P处的切线斜率k f (m)12jmm 4即m 4 2m，得m 4则P 4,2，设右焦点为A 4,0,双曲线的离心率e故选：D D.【点睛】本题考查双曲线的离心率， 考查导数的几何意义考查双曲线的定义解题关键是把切 线的斜率用两种方法表示，从而可求得结论.2X9 9 .已知双曲线a2每1 a 0,b b0与函数y x x0的图象交于点P，若函数y x的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F 4,0，则双曲线的离心率是解析：设P的坐标为m,、m，由左焦点F

11、4,0，函数的导数f(x)12, x则2a PF PA J64 4 J。42、171,即a .171,第9 9页共 2020 页1010设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a 2, B 2A，则b的取值范围为（）A A .(0,4)B B (2,2.3)C C .(2、2,2、3)D D (2 2,4)【答案】C C【解析】由题意可得0 2A且3A，解得A的范围，可得cos A的范围，由22正弦定理求得由正弦定理可求得b1b 2cosA, ,根据cosA的范围确定出b范围即a2可 【详解】由锐角三角形ABC的内角A, B, C所对的边分别为a,b,c，若a 2, B

12、2 A，0 2A -，A B 3A, ,2-3A2A ，0 A 634cosA乜22Q a 2, B 2A, ,、b 1由正弦定理得b 2cosA，即b 4cosAa 22 2 4cosA2 3则 b b 的取值范围为（2、2,2、3），故选 C.C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦函数的性质，属于中档题 解题关键是根据三角形为锐角三角形，求出角 A A 的取值范围. .1111.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 1,在对角线A,D上取点M,在CD,上取点N，使得线段MN平行于对角面AACC1，则| MN |的最小值为（）A A . 1 1B B.2C C. D D .23

13、【答案】D D第1010页共 2020 页AD,垂足为Mi，作NNiCD，垂足为Ni，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面平行的性质定理可以得出MiNi/ / / AC，设DMiDNix，由此可以求出|MN|的最小值. .【详解】作MMiAD，垂足为Mi，作NNiCD，垂足为叫，如下图所示:在正方体ABCD AiBiCiDi中，根据面面垂直的性质定理，可得MMi,NNi, ,都垂直于平面ABCD，由线面垂直的性质，可知MM“PNNi，易知：MiMNM /平面 ACGA，由面面平行的性质定理可知：MiNi/ / AC在直角梯形MM小小中，2MN2(、,2 x)2(i 2x)26 x

14、-3故本题选 D.D.【点睛】本题考查了线段长的最小值的求法，应用正方体的几何性质、 运用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质、线面平行的性质定理，是解题的关键f(x)i2已知函数f x在R上都存在导函数f x，对于任意的实数都有帀e2x,当x 0时，f(x)f(x) f f (x)(x)0 0,若eaf (2a i) f (a i)，则实数a的取值范围是()()22A A.0,B B.-,0C C.0,)D D.(,033【答案】B B【解析】作MMi，设DMiDNix，ii3丄，当x时，|MN I的最小值为，333第1111页共 2020 页【解析】 先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简

15、不等式，解得结果 【详解】第 9 9 页共 2020 页【详解】令g(x) exf(x)，则当x 0时，g (x) exf(x) f (x)0,又g( x) exf ( x) exf(x) g(x)，所以g(x)为偶函数，a从而e f 2a 1 f a 1等价于e2a1f(2a 1) ea1f(a 1),g(2a 1) g(a 1),22因此g( |2a 1|) g( |a 1|),12a 1| |a 1|,3a 2a 0a 0.选3B.B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. .二、填空题1313.1 x 2x25展开式中的x6的系数为_【答案】

16、30【解析】利用组合知识，5 5 个1 x 2x2相乘，其中含x6的项，可以 5 5 个括号中 3 3 个取2x2，剩余 2 2 个取 1 1,也可以 2 2 个取2x2剩余的 3 3 个括号中选 2 2 个取x，剩余 1 1 个取1 1，还可以 5 5 个括号选一个取2x2，剩余 4 4 个取x，这 3 3 项的系数和即为所求. .【详解】利用组合知识，含x6的项可以分 3 3 种情况取得，第一种取 3 3 个2x2，剩余两个取 1 1,32 3即C5( 2x ). .第二种选 2 2 个括号提供2x2，剩余的 3 3 个括号中选 2 2 个取x，剩余 1 1个取 1 1，即C；( 2X2)

17、2C；X2，第三种 5 5 个括号选一个取2x2，剩余 4 4 个取x，即124 4Q(2x )C4X，合并同类项，系数为80+120 10 30，故填 30.30.【点睛】本题主要考查了含三项的二项式展开式问题，利用组合知识解决比较简单，属于中档题. .1414 现将 6 6 张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1 1 张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有_ 种不同的分法(用数字作答). .【答案】2402402第1313页共 2020 页【解析】 先求出甲、乙连号的情况，然后再将剩余的4 4 张票分给其余 4 4 个人即可.第1414页共 2020 页e22Inxdxe2exdx10点睛：本

18、题主要考查反函数的性质、定积分的几何意义，属于中档题 一般情况下，定b积分f xdx的几何意义是介于x轴、曲线yf x以及直线x a,x b之间的曲a2甲、乙分得的门票连号，共有5A25 2 10种情况，其余四人没人分得 1 1 张门票,共有A424种情况,所以共有10 24240种.故答案为 240240.【点睛】本题考查两个原理的应用和排列数的计算，考查应用所学知识解决问题的能力，属于基础题.1515 考虑函数y ex与函数y lnx的图象关系，计算:e2Inxdx【答案】e e21 1 . .【解析】分析：根函数yex与函数y lnx互为反函数，其图象关于直线yx对称,所以两部分阴影面积

19、相等，禾U用e2In2e exdx求解即可. .0所以两部分阴影面积相等,又Q函数y ex直线ye2的交点坐标为2,e2,e2x ex|2e21，故答案为 e e21 1. .2第1515页共 2020 页边梯形面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数，所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求第1616页共 2020 页251 492198441616 已知f(n)表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：1212 的因数有 1 1, 2 2, 3 3, 4

20、4,6 6，1212,则f 123； 2121 的因数有 1 1，3 3，7 7，2121,则f 2121，那么10050f i f i _. .i 51i 1【答案】16561656【解析】根据f(n)的定义求出f(i),i 1,2丄,100，然后再求值.【详解】解析：f n表示正整数n的所有因数中最大的奇数，f n f 2n，且n为奇数时，f(n)f(n) n n，其中n 1,100；fnmaxf9999,f nminf 64 f 2 f 4 f 8 f 16 f 321100那么if51(i)f 51f 5：2f 53.f 1005113 532755757295915 613163 1

21、653367176935 719 73 3775 197739795 8141 8321854387 118945 91239347953 9749501 9999 25 1 3 5 7 9 11 . 9925002那么50f i 1131537195 11 3i 113 7 15 1 179 19 521 1123 3 25 13 27 7 29 15 31 1 3317 35 9 3719 39 54121 43 1145 23 47 349 251 3 5. 29 31 . 495 12 15 14 18 22 13 15 17 19 21 23 252第1717页共 2020 页100

22、那么f(i) f(i) 2500 844 1656.i 51i 1故答案为：16561656.【点睛】本题考查新函数的定义， 理解新函数的定义是解题关键.解题时按新函数定义计算即可.三、解答题1717.ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，且满足a 2bsin C. .4(1) 求角B;(2) 求、2sinA sinC的取值范围 迈【答案】(1)B； (2 2),1. .4，2【解析】(1 1)由两角和的正弦函数公式， 正弦定理化简已知等式可得cosBsinCcosBsinC= sinCsinBsinCsinB,结合 sinCsinCMQ 可求 cosBcosB = sinBsin

23、B,结合范围 0 0v B Bv n可求 B B 的值；(2 2)由 B B ,利用4_3三角函数恒等变换的应用可求. . 2 2 sisi nAnA- sisi nCnC= cosCcosC,由范围 0 0 v C CV，利用余弦函4数的图象和性质可求其取值范围.【详解】50第1818页共 2020 页(1) 由正弦定理得：sinA sinBcosC sinCsinB因为：si nA sin B Csin BcosC cosBs inC故cosBsinC sinCsinB因为sinC 0,所以cosB sinB因为OB，所以B -4(2) 因为B，所以y 2sinA43又因为0 c，且y c

24、osC在4所以y 1.2sinA sinC的取值范围是【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，sinC cosCsinC、2sin 430,上单调递正弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角第1919页共 2020 页形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.1818 如图所示，四边形 ABCDABCD 与 BDEFBDEF 均为菱形，FA FC,且DAB DBF 60o1求证：AC平面 BDEFBDEF ；2求直线 ADAD 与平面 ABFABF 所成角的正弦值.5【解析】(1 1)设AC与BD相交于点0,连接F0，由菱形的性质可得AC BD，由 等腰三角形的性质可得AC F0

25、，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)(2)先证明F0平面ABCD. .可得0A,OB, 0F0F 两两垂直，以0A,OB, OFOF 建立空间直角坐标系0 xyz，求LUV出AD .3, 1,0，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果 【详解】(1) 设AC与BD相交于点0,连接F0,/四边形ABCD为菱形，二AC BD，且0为AC中点，/FA FC, AC F0,又F0 BD 0, AC平面BDEF. .(2) 连接DF，:四边形BDEF为菱形，且DBF 60, DBF为等边三角形， 0为BD中点，-F0 BD，又AC F0, F0平面ABC

26、D. . 0A,OB, OFOF 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz，如图所示，设AB 2, 四边形ABCD为菱形，DAB 60, BD 2,AC 2、3. ./DBF为等边三角形， 0F第2020页共 2020 页- A .3,0,0,B 0,1,0,D 0, 1,0,F 0,0, .3,uuiv_uuuv AD3, 1,0,AF3,0, .3uuiv-，AB3,1,0. .设平面ABF的法向量为nx, y,z，则uuv V-AF. 3x3zuuv v -AB n . 3xy取x 1，得v1, 3,1. .设直线AD与平面ABF所成角为 ，.155本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量

27、求线面角，属于难题 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：(1 1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系;(2(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；(4 4)将空间位置关系转化为向量关系； (5 5)根据定理结论求出相应的角和距离21919 .已知抛物线y16x，过抛物线焦点F的直线I分别交抛物线与圆(x 4)2y216于A,C,D,B(自上而下顺次)四点(1)求证：|AC | | BD |为定值;(2)求| AB| | AF |的最小值. .【答案】(1)(1)见证明；(2)108(2)108【解析】(1 1)

28、设直线l的方程为xmy 4, ,A(X1, yj, B(X2,y2)，联立抛物线可得y y216m,y1y264，结合抛物线定义可得|AF|洛 卫 人4,| BF | X24,故|AC | |BD |化为纵坐标即可证出2(2 2)根据| AB | | AF | BF | x1x28,| AF | x14,x1x216, ,化第2121页共 2020 页第2222页共 2020 页【详解】(1)有题意可知，F(4,0)所以y-iy216m，y)y264，由抛物线的定义可知，|AF|为P捲4,| BF | X24，又| AC | | AF | 4,| BD | | BF | 4，所以|AC | |

29、BD |为定值 16.16.递增，所以f(x) f (2)108. .所以|AB| | AF |的最小值为108. .【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，利用导数求函数最值，定值问题，属于难题 解决此类性问题，一般要联立方程组，根据根与系数的关系得到两个2|AB | | AF | x；12x,48，禾U用导数求最小值即可Xi可设直线I的方程为xmy4，A(Xi,yJ, B(X2,y2)联立直线和抛物线方程y216xx my 4消x可得y216my 64所以|AC | | BD | (| AF | 4)(| BF | 4)x-|x22 2y1y264216 1616，(2

30、(2)由(1 1)可知，| AB | | AF | BF | x1X28，|AF | x14，|AB| |AF | (X1X28)(X14)2x1x1x212x14x232，由x,x216，可得X216X12所以|AB | | AF | X148(其中X1 0)，令f (x)6412xx48，f (x) 2x22(x 2)( x 4)2，X当x (0,2)时，f (x)0，函数单调递减，当x (2,)时，f (x)0，函数单调第2323页共 2020 页交点坐标之间的关系，特别注意涉及抛物线时，要主动考虑抛物线定义的使用2020 . .某保险公司针对一个拥有 2000020000 人的企业推出

31、一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金 保险公司把企业的所有岗位共分为A、B、C三类工种，从事这三类工种的人数分别为1200012000、60006000、20002000,由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)：工种类别A AB BC C赔付频率110521051104已知A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为2525 元、2525 元、4040 元，出险后的赔偿金额分别为 100100 万元、100100 万元、5050 万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出 每年 1010 万元 (1) 求保险公司在该业务所获利润的期

32、望值；(2) 现有如下两个方案供企业选择：方案 1 1:企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年1212 万元；方案 2 2 :企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支根据企业成本差异给出选择合适方案的建议 【答案】( (I ) )详见解析；( (n) )方案 2 2.【解析】(1 1)分别计算保险公司在三种工种的利润的数学期望，从而可得出保险公司的 总利润期望；(2 2)分别计算两种方案的企业支出费用，从而得出结论.【详解】解：

33、(1 1)设工种 A A、B B、C C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X X、Y Y、Z Z,则 X X、Y Y、Z Z 的分布列为：X X25252525 - 100100 XI0XI04,11第2424页共 2020 页P P1510105第2525页共 2020 页Y Y25252525 - 100100 X0 0422P P1510105Z Z40404040 - 5050 X0 0411P P11041041 1 E E (X X)= 2525X( 1 1 ) ) + + (2525 - 100100 XI0XI04)5 51515,10510522E E (Y Y)= 2

34、525 X (1 15) + + (2525 - 100X10100X104)55 5,1 101011E E (Z Z)= 4040 X (1 1 4) + + (4040 - 5050 X10X104)41010,1010保险公司的利润的期望值为1200012000X15+6000X15+6000X5 5 - 20002000X1010 - 100000100000 = 9000090000,保险公司在该业务所获利润的期望值为9 9 万元.(2(2)方案 1 1:企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为:方案 2 2 :企业与保 险公司合作，则企业支出保险金额为:( (120

35、00X25+6000X25+2000X4012000X25+6000X25+2000X40) X0.70.7= 37.137.1 X0 04,4646 X10X104 37.137.1 X0 04,建议企业选择方案 2 2.2121 .已知函数f(x) | x a | In x(a 0). .(I)讨论 f f (x)(x)的单调性；(n)比较專啤 啤与(nJ)(2；1)的大小n N且n 2,并2232n22(n证明你的结论. .【答案】(I I)见解析；(IIII)见解析【解析】(I )运用零点法，把函数 f(x)f(x)的解析式进行分段表示，然后利用导数，判断每段函数的单调性；ln x1(

36、n )由由(I )可知当 a a 1 1 , ,x 1时，x 1 ln x 0 ,即ln x 1 x，所以1. .xx1200012000 X0000 X0 04110560006000 X0000 X0 04210520002000 X5050 X0 041_1041212 X10X104= 46X1046X104,第2626页共 2020 页这样第2727页共 2020 页1 1注意到 (n 2, n N ),最后可以得出:n n(n 1)2 2 2In 2 In 3In n (n 1)(2n 1)2232n22(n 1)【详解】x In x a, x aa x In x,0 x a11 -0，从而 f f (x)(x)在(0, a)上总是递减的,1当x a时，f (x)1x若a 1，则f (x)0，故 f f (x)(x)在a,)上递增，若0 a 1，则当a x 1时，f (x)0，当x 1时，f (x)0，故 f f (x)(x)在a,1)上递减，在(1,)上递增，而 f f (x)(x)在x a处连续，所以当a 1时，f f (x)(x)在(0,a)上递减，在a,)上递增;In 22In 32In n22232n2221(I )函数 f f (x)(x)可化为f (x)当0 x a时，f (x)x 1，此时要考虑a与 1 1 的大小.