2020届广西玉林市高三第一次适应性考试数学(文)试题(解析版)

1、第1页共 20 页2020 届广西玉林市高三第一次适应性考试数学（文）试题一、单选题1 .已知集合A x x 10 , B x 1 x 2，则AU B=（）A .（1,）B. 1,）C. 1,1D. 1,2【答案】B【解析】解出集合A中的一次不等式即可【详解】因为A x x 10 x x 1,B x 1 x 2所以AUB 1,）故选：B【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单【答案】D在复平面内所对应的点位于第四象限本题选择 D 选项.【答案】【详解】2设(1 i)xyi，其中x,y是实数，则yi在复平面内所对应的点位于（A.第一象限B.第二象限C.第三象限第四象限【解析】由1x 1 yi,其中

2、x, y是实数，得:1，所以x yi3 .已知(0,),COS3一， 贝 U sin(56）的值为A . 410B.3.3 4107C. 102.35【解由已知结合同角平方关系可求sin，然后结合两角差的正弦公式即可求解.第2页共 20 页解:Q(0,),cossin第3页共 20 页血，、3 .1433 14 3 3则 sin（ ） sin cos622525 210故选：A.【点睛】本题主要考查了同角平方关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题4. PM2.5 是空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35/m3以下空气

3、质量为一级，在35 卩细375/m3之间空气质量为二级， 在 75卩姉3以上空气质量为超标如图是某市 2019年 12月 1日到 10日 PM2.5 日均值 （单位：卩细3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）100. .I J S J 5478 Q 10A .这 10 天中，12 月 5 日的空气质量超标B .这 10 天中有 5 天空气质量为二级C .从 5 日到 10 日，PM2.5 日均值逐渐降低D .这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是 47【答案】C【解析】 先对图表信息进行分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解【详解】解：由图表可知，选项 A, B, D 正确，对于选项

4、 C,由于 10 日的 PM2.5 日均值大于 9 日的 PM2.5 日均值，故 C 错误，故选：C.【点睛】本题考查了频率分布折线图，考查数据处理和分析能力，属于基础题x 15 .若实数x, y满足x y 10，则z 2x y的最小值为（）2x y 2 0A . 2B. 4C. 5D. 10第4页共 20 页【答案】B第5页共 20 页【解析】作出可行域，作直线y 2x z，再将其平移至A 1,2时，直线的纵截距最小【详解】作出可行域如图所示:作直线y 2x z，再将其平移至A 1,2时，直线的纵截距最小z 的最小值为 4故选：B【点睛】本题考查的是线性规划的知识，较简单2 26.已知圆 x

5、 y 4ax 2ay 0 与直线2x y 10 0相切，则圆的半径为【答案】A【解析】 求出圆的圆心与半径，利用直线与圆相切，列出方程求解即可【详解】解：圆 x2y24ax 2ay 0 的圆心(2a, a)，半径为： 5a2，圆 x2y24ax 2ay 0 与直线2x y 100相切,解得a 1.所以圆的半径为：.5.故选：A.A .、,5B. 2C.2一5可得:|2 ( 2a)( a) 10|第6页共 20 页【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,圆的一般方程求解圆的圆心以及半径,考查转化第7页共 20 页思想以及计算能力，属于基础题F2的坐标为()A . (1, 0)B. (3, 0)

6、C. ( 2, 0)【答案】C【解析】根据条件可得AF1AF2,AF1F2,进而根据双曲线的定义可得63c c 2a，带入a的值即可.【详解】UULT UUUU解：因为 AF gAF20，所以AF1AF2,又因为kAF23，所以AF1F2-，则由AR、3c,根据双曲线的定义可得、3c c 2a，则 c2(：2 , 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的定义，根据条件得到特殊角是关键，属于中档题D1E 与 A1F 所成的角的余弦值为(7 .已知双曲线2x2ab21 (a 0, b0)的左、右焦点分别为Fi, F2,过 F2且斜率为3的直线与uur umu厂A，且AF1?AF20，若 a , 31，则

7、D .(、31, 0)8.如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E,F 分别为 A1B1, CD 的中点，则异面直线B.-.56Bi第8页共 20 页【解析】由于 f (x)3x(x 2 a)，而a0， 可求得 f(x)【答案】A【解析】连结BE,BF、DiF，推导出BEDiF为平行四边形，从而 DiE/BF，异面 直线DiE与AF所成角为A1F与BF所成锐角，即 AFB ,由此能求出异面直线DiE与AF所成的角的余弦值.【详解】解：如图，连结BE,BF、DiF,由题意知BEDiF为平行四边形，DiE / BF ,异面直线DiE与AF所成角为AiF与BF所成锐角，即 AFB ,连结A

8、B，设AB 2，则在AiBF中，AB 2 2,BF 5,2 2 2AF BFAiB9 5 8cos AiFB gAiFgBF异面直线DiE与AF所成的角的余弦值为本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题B. i【答案】Af(x)极小值f 2a 0 ,从而可求得a的值.2 2DF 3,AF AAi2AD DF9.已知a为正实数,若函数f(x) x33ax 2a的极小值为 0,则a的值为(【点第9页共 20 页【详解】解：由已知 f (x) 3x26ax 3x(x 2a),又a 0,所以由f (x) 0得x 0或x 2a，即

9、函数在，0和2a,上单调递增，由 f (x) 0 得0 x 2a，函数在0,2a上单调递减，所以 f (x)在x 2a处取得极小值 0,即 f (x)极小值f 2a (2a)33a(2a)22a24a32a20，又a 0，1解得a ，2故选：A.【点睛】本题考查了函数的极值与导数关系的应用，考查运算求解的能力，属于中档题10.已知抛物线C : y24x的焦点为F，准线为I,I与x轴的交点为P，点A在抛物3线C上，过点A作AA I，垂足为A.若cos FAA ,则| AF | ()5A . 8B. 7C. 6D. 5【答案】D3【解析】 过F做FB AA于B，可得| A B | 2|OF | 2

10、，因为cos FAA-，可得5| AF |, | BA| , |AB|的关系，进而求出|AF |的值.【详解】解：由题意如图过F做FB AA于B, |A B| 2 |OF | 23因为cos FAA一，设| AB | 3x，则可得| AA | | AF | 5x，由抛物线的性质可得5| AB | | AA | | AB | 5x 2 ,所以 3x 5x 2 解得x 1，所以| AF | 5,故选：D .第10页共 20 页本题考查余弦值的应用及抛物线的性质，属于中档题函数 f (x)的一个单调递减区间是()解：Q f (x)的一个零点是x -,4由 f()门20 得 cos()12得2k，即8

11、k4 或48k4432，4333k Z,Q0,的最小值为4,此时f(x)c22cos(4x)31,由 2k 02剟 4x2kk1Z，得k剟 x-k, kZ,3262 12当k 1时，f(x)的一个单调递减函数区间为 ,312故选：D .【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用单调性是解决本题的关键属于中档题11.已知函数 f(x) 2cos( x2-)31(0)的一个零点是X，则当4取最小值时，A.辽，6【答案】D6C .石，才D .亍台【解析】根据函数零点关系，求出【详解】的取值，利用函数的单调性进行求解即可.【点第11页共 20 页12 .已知定义域为 R

12、 的奇函数 f(x)的导函数为f (x)，当x 0时，xf (x) f (x)若第12页共 20 页r oIffq1，然后即可算出答案obebr b皿Q rb得be2r b皿Q rbaf(log23)bf (log46)c,cf (sin )8,则a,b,c的大小关系为()log23 log46sin8A.ab cB.cabc.c b aD.b c a【答案】c【解析】设g x -f x,由条件可得出g xx是偶函数且在(0,+?)上单调递增，然后即可比较出a,b, c的大小【详解】f x设g x，因为 f(x)是奇函数，所以g x是偶函数x故选：c【点睛】本题考查的是利用函数的奇偶性和单调性

13、比较大小，构造出合适的函数是解题的关键,属于中档题二、填空题u uurr u r LT13 .在平面上，是方向相反的单位向量，若向量b满足be b e2，则的值_ .ur uu0,由e., e是方向相反的单位向量xf x f xx20,所以g x在(0,+?)上单调递增因为0 sin 1 log2.68log46 log23，af(也3)log23f log23log23所以gsin8g log46g log23，即c b a【答案】1r u【解析】由ber ur r u r ur b e得be be2第13页共 20 页u ur因为q,是方向相反的单位向量，所以所以b10，即b 1故答案为：

14、1【点睛】 本题考查的是平面向量数量积的有关计算，较简单c 分别为三角形 ABC 的内角 A，B, C 的对边，已知三角形 ABC 的面积【答案】【详解】Or bs e.2rb14 设 a, b,等于4(b2c2a2），则内角 A 的大小为【解(b221小i22a )bcsi nA得bc2a22bcsin A,结合余弦V3定理可推出tan A.3因为S(b2a2)Ibcsin A2所以b2c2a2bcsin A由余弦定理得cosA2bc所以cos A古sin A，即tan A J3第14页共 20 页因为A 0,，所以A -3故答案为：一3【点睛】本题考查的是三角形的面积公式及余弦定理，较简单

15、.15已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得,则该几何体的体积为 _ 该几何体三视图如图所示,第15页共 20 页【详解】由三视图可知正方体边长为 2,截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如下:1122 2 2 2 23220【点睛】 本题考查的是几何体的三视图及体积的求法，较简单，画出直观图是解题的关键16 关于圆周率n数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计n的值，先请 240 名同学， 每人随机写下两个都小于 1 的正实数 x, y 组成的实数对（x, y）;若将（x, y）看作一 个点，再统计点（x,y）

16、在圆 x2+y2= 1 外的个数 m；最后再根据统计数 m 来估计n的 值，假如统计结果是 m= 52,那么可以估计n的近似值为 _.（用分数表示）47【答案】4715【解析】由试验结果知 200 对01之间的均匀随机数x,y，对应区域的面积为 1,两个数对（x,y），满足 x2y211 且x,y都小于 1,面积为1，由几何概型概率计算4公式即可估计 的值.【详解】2侧观图【答203【解由三视图画出几何体的直观图即可其体积为:故答案为:203正视團俯视團第16页共 20 页解：由题意，240 对都小于I的正实数对（x,y），对应区域的面积为1,两个数能与 1 构成钝角三角形三边的数对（x, y

17、），满足x2y21且x，y都小于 1，x y 1，面积为1 ，42 2因为点（x, y）在圆x y 1外的个数m 52；52240471547故答案为：47.15【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题,能力，属于中档题 三、解答题17 .水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式.为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于 2019 年选取了 200 块农田，分成两组，每组 100 块，进行试 验.其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种. 得到数据如下表：产量（单位：斤）播种方式84

18、0, 860)860, 880)880,900)900,920)920,940)直播48183931散播919223218约定亩产超过 900 斤（含 900 斤）为 产量高”，否则为 产量低”（1） 请根据以上统计数据估计 100 块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2） 请根据以上统计数据填写下面的2X2 列联表，并判断是否有 99%的把握认为 产 量高”与播种方式”有关?也考查了几何概率的应用问题，考查运算求解第17页共 20 页产量高产量低合计直播散播合计附K2n(adbe)2(a b)(e d)(a e)(b d)P ( K2冰0)0.100.0100.0

19、01k02.7066.63510.828种万式有关.算出答案即可（2）由题目中给的数据完善2 2列联表，然后算出K2的观察值即可【详解】（1） 100 块直播农田的平均产量为:48183931850 -870 -890 -910 -930 -100100100100100【解析】（1）根据X产量高产量低合计直播7030100散播5050100合计12080200(2)由题中所给的数据得到2 2列联表如下所示：【答案】（1 ）100 块直播农田的平均产量为907 斤， （2）有 99%的把握认为产量高”与播85048701001001839890910 -100100930里907100(斤)第

20、18页共 20 页由表中的数据可得K2的观察值k220070 50 30 50120 80 100 1002538 6.635第19页共 20 页所以有 99%的把握认为 产量高”与播种方式”有关【点睛】本题考查的是平均数的算法及独立性检验，考查了学生的计算能力，属于基础题n 118 .已知数列an满足印 4,an 12an3 2.a(1)证明：数列n为等差数列，并求数列an的通项公式;(2)设 06匕，求数列 S 的前 n 项和Tn.anan 1【答案】(1)证明见详解，an3n 1 2n,(2)Tn亠一6n 41aaa【解析】(1 )由an 12an3 2n得一43，然后一2 n 1 3

21、3n 1,222即可算出答案求出Tn【详解】(J因为an 12an3 2，所以 一4 n32 2a即数列n是以首项为 2，公差为 3 的等差数列2n所以an班2n 13 3n 1所以an3n1 2n(2)由7an3n 12得bn64nn 13113n 1 2n3n 2 2n 13n 1 3n 2 3n 1 3n 2【点睛】(2) bn6 4n3n 1 2n3 n 2 2n 133n 1 3n 213n 113n 2，然后即可1 1所以Tn2511L8111 13n53n 13n 22 3n 26n 4常见数列的求和方法：公式法(等差等比数列)、分组求和法、裂项相消法、错位相减第20页共 20

22、页19.如图所示，在四棱柱ABCD ABGD1中，侧棱AAi平面ABCD,底面ABCD第 i21页共 20 页是直角梯形，ADAB,AB/CD,AB 2AD 2AA 4.(i)证明：AiD平面ABCiDi；(2)若四棱锥AiioABCiDi的体积为，求四棱柱ABCD ABiGDi的侧面积.3(i)由侧棱AAi平面ABCD，得 AA AD ,AAiAB，结合AB AD,平面 AAiDiD ,则 AB AiDi,再由AAAD , AAiAD ,得到四边形 AAiDiD是正方形，则AD ADi，进一步得到AD平面ABCiDi；(2)记AD与ADi的交点为O，则AiO平面ABCiDi，设 CDCiDi

23、x，由四棱0锥A ABCiDi的体积为 列式求得x，进一步求得BC，再由侧面积公式求得四棱3柱ABCD A BiCiDi的侧面积.【详解】(i)证明：Q侧棱AAi平面ABCD,AA AD,AA,AB,又ABAD, AAiI ADA,AD平面 AAiDiD ,AAi平面 AAiDiD ,AB平面 AAiDiD ,而AiD平面 AAiDiD ,ABAU ,又 AA,AD , AA,AD ,四边形 AA,DID 是正方形，则ADAD,又AB I ADiA,ADi平面ABC,D,ABi平面ABC,D,2.13【解可得AB(2)解：记AiD与ADi的交点为O,AO平面ABCiDi,1)；第22页共 20

24、 页AD平面ABCiDi;1)；第23页共 20 页又AB2AD 2AA14AO2 ,AD!2.2 .1 ABC1D12x 810设 CDC1D1x,则VA ABC1D12gAD1gAO -33解得：x 1，即CD 1.BC(4 1)22213.四棱柱ABCD ABQQ!的侧面积 S (1 2 413) 2 142 13 .【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了棱柱体积与侧面积的求法，属于中档题220 .已知函数 f(x) x 2(a1)x 2alnx(a 0).(1) 当 a 1 时，求函数 f (x)的图象在点x 1处的切线方程；(2) 讨论函数 f(x)

25、的单调性.【答案】(1) y+3 = 0; (2)见解析【解析】(1)先把 a 1 代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率， 进而可求切线方程；(2)先对函数求导，对 a 进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性.【详解】2f (x) x 4x 2lnx , f (x) 2x解：(1) a 1 时,1)；第24页共 20 页单调递增,故 f (x)的图象在点x 1处的切线方程y 30；(2)函数的定义域(0,f (x) 2x 2(a2a2(x 1)(x a)x ，当 a 0 时，x(0,1)时,f (x)0 ,函数单调递减,(1,)时，f (x)0，函数第25页共 2

26、0 页当0 a 1时，x (a,1)时，f(x)0,函数单调递减，x (1,),(0,a)时，f (x)0，函数单调递增，2当 a 1 时，f (x)2(x 1)恒成立，f(x)在(0,)上单调递增，x当a 1时，x (1,a)时，f (x)0,函数单调递减，x (a,),(0,1)时，f (x)0,函数单调递增，综上：当 a 0 时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，当0 a 1时，函数在(a,1)上单调递减，在(1,),(0, a)上单调递增,当 a 1 时，f (x)在(0,)上单调递增，当a 1时，函数在(1,a)单调递减，在(a,),(0,1)上单调递增.【点睛】本题

27、主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题x2y2血21.已知椭圆C :1(0 b 2)的离心率e 0,F为椭圆C的右焦点，4b2D,E为椭圆的上、下顶点，且DEF的面积为.3.(1) 求椭圆C的方程；一1(2) 动直线l : y x t与椭圆C交于A,B两点，证明：在第一象限内存在定点M,2使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标.223【答案】(1) 1; (2)证明见解析，(1 ,-)432【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,由a,b,c的关系和三角形的面积公式，结合离 心率公式，解方

28、程可得b,c，进而得到椭圆方程；1 1(2)设 A(X1, 2X1t) , B(X2, 2X2t) ,M (m,n)，联立直线l和椭圆方程，运用韦 达定理和判别式大于 0，以及斜率公式，化简计算kAMkBM，考虑它的和为常数，可 令t的系数为 0，进而得到M的坐标.第26页共 20 页【详解】解：(1)设椭圆的半焦距为c，则c2a2b24 b2,第27页共 20 页为与t无关的常数,m3时，斜率的和恒为 0，解得n3综上所述，在第一象限内满足条件的定点M的坐标为 1,2【点睛】 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和斜率公式，考查化 简运算能力和推理能力，属于中档题22

29、在平面直角坐标系xOy中，直线li的倾斜角为 30 ,且经过点A 2,1，以坐标原点 o 为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I2：cos3,从原点 O 作射线交l2于点 M,点 N 为射线 OM 上的点，满足 IOM ON 12，记点 N 的轨迹为曲线C ruuu r（1）设动点P I1，记 e 是直线 h 的向上方向的单位方向向量，且AP te，以 t 为参数求直线l1的参数方程求曲线 C 的极坐标方程并化为直角坐标方程；1 1（2）设直线|1与曲线 C 交于 P, Q 两点，求Q的值APAQ1又由DEF的面积为、.3，可得 qggZb bc 3，解得c 1，或离心率e（。），则c3

30、 时，ea #（。），舍去,2 2则c 1,b、3，所以椭圆的方程为 -L 1；431 1(2)证明：设 A% , 2 为 t) , B(X2, -x2t),M (m, n),1将直线l :y x2t代入椭圆3x24y212可得x2tx t23由 t 4(t3)0，可得2t 2，则有XiX2t,X1X2t23,1nX1kAMkBMmX11nx2t2m x21(nx1t)(m21X2)(n-x2t)(m x)(m xj(mX2)3(n m)t 2mn 3 2Pmim233可得当n2m，2mn（舍去） ，2第28页共 20 页【答案】x(1)直线 l1的参数方程为程为【解析】12cos21-t2(t 为参数)，曲线 C 的极坐标方24cos，直角坐标方程为：x4xOx 0; (2)J33(1)由