2020届福建省泉州市普通高中毕业班单科质量检查数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2323 页2020 届福建省泉州市普通高中毕业班单科质量检查数学（理）试题一、单选题1 1.已知集合Mx |x2x 0 , Nx| x 1，则（）A A.M NB B.N MC C.MUN RD D.M N【答案】D D【解析】 解一元二次不等式求得集合M，由此判断出正确选项 【详解】2由x x x x 10解得0 x 1，故M x|0 x 1，由于N x|x 1，所以MN故选：D.D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的包含关系，考查集合的运算，属于基础题. .2 2 若复数z z 满足z（1i)2 3i，则z( )15.15.5151A A .iB B.i

2、C C.iD D .222 22222【答案】A A【解析】根据复数的除法运算，求得 z z . .再根据共轭复数的概念即可求得Z 【详解】22 5i 3i 15.i. .2 2 215因此，zi. .22故选：A.A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，属于基础题3i (23i)(1 i)3i，(1 i)(1 i)第2 2页共 2323 页xy 2 03 3.若x,y满足约束条件3xy 10,则z 4x 2y的最小值为（)y2第3 3页共 2323 页【答案】B B 【解析】根据线性约束条件画出可行域，将目标函数化为直线平移即可求得该直线在y轴截距最小时对应的最优解，代入【详解

3、】x y 2 0 x, y满足约束条件3x y 1 0, ,由此可得可行域如下图所示此时zmin故选：B.B.【点睛】 本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题其中为真命题的编号是（A A -17-17B B -13-13D D 2020c zy 2x2，由直线的4x 2y计算即可. .该可行域是个以A】,2, ,B(4,2), ,C37为顶点的三角形区域（包括边界）目标函数4x 2y可化为y2x当动直线2xz过点27时，z z 取得最小值,134 4 .已知m, n是两条不同的直线，是两个不重合的平面 给出下列四个命题:若/ ,m，则m/若m/n,n，则m/若,m，则

4、m若m/ ,m，则第4 4页共 2323 页【答案】C C【解析】由面面平行的性质可判断 ；对于, ,m m 可能在 内；对于, ,由面面垂直无法判断线面的位置关系；在平面内找到直线m使得mi/m, ,即可判断【详解】中若/，则内任一直线与平行, ,为真命题；中若m/n,n，则 m m 可能平行于，也可能在 内, ,为假命题；中若，m，则 m m 可能垂直于，也可能平行于，也可能与相交但不垂直, ,为假命题;中若m/，则可在 内作一直线m使mi/m, ,又因为m，所以mi, ,又综上，为真命题, ,故选: :C C【点睛】本题考查线面、面面的空间位置关系的判定，属于基础题25 5.函数f x

5、xlnx的图象大致为（【解析】首先求出函数的定义域,【详解】2A A .B B.C C .D D .mi, ,则，为真命第5 5页共 2323 页解：Q f x xln x定义域为第6 6页共 2323 页fxxlnxxln xfx即函数f x是奇函数，图象关于原点对称，由x0,f x为奇函数，排除 B B;又f12o,排除C；ee当x0时，f x2ln x 2，令fx12ln x 20,解得x -,e所以函数在0,1e上单调递减，在1 15 5e e上单调递增，排除 A A；故选：D【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是函数的奇偶性，单调性的应用，属于基础题【答案】b，从而得到C的方程. .

6、【详解】因为实轴长2a 4，所以a 2,F c,0,由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等，K不妨取渐近线为y x，即 bxbx ayay 0 0 ,ab c 0c点F c,0到渐近线的距离dbb,VZV c所以b 3,2 2所以 C C 的方程为1,49故选：C.C.6 6 .已知双曲线 C C:2x2ab 0）的实轴长为4 4,左焦点 F F到 C C 的一条渐近线的距离为3 3,C C 的方程为（2xA A .22y- 132y- 192x xD D . .2y-y- i i9 9【解根据实轴得到a的值,然后表示出渐近线, 表示出焦点到渐近线的方程, 得到第7 7页共 2323

7、 页【点睛】本题考查点到直线的距离，利用双曲线的几何性质求双曲线的方程，属于简单题第8 8页共 2323 页7 7 执行如图所示的程序框图，则输出S S 的值为(【答案】D D【解析】根据程序框图，先计算出N和T的含义，再根据S N T即可求得输出值 或利 用等差数列的求和公式求解 【详解】依题意：得N 1 3 52019, ,T 02462018. .解法一：S N T (1 0) (3 2)(5 4) L (2019 2018) 1010, ,故选: :D.D.解法二：N(1 2019) 10101010 1010, ,T(2018) 10101009 1010, ,2 2所以S N T

8、1010 1010 1010 1009 1010 (1010 1009) 1010, ,故选：D.D.【点睛】 本题考查了程序框图的简单应用，数列求和公式的应用，属于中档题. .8 8 明代朱载埴创造了音乐学上极为重要的 等程律”在创造律制的过程中，他不仅给 出了求解三项等比数列的等比中项的方法， 还给出了求解四项等比数列的中间两项的方 法.比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕一”黄钟太簇，大吕= =J J 黄钟夹钟，太簇=3黄钟夹钟2据此，可得正项等比数列an中，ak()An k-1a1nkanB B.nk1g annkC C n1a1nkank1D D n 13

9、1k 13nn kA A -1010-1010B B. -1009-1009C C. 10091009D D. 10101010一L_ IN -+ 1 $第9 9页共 2323 页【答案】C C【解析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第 2 2、第 3 3 项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列an中的 a ak可由首项a1和末项an表示. .【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第 2 2、第 3 3 项均可由首项和末项表示,故选：C.C.【点睛】化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解29 9 .已知抛物线 E E

10、:x28y的焦点为 F F，过 F F 的直线 I I 与 E E 交于 A A , B B 两点，与 x x 轴交于点C若 A A 为线段CF的中点，贝U AB()A A . 9 9B B. 1212C C. 1818D D. 7272【答案】A A【解析】 解法一：根据A为线段CF的中点，得到A坐标，从而得到直线AF，与抛物线联立得到X1x2，从而得到y y2，利用抛物线焦点弦公式，得到AB的长；解法二：延长BC交准线y 2于D，过点A作AM垂直准线交准线于M，过点B作N，准线与y轴交于点H，由DMA s DNB，得到【详解】 依题意得p 4，焦点F 0,2, 如图，因为A为线段CF的中点

11、,所以正项等比数列an中的 a ak可由首项ai和末项an表示,因为an所以ak=a=aik 1an本题以数学文化为背景,考查类比推理能力和逻辑推理能力,求解时AMBNADDB，得到BF，再根据AFAM 3，得到AB的长. .BN垂直准线交准线于第1010页共 2323 页所以A1，代入抛物线方程得到XA2 2，舍去正值,所以A 2、.2,1解法一：k2 1 2kAF02 24FDH中原点0是线段FH的中点,所以点C是线段DF的中点易得FH 4，AM AF AC 3，AD 3 AC 9，设BF BN k,因为DMAsDNB,912 k解得k 6,因此AB 3 69,故选：A.A.所以直线AF的

12、方程为yX42,将其代入X28y，得X222X160,设A X1, y,B X2,y2，则xX222,运2近y1y2- X12二-X2- XX244444所以ABy1y2p5 4 9,故选:A.A.2.245,解法二：（几何法）延长BC交准线yD，过点A作AM垂直准线交准线于M,过点B作BN垂直准线交准线于N，准线与y轴交于点H，AM所以MADDB第1111页共 2323 页d/64 L/-4-i?4DJH【点睛】BiBi2【答案】C本题考查抛物线的几何性质, 求抛物线的焦点弦的长，属于中档题1010 .已知a logln,ce2.e口rln，则（）B B.【答【解因为b分别与中间量-做比较,

13、2作差法c,再由a log1log12，最后利用作差法比较c的大小即可 【详解: 因为c 1,分别与中间量丄做比较,22lne2In eln飞0,2e3In elog2log e2i，1lnInln ln所以b故选:【点本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题1111.在平面直角坐标系xOy中，直线I I:kx y4k0与曲线y9 x2交于 A A , B B两点，且uurAOuuu2，则 k k (由球0的表面积S 4 R2得16S 21,第1212页共 2323 页【解析】根据直线方程得到I过定点P 4,0，过圆心O作OM I于M，由【详解】直线kx y 4k 0，

14、即k x 4 y 0，所以直线I过定点P 4,0，曲线y .9一x2是圆心为原点，半径r 3的上半圆过圆心O作OM I于M,uuir uuu1即AO AB AM I I AB -|AB AB所以AB 2，解得 k k 1 1，所以k 1. .本题考查向量的数量积的几何意义，根据弦长求参数的值，考查数形结合的思想，属于 中档题 1212已知正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为 3 3,D是BG的中点，E是线段AQ上的动点 若三棱锥E ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的取值范围 为（ ）A A.8 ,21B B.16 ,273C C.273,21D D.16 ,21 2 16

15、16LUUTUUUAO AB2，得到|AB2，再利用弦长公式，得到k的值，从而得到答案圆心到直线I的距离d4k厂4kk2=1,AB 2&2d2224kk21因为曲线y ,9 x2是上半圆,结合图像可得k 0，【点第1313页共 2323 页【答案】D D【解析】由题可知，三棱锥E ABC的外接球的球心0在上底面等边A1B1C1的中心01与下底面等边ABC的中心O2的连线的线段O1O2上，设球0的半径为2 2 2 2 2 2 2 2RQEX,0Qy, ,则R 0AO2A O2O且R OE O1E QO, ,易得202A、3, ,则R2X2y2, ,R2,33 y2, ,可得X212 6y

16、, ,代入R2x2y2中, ,则R2y 323, ,由X的范围可得y的范围，即可得到R2的范围，进fl如图所示，依题意可知，三棱锥E ABC的外接球的球心0在上底面等边A1B1C1的中心。1与下底面等边ABC的中心。2的连线的线段0Q2上连接0A、0E,设0A 0E ROE x,0Q y；在Rt 001E中,0E201E20Q2得R2x2y2；在Rt A002中,02A233 .3,0023 R,32由0A202A2。202得R23)2(3 y)2；由R2x2y2和R2(、.3)2(3 y)2得(J3)2(3 y)2X2y2整理得x212 6y,所以R2y26y 12 (y 3)23,又因为0

17、X乙得|y 2；32121当y 2时，R2的最小值为 4 4;当y时，R2的最小值为 一；24 4221所以4 R2,4由球0的表面积S 4 R2得16S 21,第1414页共 2323 页故选: :D D【点睛】本题考查棱锥的外接球的表面积问题，考查空间想象能力二、填空题vyv v v1313.已知向量ax,2,b2,1，且ab，则a _【答案】2、5【解析】根据向量共线的公式求解得x 4, ,再根据模长公式求解即可 【详解】由a/b得，x 1 2 2 0，即x 4，所以 4222.20 2、5 故答案为：2 5【点睛】本题主要考查了向量的平行公式与模长公式，属于基础题型 1414 .记Sn

18、为数列a的前n项和若2an ian0,S593，则比 _. .【答案】31【解析】由题意可知，数列an是以一为公比的等比数列， 利用S593结合等比数列2求和公式可求出 印的值，然后利用等比数列的通项公式可求出3s的值 【详解】an 111云2，所以，数列 K 是以为公比的等比数列，故答案为：3. .【点睛】本题考查等比数列中的项的计算，同时也涉及了等比数列的定义以及等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题 1515 .已知函数f x是定义在 R R 上的奇函数，当x 0时，f X 1 3f x;当x 0,1时，f x In x 2，则f 0 f eQ 2an 1an0,S5a1112

19、5皆193，解得a148，因此，a5a148 3. .16343第1515页共 2323 页【答案】9【解析】由f x是定义在R上的奇函数f e f e,f 0 0，再依题意求出f e即可得解. .【详解】解：因为f x是定义在R上的奇函数，所以f e f e，f 00，又2 e 3，0 e 2 1，所以fe 3f e 1 9f e291 n e 2 29,e 9. .故答案为：9【点睛】本题考查函数值的计算，函数的奇偶性的应用，属于基础题1616 .若函数f x sin( x )(0)在(，)单调，且在(0,)(0,)存在极值点，则3 3的取值范围为【答案】1I解析】先通过函数 f(X)f(

20、X)在( (0，-)-)存在极值点，求出的范围，再根据在匸的范围，得最终 的范围 求出k和 之间的不等关系，再结合已求出的【详解】解：因为函数f(x)f(x)在( (0,-),-)存在极值点，所以)单调,，又 f f (x)(x)在(-,)单调,所以T 6k ,3(kN)，即343第1616页共 2323 页解得-2k3综上，1故答案为:【点睛】本题考查三角函数的单调性和极值问题,关键是要建立关于k和之间的不等关系，是只能取第1717页共 2323 页中档题 1【答案】（1 1）证明见解析（2 2）2【解析】（1 1）由PA平面ABCD及底面ABCD是正方形可证得CD平面PAD, ,则CD A

21、E, ,又由AE PD, ,即可求证；（2 2）以A为原点，分别以AB、AD、AP所在的直线为 x x 轴、y y 轴、z z 轴建立空间直角坐 标系Axyz, ,由（1 1）可知uu=为平面PCD的一个法向量，求得平面PBC的一个法向量m，进而利用数量积求解即可【详解】（1 1）证明：因为PA平面ABCD, ,CD平面ABCD, , 所以PA CD, ,因为底面ABCD是正方形所以AD CD, ,又PA AD A, ,所以CD平面PAD, ,因为AE平面PAD, ,所以CD AE, ,又因为AE PD,CD PD D, ,CD,PD平面PCD, ,所以AE 丄平面PCD（2 2）因为PA平面

22、ABCD, ,底面ABCD为正方形，所以PA AB, PA AD, AB AD，以A为原点，分别以AB、AD、AP所在的直线为x x 轴、y y 轴、z z 轴建立空间直角坐标系A xyz（如图所示）平面ABCD,AEPD. .三、解答题第1818页共 2323 页设PA AB 1, ,则A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0),D(0,1,0), P(0,0,1), ,因为AE PD，所以E为PD中点，所以E 0,1,2LUUTUUU(1,0, 1),PC(1,1, 1),AE设平面PBC的一个法向量为mn x, y,z1故二面角 B B PCPC D D 的余弦值为 一2【

23、点睛】 本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识 考查空间想象能力及运算能力21818 .记Sn为数列an的前 n n 项和 已知an0,6S.an3an4. .(1)(1) 求 a an的通项公式；2 2(2)(2) 设bn也也，求数列bn的前 n n 项和Tn anan 1uuu所以PBUUU由(1 1)得AE0,-,-为平面PCD的一个法向量2 2亠 PBm0 xz0r由r，即，令X 1, ,则z 1,y0, ,所以mPC m0 xyz 01,0,1rULur因此cos m, AE由图可知二面B B PCPC D D 的大小为钝角uuvrrUUUm AE

24、ruam AE第1919页共 2323 页an 130. .3n 1. .【点睛】能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向 对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注1919.ABC中，B 60o,AB 2, ABC的面积为2 3. .(1)求AC(2)若D为BC的中点，E,F分别为边AB, AC上的点(不包括端点)，且【答案】(1 1)an3n1(2 2)Tn2n空4 3n 4【解析】(1 1)根据anS|, n 1、22S S2，作差可得6anan3anan 13an 1，再SnSn 1n 2对其因式分解，即可得到anan13，最后根据等差数列的通项公式计

25、算可得(2(2)由(1 1)可得bn的通项公式,再用分组求和及裂项相消法求和解：(1 1 )当n1时，6S12因为6Snan3an4,由一得6an2an3an3耳4，所以 a ai1(不合，舍去)2an3an 14，所以又an0，所以anan 1因此an是首项为4 4,公差为 3 3 的等差数列. .故an(2)(1(1) 得2 23n 1 3n 43n1 3n3n 1所以Tn2 L1033n33n 42n31033n 133n 42n 14 3n 4本小题等差数列的通项公式与数列求和等基础知识,考查推理论证【详所以当n-2时，6Sn2an 13an 1,第2020页共 2323 页EDF 1

26、20o，求DEF面积的最小值 第2121页共 2323 页【答案】(1)2 3; ; (2 2)6 3 3-AB BC sinB求出BC，再利用余弦定理求AC即可;2所以AC 2, 3;DFV，所以DF20 ,60,CDF60,在VBDE中，由正弦定理得:(2)设BDEBD sinBEDDEsin B即sin 60DE_3，所以2DEsin 60在VCDF中，由正弦定理得:sinCDCFDDFsinC由(1 1)可得BC2AC2AB2, B60,C 30,所以SVDEFDE DF sinEDF4sin 60cos【解（1 1）利用S/ABC(2(2)设BDE0 ,60，在VBDE中，利用正弦定

27、理表示出DE，在VCDF中，利用正弦定理表示出DF，再将VDEF的面积表示出来，禾U用三角函数的性质求其最小值. .【详解：(1)因为B 60, AB 2,1所以SVABC- AB BC sin B22 BC2BC,2又S/ABC2、3，所以BC 4,由余弦定理得：AC2AB2BC22AB BCcosB 224222 4 -12,2则sin 90cos第 i i2222页共 2323 页2 3cos22sin cos2sin 26015时，sin 2601,SVDEPmin6 33,2“3故VDEF的面积的最小值为33【点睛】本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是

28、中档题2 2x y2020已如椭圆 E E：牙1(aa b113b0)的离心率为2，点A宀三在E上. .(1)(1)求 E E 的方程:(2)(2) 斜率不为 0 0 的直线I I 经过点B丄,0，且与 E E 交于 P P，Q Q 两点，试问：是否存在2定点 C C， 使得PCBQCB?若存在，求 C C 的坐标：若不存在，请说明理由【答案】1(2 2)存在 x x 轴上的定点C 8,0，使得PCB QCB【解析】(1)根据椭圆离心率和过的点，得到关于a，b的方程组，解得a，b的值,从而得到椭圆的方程；(2 2)设存在定点C，对称性可知设C m,0，根据PCBQCB，得到kpckQC0,即得

29、%x,my220，直线I的方程为:x2mx ty1与椭圆联立，得到yi丫2，y“2，从而得到m和t的关系式，根据对t R恒成立,从而得到m的值. .【详解】(1(1)因为椭圆在椭圆上，所以21aba233A2a 4b21,E E 的离心率e，所以3a24b2,由解得a24,b23. .2 2故 E E 的方程为y1. .43(2(2)假设存在定点 C C，使得PCBQCB. .第2323页共 2323 页第 i i2424页共 2323 页由对称性可知，点C必在x轴上，故可设C m,0因为PCBQCB，所以直线PC与直线QC的倾斜角互补, 因此kpckoc设直线l的方程为：x tyixty -

30、消去x，得ii2t2i6 y2i2ty 450，所以因为所以i2t2yiy22i2t i6i2t i2t2i6，45kpckoc0，所以Xiyimy-imy2xi整理得2tyiy2yiy22i44t i802i2t i6所以45所以2tJ5_i2t i6所以90t i2tm2_45i2t2y2x2mi6，即yity2i2t2i2ti690 i2y2tyi90t22i2t i6i2t0，对t R恒成立,即96 i2m t 0对tR恒成立，所以8. .m【点睛】第2525页共 2323 页第 i i2626页共 2323 页本小题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题，属于

31、中档题 22121 .已知函数f x x ax（1 1）讨论 f fX的单调性;（2 2）若函数g xx21 exmx 1在1,有两个零点，求 m m的取值范围. .【答案】 （1 1）答案不唯一，具体见解析（2 2）【解析】 （1 1）首先求出函数的导函数因式分解为数a分类讨论可得;（2 2）依题意可得gx 12ex条件;X在1,再对m1,m1,0m 1【详解】解：（1 1） 因为f XX2ax即f xx a1 X1 ex由f x0,得x1a 1当a0时，f f : :Xx 1故f X在，为增函数 当a0时，a11,由fx0得xa1或所以fX在，a1,当 a a0 0 时，a 11由fx0得

32、xa1或所以fX在，1,a综上，当a 0时，f X在为当m 0时，由（1 1）得x x1 ex，再对参m，当m 0函数在定义域上单调递增，不满足为增函数, 因为m,g 00. .1 ex，所以f x,X21. .2xe-O,当且仅当x1,1,1时, 等号成立由fX 0得为增函数，在为增函数，在增函数;1,1；1为减函数. .1为减函数. .第2727页共 2323 页第2828页共 2323 页(1)当当m 1时，g 00,x 0时,g X 0,1 1X X0 0 时，g X 0；所以g x在1,0为减函数，在0,为增函数，g xming 00. .故g x在1,有且只有一个零点（ii）当当m 1时，g 00,g m2mm 1 e m0,Xo0,m, 使得g X。0,且g x在1,X为减函数，在XD,为增函数 所以g X。g 00,又g m2mm21 e m 12m12m 10,根据零点存在性定理，g x在Xo,m有且只有一个零点 又g x在1,X上有且只有一个零点0 0. .故当m1时，g x在1,有两个零点(iii) 当f 0 m 1时，g 1m 0,g 00,Xo1,0，使得g Xo0,且g x在1,Xo为减函数，在Xo,为增函数 因为gx在Xo,有且只有个零点 0 0,若g x在1,有两个零点，贝V g x在1,Xo有且只有一个零点 当