2019-2020学年福建省宁化一中高二下学期第一次阶段考数学试题(解析版)

1、第1页共 21 页2019-2020 学年福建省宁化一中高二下学期第一次阶段考数学试题一、单选题1 若抛物线的准线方程为 x 7,则抛物线的标准方程为（）2 2 2 2A x 28yB.x28yC y 28xD y 28x【答案】D【解析】由题得抛物线的标准方程为寸28X.故选 D.2 .在 2013 年 3 月 15 日，某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示：价格 x99.51010.511销售量 y1110865由散点图可知，销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系， 其线性回归直线方

2、程是:y 3.2x a，那么a的值为（）A . - 24B. 35.6C. 40.5D . 40【答案】D【解析】 试题分析：由题回归方程过样本平均数点（x, y），可求出；x 10, y 8代入y 3.2x a,83.2 10 a,a 40【考点】线性回归方程的性质.3 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，既吹东风又下雨的概率301为一.则在吹东风的条件下下雨的概率为（）103371A B C D 1171110【答案】B【解析】 利用条件概率的计算公式即可得出【详解】第2页共 21 页设事件 A 表示四月份吹东风，事件 B 表示吹东风又下雨，第3页共 21 页丄根据条件概率计算

3、公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P（B|A） -10-.7730故选：B.【点睛】本题考查条件概率，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键.4. 4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选 法共有A . 12 种B. 24 种C . 30 种D . 36 种【答案】B【解析】 试题分析：由题意得，其中恰有两人选甲，共有C：6 种选法；余下的两人,各有两种选法，所以所有的选法共有-一-种，故选 B.【考点】排列、组合的应用f 1 2f 1的值为1A . B . 123C .D . 22【答案】D1【解析】由1 2y 10得y 1，因此有f(1

4、) 1,f (1)1-f(1) 2f (1) 1 22.故选 D .26.总把新桃换旧符”（王安石）、灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写 桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 50 元，则可以从 福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4 名顾客都领取一件礼品， 则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是（）5479A .B.C.D.991616【答案】B5 .已知函数yx的图象在点1, f 1处的切线方程为x 2y 10，则n = 34=

5、 81,他们中有且仅有 2 人第4页共 21 页【解析】 有 4 名顾客都领取一件礼品，基本事件总数第5页共 21 页23领取的礼品种类相同包含的基本事件个数mC4A336，则可得他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率.【详解】从 福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有 4 名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n = 34= 81,他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数mC；A；36,则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是pm 36 4.n 819故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求 解

6、能力，是基础题.7 如图，在长方体ABCD AIBICIDI中，AB 8,AD 6，异面直线BD与 AG 所然后用余弦定理求出x,求出长方体的对角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案【详解】连AC与BD交于0点，则O为AC中点， 取 CCi中点E，连BE,OE，则 ACi/0EEOB 为异面直线BD与 ACi所成角设CE x,则BE，X6，AB 8,AD 6,OB OC 5,0E. 25 x2在OBE中，由余弦定理得A.98【答案】BB.196C.784【解析】先做出BD与 ACi所成角的角下图中的BOE,设CE x,OE, BE用x表示,第6页共 21 页2 2 236 x OB OE 2

7、OB OE cos EOBCG2x 4 6 ,所以长方体的外接球的半径为7 ,所以长方体外接球的表面积为196故选:B本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角，解三角形是解题的关键，属于较难题得f捲f x2L f xn 1f xn，则正整数n的最大值为()A . 2B. 3C. 4D . 5【答案】B【解析】 对函数求导，研究函数单调性，利用最值与函数单调性的关系，即可求得a的值,从而求得 f (x)的最大值与最小值，再根据题意推出(n 1)f(X)min, f (X)max,即可求得n的ax 1x1a时,f (x)0在x 1,e恒成立，e从而 f (x)在1,

8、 e单调递减，41所以fmin(x)f (e) ae 13,解得 a ，一，不合题意;eeBE2 236 x 25 25 x2 .：25x2，解得x26所以长36 6496148 .已知函数f1,e的最小值为 3，若存在x1,x?L Xn1,e，使最大值.【详解】1f (x) a一x当 a 0 或0第7页共 21 页111当a 1时，易得 f(x)在1,单调递减，在-,e单调递增eaa所以fmin(X)f 1a1ln13,解得ae2a1 ,-,1，不合题意e当a 1时，f (x)在1,e单调递增，所以fmin(X)f(1)a 3 1，满足题意5综上知a 3所以f (x)3x ln x,x1,e

9、,所以fmin(x)f(1)3,fmax(x)f (e)3e 1依题意有(n1) fmin1(x)fmax(x),即(n1)3 3e彳21,得n e 3又n N,所以n 3.从而n的最大值为 3.故选:B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查求参数的取值范围，需要学生结合分类讨论思想答题二、多选题9 .下列判断正确的是()2A 若随机变量 服从正态分布N 1,P 40.79，贝y P 20.21；B .已知直线I平面 ，直线m/平面，则/是“m”的充要条件；1C 若随机变量服从二项分布：:B，贝VE 1;415D.-x 2y的展开式中含x2y3项的系数为 20.2【答案】AC【

10、解析】A，根据正态分布概率的性质，计算即可；B，判断充分性与必要性是否成立即可；第8页共 21 页C,根据二项分布计算即可；D，二项式展开式计算可得.【详解】第9页共 21 页2解：对于A，随机变量 服从正态分布N(1,)，所以图象关于x 1对称，根据 P( , 4)0.79，可得 P(厔 4)1 P( 4)0.21 ,所以 P(剠 2) P( 4)0.21，故A正确；对于B，直线I平面 ，直线m平面 ，若，则Im是真命题；若I m，则 是假命题；所以“ ”是“m”的充分不必要条件 ” 故B错误；11对于C，随机变量 服从二项分布： B(4,)，贝 yE( ) 41，故C正确；4455 r对于

11、D，若lx 2y，则展开式的通项为Tr1C52yr，令r 3，则222T4C|x 2y320 x2y3，故D错误.2故选：AC.【点睛】本题以命题真假的判断为载体，主要考查了正态分布、二项分布、以及二项式展开式的判断问题，属于中档题.10.如图是函数y f x的导函数y f x的图象，则下面判断正确的有()A .在2,1上f x是增函数B .在3,4上f x是减函数C .在x1处取得极极小值D .在x 1处取得极极大值【答案】BC【解析】根据导函数看正负，原函数看增减，函数在极值点处导数符号改变，即可得到 结论.【详解】解：根据导函数的正负，得到原函数的增减性，由图可得如下数据，x3, 111

12、,222,444,第10页共 21 页f x000f x极小值Z极大值极小值Z故在3,4上f x是减函数，在x 1处取得极小值正确的有 BC；故选：BC.【点睛】本题考查导函数的图象，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用导函数看正负,原函数看增减，函数在极值点处导数符号改变，属于基础题.当平面ACD平面ABC时，四面体ABCD的体积的最大，最大值为11 c ,3 424斗 &3 4，故 A 正确；3255由题意得，在四面体ABCD内AC的中点0到点A、B、C、D的距离相等，且大小AC 5AC 5为，所以点0为外接球的球心，且球的半径R，表面积22 222S 4 R24525为定值，

13、故 BD 正确，C 错误；211已知在矩形ABCD中，AB 4,BC3，将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角B ACD，若折成的四面体ABCD内接于球0，则下列说法正确的是（ ）24A 四面体ABCD的体积的最大值是5C .球0的表面积随 的变化而变化B 球心0为线段AC的中点D .球0的表面积为定值25【答案】ABD【解析】由矩形的性质可得球心以及球的半径，当平面ACD平面ABC时，四面体ABCD的体积的最大，一一验证可得;【详解】解：如图第11页共 21 页故选：ABD【点睛】本题考查多面体的外接球以及翻折问题，锥体的体积计算，属于中档题2 2x y12已知F,F2分别是双曲线21

14、 a 0,b0的左、右焦点，以F1F2为直a bKy -x于点P（P在第一象限），PF1交双曲线左支于点Q，若Q是a【详解】解：由题意可得圆的方程为三、填空题13 某高校 统计”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表，为了判断主修统计专业是否与性别有关，计算得到K24.844，因为K23.841，所以判定主修统计专业与性别是有关系的，那么这种判断出错的可能性为_.专业非统计专业统计专业径的圆线段PFi的中点,则下列选项不符合双曲线离心率的是（B.B. -.5-.5C .3D、3 1【答BCD【解先解得交点P得到Q的坐标，代入双曲线方与渐近线联立方程组可得ay2ybx2c，解

15、得:，即P(a,b),Q Q是线段PFi的中点,a cQ(T，(a扩4a2-),22亠14b2，即 e22e 40解得e .5 1,故选：BCD【点本题考查了双曲线的简单性质，以及中点坐标公式,离心第12页共 21 页性别男1310女720本题可以参考独立性检验临界值表:2P K k0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】5%【解析】由题意知根据表中所给的数据得到观测值是4.844,从临界值表中可以知道4.844 3.841，根据临界值表

16、中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.05,得到结论.【详解】解：Q由题意知为了判断主修统计专业是否与性别有关系，2根据表中的数据，得到k5(13 2107)4 84423 27 20 302Q K 3.841 ,由临界值表可以得到 P(K23.841)0.05判定主修统计专业与性别有关系的这种判断出错的可能性为0.05 5% .故答案为：5%.【点睛】独立性检验是考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法，主要是通过k2的观测值与临界值的比较解决的，属于基础题.14 .函数f xX2x 2ln x在区间1.e上的最小值为22【答案】32第1

17、3页共 21 页【解析】首先求出函数的导数，再令fx 0、f x0得到函数的单调性，从而第14页共 21 页可得函数的最值;【详解】12解：因为f Xxx 2ln x，则定义域为0,2所以fx x122小x x 2x 2 x1xxx令f X 0解得x 1，即f X在 1, 上单调递增，令即f x在0,1上单调减,所以f x在x1处取得极小值，也就是最小值且f 1，2又因为x1 ,e，f112ln 2，fe12e e 22282所以函数f x12xx2ln1x在区间 一,e上的最小值为22故答案为：32【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题15 已知三棱锥P ABC中，平面PAB平面

18、ABC, PAB 30,AB 6,PA 33, CA CB 10.设直线PC与平面ABC所成的角为，则tan的最大值为_ .【答案】【详解】 由已知易得 PAB是直角三角形,过点P作PD AB，垂足为D，易得 PD 二，AD2【解析】易得 PD利用余弦定理求出PAB是直角三角形，过点P作PDV 3，连接CD，2可得PD平面ABC，进而可得tanCDy，CAx，即 CB10 x，由CDA CDB 180，AB，PDCD垂足为D，建，设2CD利用余弦定理可得:29x222 9y223y?2iy102x 0，化简配方即可求解x 0解得0 x1,9, BD2第15页共 21 页2x2y2-10 x20

19、 0，2 2丹15_，可得当x兀时，y取得最小值，最小值为23，即CD的最小值2、3.3故答案为：-4【点睛】本题考查了线面角的求法，同时考查了余弦定理的应用，解题的关键是找出线面角，属于中档题四、双空题16.已知多项式(x 2)m(x1)naoa/a?x2LamnXm n满足ao4,a116，贝y m n_,aoa1a2Lam n _【答案】572【解析】多项式x 2mx 1naoa/ a?x2Lam nXm n满足a。4, a116令x 0，得2m1nao4，则m 2二(x 2)m(x 1)n(x24x 4)(x 1)n该多项式的一次项系数为4C；1n4C；11n 116连接CD,因为平面

20、PAB平面由面面垂直的性质定理,所以PCD设CDCA x，ABC,可得PDPD33CD2CD则 CB10平面ABC,x.，tan，可知当CD取最小值时，tan最大.因为CDACDB 180，所以cos CDA cos CDB 0,所以 y所以tan的最大值为332 2、3第16页共 21 页 Cn13n3mn5令x1, 得(1 2)2故答案为5, 72(1 1)a。0a2am n72五、解答题n17 在、X厶n N的展开式中x（1）若第五项的系数与第三项的系数的比是（2）若其展开式前三项的二项式系数和等于10:1，求展开式中各项系数的和;79，求展开式中含X的项.【答案】（1）1（ 2）T32

21、64x【解析】（1）由展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1，求得 n 8 再令x 1得各项系数的和.（2）依题意可得 C：cnCn79，即可求出n,5得到通项，再令6丁1，即可得解;【详解】解：（1）展开式的通项为Tr 1Cn-Jn 5rC：x丁2r由题意知,第五项系数为Cn42，第三项的系数为22Cn2,则有Cn（2鲨 2，化简得c；（ 2）215n 240，解得 n 8 或n3（舍去）1得各项系数的和为11.(2)(2)0 1 2-CnCnCn79,1560.12或n 13(舍去)通项公式Tr 1C；2（匸）12（4)rx5rr 6 rC12(2) x2,第17页共 21 页(

22、2)第18页共 21 页3令6 r 1，则r= 2,2故展开式中含x的项为T3C!2( 2)2X264X.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题.218 甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关甲能攻克的概率为，乙能攻3克的概率为3，丙能攻克的概率为 -45(1)求这一技术难题被攻克的概率；(2)若该技术难题末被攻克， 上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克， 上级会奖励a万元.奖励规则如下：若只有 1 人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有 2 人攻克，aa则奖金奖给此二人， 每人各得巳万元；若三人均攻克，则奖金奖给此

23、三人， 每人各得-23万元.设甲得到的奖金数为 X，求 X 的分布列和数学期望.卞91牯【答案】(1) 一 ；( 2 分布列见解析，数学期望为60 60【解析】【详解】23411159(1)P 1 (1)(1)(1) 1 -3453 4560(2)X的可能取值分别为0,a,a,a3 2 X 的分布列为X0a3a2aP1771353030第19页共 21 页,1 口 二 Q i11 卩口 _-(万元)19如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且面ABCD,DE PAF.A8（1）求证：平面ACE平面BDE;【答案】（1）见解析（2）-5面ACE平面BDE向量公式即得解【详解】(1)

24、因为AF平面ABCD,DE PAF,所以DE平面ABCD，故ACDE又四边形ABCD为菱形，故ACBD又DE,DB是平面BDE内两条相交的直线,故AC平面BDE,又AC平面ACE,因此平面ACE平面BDEBAD 60 ,AF平(2)G为CE中点，当DE 4，AFAB 2时，求二面角G BF E的正弦值【解析】（1）先证明AC DE，ACBD，继而可证AC平面BDE，故得证平（2） 如图建立空间直角坐标系， 求解平面GBF，平面EBF的法向量， 禾U用二面角的(2)第20页共 21 页uuir uuruuur分别以DN,DC，DE的方向为x,则点A、.3, 1,0,B.3,1,0,C 0,2,0

25、,E 0,0,4uur_ uuuuuu-BG (.3,0, 2),BF(0,2,2),BE(.3, 1,4)【点睛】属于中档题b 0的离心率为2，直线l:x y 3. 2 0与2以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆0相切.y, z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O xyz设平面GBF的法向量为mm即3X12Z10，可取2%2 乙 0m 2,3,3又设平面EBF的法向量nX22,Z2，则0.3,1, 4)(0, 2,2)0,0,即3X2y22y22Z24Z200，可取 n、 3,1,1故| cos m, n,|rm n| 2、6|m| n| 5因此二面角GBF E的正弦值为本题考查了立体几何

26、和空间向量综合,考查了学生空逻辑推理，数学运算能力,2 220.已知椭圆E:笃占1 a a b取线段AB中点N，连接DN，以点D为原点O,rm rm第21页共 21 页(1)求椭圆 E 的方程;(2)矩形ABCD在y轴右侧，且顶点C、D在直线y X 6上，顶点A、B在椭第22页共 21 页4圆E上，若矩形ABCD的面积为一，求直线AB的方程.32 2【答案】(1) 1(2)y x 5.189【解析】(1)由题设条件知a22b2，再由直线l : x y0与圆 x2y2b2相切，知b 3，由此可求出椭圆E的方程.【详解】由AB BC 3可得27 m2(6 m)逅，3(2)设直线AB:y x m m

27、 3,A为，,B X2, y2，联立直线与椭圆方程，消距离公式得到,27 m2(6BC6 m，则AB2BCm)m24-，得到方程3,2,最后根据函数的单调性及特殊值得出参数，再由两平行线之间的m的值，即可得解;解：(1)由已知得-a上2，圆点到直线x2所以b3,a2b2解得a32，3.x22y_9(2)设直线AB:yx mm 3，A , y1,BX2, y22 2把yx m代入E:入y-1得3x24mx2m218 018 9224m 4 3 2m180且m 3,解得3m3.3,4m2 m218且xx2c，X1X25334、27 m2,3由两平行线之间的距离公式可得BCby 3、20的距离第23

28、页共 21 页记f (m) 27 m2(6 m)，其中3 m 3 3， 则函数f m在3,3：.匚3上单调递减.且f 52，故m 5，因此直线AB的方程为y x 5.【点睛】本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，属于中档题.21 .十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020 年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了 2019 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直

29、方图，估计 50位农民的年平均收入X元(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图， 可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布N ,2,其中近似为年平均收入x，2近似为样本方差S2，经计算得s26.92，利用该正态分布，求：(i)在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？(ii )为了调研 精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000 位农民中的年收入不少于12.14 千元的人数最有可能是多少？附参

30、考数据：.6.92 2.63，若随机变量 X 服从正态分布N ,?,贝 y第24页共 21 页PX0.6827,P 2 X 20.9545,P 3 X 30.9974.【答案】(1) 17.40 千元；(2) (i) 14.77 千元.(ii) 978 人.第25页共 21 页【解析】（1）求解每一组数据的组中值与频率的乘积，将结果相加即可得到对应的（2）（ i）根据P x的数值判断出年收入的取值范围，从而可计算出最低年收入；（ii）根据P x 2的数值判断出每个农民年收入不少于12.14千元的概率，然后根据二项分布的概率计算公式计算出恰有k个农民年收入不少于12.14”中k的最大值即可.【详

31、解】解: （ 1）x 12 0.04 14 0.1216 0.28 18 0.36 20 0.10 22 0.06 24 0.0417.40千元故估计50位农民的年平均收入x为 17.40千元；（2）由题意知X（i）P x所以17.40即最低年收入大约为,0.9545（ii ）由P x 12.14 P x 20.50.9773，2每个农民的年收入不少于12.14 千元的事件的概率为 0.9773，记 1000 个农民的年收入不少于 12.14 千元的人数为，则：B 1000,P，其中P 0.9773,于是恰好有 k 个农民的年收入不少于12.14 千元的事件概率为P k从而由P k 1得k 1001p，而1001p978.2773,N 17.40,6.922.63 14.77时，满足题意,14.77 千元.k kC103P1103kP第26页共 21 页所以，当Ok 978时，P当979 k 1000时，P第27页共 21 页由此可知，在所走访的 1000 位农民中，年收入不少于 12.14 千元的人数最有可能是 978 人.【点睛】本题考查频率分布直方图、正态分布、二项分布概率计算，属于综合题型，对于分析和数子计算的能力要求较咼，难度较难方法进行判断判断独立重复试验中概率的最值，可通过作商的22 .已知函数fx2 .1x x Inx23彳2