2019届高考数学专题07解三角形

1、1培优点七解三角形1解三角形中的要素例1: ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c=.2,b = .6,B =60 ,贝y C =_ .【答案】C =30【解析】（1）由已知B,b,c求C可联想到使用正弦定理：:sinc二CSIB,sin B sinCb1代入可解得：sinC=.由c :b可得：C：“B=60，所以C =30 .22.恒等式背景例2：已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,且有acosC亠、3asinC -b _c =0.(1)求A；(2)若a =2，且ABC的面积为3，求b,c.【答案】(1)二；(2)2,2.3【解析】(1)acosC %j3asi

2、nC _b _c =0二sin AcosC亠.3sin AsinC -sin B -sinC =0=sinAcosC 3sin AsinC - sin A C -sinC =0=sin AcosC；3sin AsinC - sin AcosC - sin Ccos A - sin C =0,2sin A1= sin !A-I6丿I 6丿25xA或A一-6 6 6 6(2)ABC:Jbesin = .3= be =4 ,2b2c2-bc 二 4bc=4b2c2=8be =4，可解得b =2c=2.即3 sin A -cos A =1 =(舍),2A 对点增分集训、单选题【答案】=-cos A亠B

3、 =一cosAcosB sinAsinB =【答案】【答案】C【解析】Tc =2acosB，由正弦定理 c=2Rsi nC , a =2Rsi nA ,. si nCTA,B,CABC 的内角，sinC =sin AB,A,B，二，sin A B =2si nAcosB, sin A cos B cos As in B = 2sin A cos B ,整理得sin A - B = 0,1.在ABC 中，a =1,B.A， B66 . 2JI4D.【解析】由正弦定理asinA=可得bsi nBasinBsi nA1 si n 4.兀sin6且cosC由余弦定理可得:c = Ja2+b2-2abc

4、osC =”1 +2 +2汇1汉V2江4血=2.故选A.22.在ABC 中,三边长 AB =7,BC = 5,AC .6，则AB B?等于（A. 19B.1C.18D.18【解析】三边长 AB =7 ,BC二 5 , AC二cosBAB2BC2-AC22AB BC7252-622 7 5uuv uuvAB BC二AB BCcos阿一B j=7 519二 ?3519 .35.故选 B.3在ABC 中，角A,B,C所对应的边分别是若c = 2acosB，则三角形一r 曰定是A.等腰直角三B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形= 2sin A cos B ,3A -B=0,即A二B故ABC 一定

5、是等腰三角形故选C.4.ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 C , =；7 , b =3a，则ABC3的面积为（)4A.兰B.彳-3c.244【答案】A【解析】已知C, c= .7 , b =3a ,3由余弦定理c2=a2，b22abcosC，可得：7 =a2b2ab =a2- 9a23a2= 7a2,解得：a =1，b = 3， SVABC= absinC=丄1 33 = 3.故选A.22245.在厶ABC 中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2-b = be,sin C = 2 3sin B,则 A=()A. 30B.60C. 120D. 150【答案】A【解析】

6、根据正弦定理由sin C -2 3sin B得:c = 2 3b,所以a2-b2f 3bc =3 2 3b2，即a2=7b2,又A = 0,爲打所以A.故选A.66.设ABC 的三个内角A , B , C所对的边分别为a,b ,c，如果a b c b，c_a =3bc, 且a=、；：3，那么ABC 外接圆的半径为（）A. 1B.2C. 2D. 4【答案】A【解析】因为（a +b +c b+ca ）=3bc,所以（b+cj a2=3bc，化为b2+c2a2=bc,所以cosAc=-，又因为A 0,二，所以A,2bc 232a732由正弦定理可得2R二莎 二3=2，所以R=1，故选A.27.在AB

7、C 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2ca2bc，若2sin B sin C二sin A,则ABC 的形状是（ ）cosA =b2c2a22bcb212b2-7b2_3 4.3b22A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形33445【答案】C也就是a2=bc,所以b2- c2=2bc，从而b =c, 故 a =b =c,ABC 为等边三角形故选 C.&ABC 的内角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足 acos B-bcos A =c，则ABC是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理b c化简已知

8、的等式得：si nA si nB sinCsin A cos B -si n Bcos A =si n C，即sin A B =si nC, A,B,C为三角形的内角，A B =C,即卩A = B C -,2则ABC 为直角三角形，故选 B.9在ABC 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知ABC 的面积为3,15,bc =2,cos A，则a的值为（）4A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】A【解析】因为0 : A：二，所以sin A = T - cos2A二二5,4又SVABC=1bcsin A -丄5be =3 15, bc =24，解方程组得b =6,c = 4,28

9、pc = 24由余弦定理得a2=b2，c2-2bccosA=62/ -2 6 4沖;-1=64，所以a =8.故选A.k 4 J10在ABC 中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边若b + a(sin C cosC ) = 0,【答案】C【解析】因为sin B sin C =sin2A，所以b c2R 2RA.B.C.3：D.2R6【解析】sin B二sin A川C二sin AcosC川cosAsinC,.b+a(sin C _cosC )=0，可得：sin B+sin A(sinCcosC )=0,sin AcosC cos A sin C sin Asin C _sin AcosC/ s

10、in C v0 cos A = _sin A , .tan A - -.1,3A.A-：二.故答案为C=0 , cos A si n C +s in Asin C =0 ,11.在 ABC 中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若bo Acsc贝 ABC是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】一a-cosAbcosBc盂,由正弦定理得:a =2R sin Ab =2Rsin B , c = 2R sin C代入,sin C得sin A sin BcosA cosB cosC 进而可得 tan A=tanBA = B =C，贝U ABC 是等边

11、三角形故选 D.12.在ABC 中，角A,B,C所对的边分别为已知a= 2.3 ,tan A1 -tan B2cT，则.c二B- 4C.二或4D.【答案】【解析】利用正弦定理，sin AcosB1cos As inB2sin Csin B，去分母移项得：sin Bcos A sin AcosB =2sin C cosA ,所以sin A B二sinC =2sin C cosA,1F3所以cosA.由同角三角函数得si nA二由正弦定理一 Jsin A2，孟，解得sin；所以C或舍）.故选B.7、填空题13在ABC 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2.2,b2_a2=16，则角C28

12、的最大值为_ ;【答案】-6【解析】 在厶ABC 中，由角C的余弦定理可知2 2 2a +b -ccosCab.2 2b a2 223a b14.已知ABC 的三边a,b,c成等比数列,sin B cosB 的取值范围是【答案】1,212accosB _2ac 2accosB，得cosB15.在ABC 中三个内角A,. B,. C,所对的边分别是b 2 si nCcoAs= - 2sAn Ca=2.3，则ABC 面积的最大值是【答案】.3【解析】Tb 2sin C cos A - -2sin AcosC,bcos A二-2 si nC cos A sin AcosC = -2si n A C二

13、-2si n B,b22a21 2 33则，结合正弦定理得4 a3，即tan A购,sinB cos Acos A si nA sin A1-，化简得b2c2=12 - be 2bc,23= 3，故答案为3.16.在锐角ABC 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且A,B,C成等差数2ab4ab又因为0: C：:：二，所以Cmax=6.当且仅当a=2 ?2，b =2吋6时等号成立.【解析】/ ABC 的三边a,b,c成等比数列,又T0 : B：:二，可得sin B亠cosB =2-兀LB，(n sin B亠一I 4B匸44，12，1 2，故答案为1,2.a,b,c所对的角分别为A,B,a

14、c =b2=a2c2人2 +2 _ 2由余弦定理得cosA = -c-2bc11故 bc 一 4 ,ABCbcsin A 4229列，b = 3 ,则ABC 面积的取值范围是_B,C成等差数列,三、解答题17.己知a,b,c分别为ABC 三个内角A,B,C的对边，且迢 二空一 .csi nC(1)求角A的大小；(2)若b，c=5，且ABC 的面积为3，求a的值.2 1T【答案】(1) ; (2). 21.a由正弦定理得而csi nCsin B . : sin3邑=2,. a = 2sin A , c = 2sin-ABC1acsin B2=3sinAsinC=3sin A1cosA sin23

15、sin A cos A23sin2A =3s in 2A3241 - cos2 A3 sin2A4仝cos2A二44-Jsin2/ABC 为锐角三角形，.22JT0A32:2A -6 65二：6，12：sin 2AT扌呼，故ABC面积的取值范围是【答案】4103【解析】(1)由正弦定理得，3sin A=cosA 2,sinC sin C11(1)求 ABD的面积.(2)若BAC =120，求AC的长.【答案】(1)2 3； (2)、.7.【解析】(1)由题意， BDA =120在厶 ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2 AD2-2BD AD cos120即28 =16 AD24AD = AD = 2或 AD - -6 (舍),. ABD的面积S二丄DB DA sin . ADB二14 22 2 2ADAB(2)在厶 ABD中，由正弦定理得 A_.,sin B sin ZBDA215讦代入得sin B，由B为锐角，故cos,1414所以sinC =sin 60 B =sin 60 cosB cos60 sinB在厶ADC中，由正弦定理得 上DAC,sinC sin ZCDA