2019-2020学年天津市南开区高一上学期期末数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1414 页2019-2020 学年天津市南开区高一上学期期末数学试题一、单选题1 1设全集U 1,2,3,4?,集合s3l,2?,T -23，贝y e）s|T等于（）A A .12B B. /C C込D D.9,3,4?【答案】B B【解析】根据补集和并集的定义可计算出集合ejS|T. .【详解】由题意可得Qs - 3,4，因此，$ sPIT-故选：B.B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题. .2 2.命题 “X。（0, ：）,In xo二xo-1”的否定是（）A A.Xo二（0, ：）,In Xo= Xo-1B B.Xo t（o, ： ：）,Inx=

2、 x-1C C .- x（o,：）,In x = x-1D D.- x（o,：）,In x=x-1【答案】C C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：-x（o,：）,Inx =x-1【考点】全称命题与特称命题3 3 .下列函数中为偶函数，且在o, r上单调递增的是（）A A.y=Ig2xB B. yX2C C.y=2XD D.y= x【答案】D D【详解】 对于 A A 选项，函数y =Ig 2X定义域为0,；，该函数为非奇非偶函数，且在区间o,；上为增函数;【解析】分析各选项中函数单调性以及在区间o,=上的单调性,可得出合适的选项第2 2页共 141

3、4 页对于B选项，函数y = -x为偶函数，且在区间,； 上为减函数；对于 C C 选项，函数y =2x为非奇非偶函数，且在区间0,7上为增函数; 对于 D D 选项，函数y二X为偶函数，且在区间0,； 上为增函数. . 故选：D.D.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断， 的关键，考查推理能力，属于基础题114 4. “”是：a：0”的（）a bA A .充分不必要条件C C充要条件【答案】B B11【解析】利用特殊值法和不等式的基本性质来判断出-”是b：a：0”的必要不充a b分条件. .【详解】11取a =2,b,成立，但ba：0不成立，则ab1111当b .a 0,则-b-a 0,

4、由不等式的性质得 -一-，aba b1 1即b : a：0”“1：一”.a b1 1因此，-是b：a：0”的必要不充分条件a b故选：B.B.【点睛】 本题考查必要不充分条件的判断，涉及了不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题. .5 5.cos480等于（）1A A.21B B.C C.23 32 2D D丄丄2【答案】 A A熟悉几种常见的基本初等函数的基本性质是判断B B.必要不充分条件D D .既不充分也不必要条件第3 3页共 1414 页【解析】利用诱导公式可计算出cos480：的值. .【详解】第4 4页共 1414 页rtrt rtrt1 1由诱导公式得cos 480；= c

5、os 540 -60” =cos 180：-60；=-cos60故选：A.A.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题6 6 .设 a ar rloglog。, , b b =0.5=0.56, c c=6.5，则a、b、c的大小顺序是（）A A.ba : cB B.b c ：.aC C. a : c : bD D.a: bc【答案】D D【解析】禾U用指数函数和对数函数的单调性比较a、b、c三个数与 0 0 和1的大小关系，可得出这三个数的大小关系【详解】对数函数y=log0.5X在上为减函数，则a =log0.56：log.5l= =0 0 ；指数函数y =0.5X为减函

6、数，则0：0.56: 0.50，即0：b：1;指数函数y = 6*为增函数，则c = 6.5 6= 1. .因此，a : b : c.故选：D.D.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较大小，考查推理能力，属于中等题f八f八7为了得到函数y =sin 2x的图象，只需把函数y=sin 2x的图象（）I6丿I3丿A A .向左平移个单位长度1212JIB B.向右平移一个单位长度4C C .向左平移-个单位长度6 6【答案】B BD D .向右平移一个单位长度2第5 5页共 1414 页【解将函数y二sin 2x-变形为y二sin 2I

7、6丿y 1 l 4丿3利用平移规律可得出正确选项【详解】(巧-(y = sin I 2x -一二sin 21 xI6丿IJI4 j3,为了得到函数y2气的图象，第6 6页共 1414 页需把函数y =sin 2x 】 的图象向右平移个单位长度I 3丿4故选：B.B.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在解题时要确保两个三角函数的名称保持一致，考查推理能力，属于中等题8 8如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象(收支差额 二车票收入-支出费用).由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3,从而提出了扭(1) 图2的建议是：减少支出，提高票价；(2) 图2的建议是：减少

8、支出，票价不变；(3) 图3的建议是：减少支出，提高票价；(4) 图3的建议是：支出不变，提高票价；上面说法中正确的是()A A(1 1)( 3 3)B B. (1 1) ( 4 4)C C( 2 2) (4 4)D D(2 2) (3 3)【答案】C C【解析】根据题意知图象反映了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线斜率说明票价问题，当x=o的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明【详解】根据题意和图2知，两直线平行，即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为o o 时，收入是 o o 但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为 0 0 时，支出不变，但是

9、直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，说明了此时的建议是提高票件而保持成本不变故选：C.C.【点睛】本题考查了利用图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查读图能力和数形结合思想的应用，属于中等题第7 7页共 1414 页9 9.已知三个函数f x =2x x-2,g x =x3-8,h x =log2x x-2的零点依次为a、b、c，则abc =()A A.6B B.5C C.4D D.3【答案】C C【解析】令f x =0，得出2x=2_x，令h x=0,得出log2X=2-x，由于函数y =2X与y = log?x的图象关于直线、二x对称，且直线y

10、=x与直线y=2- x垂直， 利用对称性可求出a c的值，利用代数法求出函数g x = x3-8的零点b的值，即可 求出a b c的值【详解】令f x =0，得出2x=2_x，令h x = 0，得出log2x = 2 - x，则函数y=2-x与函数y=2x、y=log2X交点的横坐标分别为a、c. .函数y二2x与y = log2x的图象关于直线y = x对称，且直线y = x与直线y = 2 - x垂 直，由图象可知，直线y = 2-x与函数y =2x、log2x的交点关于点A对称，则a c=2，3由题意得g bi=b -8 =0，解得b = 2，因此，a b 4. .故选：C.C.【点睛】

11、本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这 一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题1010若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为孪生函第8 8页共 1414 页数”.那么函数解析式为y=2x2+1，值域为3,19的 孪生函数”共有（）A A .15个B B.12个C C.9个D D .8个【答案】C C2 2 2 2【解析】 试题分析：由 y=2xy=2x +1=3+1=3，得 x x =1=1，即 x=1x=1 或 x=-1x=-1，由 y=2xy=2x + +仁 1919 ,得 x x =9=9, 即 x=

12、x=3 3或 x=-3x=-3，即定义域内-1-1 和 1 1 至少有一个，有 3 3 种结果，-3-3 和 3 3 至少有一个，有 3 3 种结果，共有3 3X3=93=9 种，故选 C C.【考点】1 1函数的定义域及其求法；2 2函数的值域；3 3函数解析式的求解及常用方法.二、填空题1111已知幕函数y = f x的图象过点1【答案】7x2【解析】 设幕函数的解析式为f x将点的坐标代入求出参数：-即可。【详解】 解：设幕函数的解析式为f X二X因为函数过点歼1解得：2Jf x=x21故答案为：丫三ZV【点睛】本题考查待定系数法求幕函数的解析式，属于基础题。1212设X，R，使不等式

13、14-4X14-4X2_x_x 成立的x的取值范围为 _ ,【解析】 解不等式 14_4x?_x14_4x?_x 即可得出实数X的取值范围【详解】o27解不等式14_4X2_X，即4xx-14 0，即4x-7 x 2 0，解得-2乞x. .4第9 9页共 1414 页因此，使不等式 14_4x14_4x2_x_x 成立的x的取值范围为 一2,7. .IL4故答案为：-2,7. .IL4【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. .a 1 x -2a,x乞11313 .若函数f (x )= * gg 1 x x1的值域是R，则实数a的取值范围是 _ .I3 【答案】i-

14、i,i【解析】 求出函数y二f x在区间 1,1,；上的值域为-：，0，从而可得出函数f x = a-1x-2a在区间.-11 1 上单调递减，且有f 1 =-a -1一0,得出关于实数a的不等式组，解出即可. .【详解】当x 1时，fX二log1X:：log1=0，即函数y = f X在区间 1,1,；上的值域为33i i：,0,0. .由于函数y = f x的值域为R，则函数f xi；ha-1 x-2a在区间-二，1丨上单调递减，la 1 0且有f 1计-a-仁0，即，解得-仁a：1. .J a T一0因此，实数a的取值范围是-1,1. .故答案为：1-1,1. .【点睛】本题考查利用分段

15、函数的值域求参数，在解题时要分析出函数的单调性，还应对函数在分界点处的函数值进行限制，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题35t tsinAsinA = = - - ccsBccsB = = “广1414. ABCABC 中，疔，山二_.第1010页共 1414 页16【答案】【解析】 试题分析： 三角形中， tosCtosC = =心 0 0 警 （冗-A-BA-B） 二一 cogcog （A A + + B B）= = -cosAcosB-cosAcosB + + sinAsinBsinAsinB, ,由，得又，所以有正弦定理得即3445 S 1216即 A A 为锐角，由得，因此【考

16、点】正余弦定理3ab3ab1515 .已知a 0,b 0，且 a a 88，贝 U U的最大值是 _a a +4b+4b41| 41x xi i【解析】将代数式与 a a - - b b 相乘，展开后利用基本不等式可求出a b的a ba b丿A AQ Q aKaK最小值，从而可得出 一的最小值，由此可得出 -的最大值. .a ba a+4b+4b【详解】4b a4 19当且仅当，当且仅当a=2b时，等号成立，所以，的最小值为一，aba b83ab 333门88-=-=- =3疋=_所以，a 4b a 4b4的最大值为993. .ab a b8故答案为：8 8. .3 3【点睛】本题考查利用基本

17、不等式求最值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题 三、解答题31616求值：（1 1）4 4_2e_2e| |n1n1 -Ig4-Ig4 Ig5Ig5 loglog35 5 loglog59 9 ；丿3x *-3x（2 2）已知a 0, a a2x2x=3=3，求axa_x的值.a+a117【答案】（1 1）; （ 2 2）丄.83【解析】（1 1）利用指数、对数的运算律和对数的换底公式可计算出所求代数式的值;b 0，且 a a b b =8=8，r4a第1111页共 1414 页(2(2)禾U用立方和公式得出3x_3xaa_X2xaaa2x-1 ax，结合a a2

18、x= =3 3 可求出所求代数式的值【详解】(1 1)原式3尸f2一2+O lg 4lg 25 + log35x2log53 =-13丿I 2lg(4x25)+2J8 8X_x2x2x(2(2)原式二a a a一1 aX-Xa a2x2x17=a 1a 3 -1 -33【点睛】本题考查指数式与对数式的计算,涉及换底公式以及立方和公式的应用，考查计算能力,属于基础题. .1717 .已知f X是定义在R上的奇函数，且 X X，O,时,72X1|,0： ：x2x+,xA2I x(1(1)求f 0,f f -2的值;(2(2)若fa =6，求a的值.341 3【答案】(1 1)f 0 =0,f f

19、-2 34; (2 2)丄、3或3. .52 2【解析】(1 1)根据奇函数的定义得出f 0的值，求出f 2的值，利用奇偶性的定义求出f-2，再结合奇偶性的定义与函数y二f x的解析式可计算出f f -2的值；(2 2)求出函数y二f x在区间0,21 1 上的值域为 1.5,71.5,7 1 1,在区间2,上的值域为，可得出当x 0时，f x 2. xf 5 =59=34，因此，f f -2二f一5 - - f 5二55(2(2)当XE(0,2 时，贝U 1 ex1兰1，则有0兰x 1兰1,此时f (X )= 7 -2 x -1 5,7.当x2：时，f x；=x 9_2. x9=6，当且仅当

20、x=3时取到最小值6，即x xf x卢6：. .所以，当x : 0时，f x：0 .131当a匸(0,2时，由f (a )= 72a1 = 6，解得a 或一；2292当a，2：时，由f a；=a 6，解得a= 3. .a13综上，a =、或3. .22【点睛】本题考查分段函数求函数值，同时也考查了利用分段函数值求自变量的值，涉及了奇函数性质的应用，考查计算能力，属于中等题. .1818 .如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角 、：，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、二2.5 510(1)(1) 求tan2二的值；(2)(2) 求2*亠；-的值

21、.43兀【答案】(1 1)4; (2 2). .3434；5第1414页共 1414 页【解析】(1 1)利用三角函数的定义得出cos的值，利用同角三角函数的平方关系求出第1515页共 1414 页sin,由此可得出tan的值，然后利用二倍角的正切公式可计算出tan 2的值;(2 2)利用同角三角函数的基本关系求出tantan : :的值，利用两角和的正切公式求出tan2-的值，求出2 二心的取值范围，可得出2-的值. .【详解】(1)由三角函数的定义可得cos” =25，Q为锐角，则sin.25sina1.tan，由二倍角正切公式得tan2cos：21 -ta n.tan空7，tan2：-:

22、.cos P1 -tan2o(tanPJTnJL门 _QW,，因此,【点睛】 本题考查三角函数的定义，同时也考查了二倍角正切公式、两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于中等题佃.已知函数f (x ) = 2cos x(sin x - VScosx ) +V3.(1)求f x的最小正周期和对称中心;(2)求f x的单调递减区间;ik兀 兀 )【答案】(1 1)最小正周期为 二；对称中心为,0Z； (2 2)I 26丿5兀11兀L ,11兀k一石石kZ；(3)当xp时，函数y =f x取最小值为-2.周期公式可计算出函数y=f x的最小正周期，解方程2xk二kZ可得出函2CL(2)由三角函数的定

23、义可得cos2，7 -为锐角，.sin10COS27.210，473_4173f x的最小值及取得最小值时x的值.【解析】(1 1)利用二倍角降幕公式、辅助角公式可得出f x =2sin 2x I 3丿，利用(3)第1616页共 1414 页3数y = f x的对称中心坐标；第1717页共 1414 页c-3:(2)解不等式2k：呱玄2x2k二kZ，可得出函数232递减区间;31TE(3 3)由x一，二，计算出2x的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的IL23最小值以及对应的x的值【详解】(1 1)f x = 2sin xcosx-2 3cos2x , 3 = sin2x-2.3 . 3

24、/ 2所以，函数y二f x的最小正周期为T. .:k 由2x k二k Z，可得xk Z，326函数y二f x的对称中心为-,0 k Z；12 6丿3:(2 2)解不等式2k：_2x2k二kZ，解得2325兀11兀kx空kk Z.12127兀V.2兀JI5二(3 3)当x匸.1，二时， 2x IL2333，JI3二11二当2x -时，即当x =时，函数y = f x取得最小值，最小值为-23212【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将 三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解， 考查分析问题和解决问题的能力, 属于中等题. .2 .2020 .

25、已知二次函数f xi；= ax bx c a,b,c R,f-2二f0=0,f x的最 小值为-1.(1)求函数f x的解析式;y二f x的单调=sin 2x - 3 cos2x = 2sin因此，函数y = f x的单调递减区间为5：；.5Tk：石k Z；11第1818页共 1414 页(2(2)设g x二f -X - f x 1. .（1 1）若g x在1-1,1 上是减函数，求实数的取值范围；（iiii）若g x在-1,1-1,1 内恰有一个零点，求实数 的取值范围.【答案】（1 1）f（x）=x22x； （ 2 2）（ i i） 0,0,：；：；心? ； （ iiii） -：:, -4 U 0,亠- j j【解析】（1 1）可设f x=ax x 2，可知该函数图象的对称轴方程为x= -1，由题意得出f -1 =-1，可求出a的值，即可得出函数y二f x的解析式；2（2 2）可得出g x = 1 - x-2 V x 1. .（i）分1 -，= 0、1 1 - - 0、1 1 -：0三种情况讨论，在1 ，=0时，将参数，=1代入函数y二g x的解析式进行验证，在 1 1 - -.0.0、1 1 一：0 0 两种情况下，结合单调性得 出二次函数y=g x图象的对称