2019届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 2323 页2019 届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1 1.若复数 Z Z 满足z 1 i 5 3i，其中i为虚数单位，则 z z 的虚部为（）（）【答案】C C【解析】利用复数的四则运算化简复数即可求解【详解】所以复数 z z 的虚部为-1.-1.故选：C C【点睛】本题考查复数的四则运算和概念；考查运算求解能力；属于基础题【解析】利用对数函数y log2X的单调性和分式不等式的解法求出集合代B,再由补集的定义和集合的交运算求解即可 【详解】由题意知，A x|x 2,B x| 1 x 5,由补集的定义知，x| x

2、2,所以B qA x | 1 x 2. .故选：D DB B.iC C. -1-15 3iz1 i(5 3i)(1 i)22 2.已知集合A x|log2x 1,BA A.x|2 x 5C C.x| 1 x 2【答案】D Dx 5x|0，则BERA( () )x 1B B.x| 1 x 5D D.x| 1 x 2第2 2页共 2323 页【点睛】利用对数函数的单调性解不等式和简单分式不等式的解法；考查运算求解能力；属于基础题 3 3 如图为某市国庆节 7 7 天假期的商品房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）亠认购成交A A .日成交量的中位数是 1616B B .日成交量超过日平均成交

3、量的有1 1 天C C .日认购量与日期是正相关关系D D .日认购量的方差大于日成交量的方差【答案】D D【解析】 根据折线图中的数据进行逐项分析即可 【详解】7 7 天假期的商品房认购量为： 9191、100100、105105、107107、112112、223223、276276;对于选项 A A : 7 7 天 假期的日成交量为： & & 1313、1616、2626、3232、3838、119119，所以日成交量的中位数是 2626,故 选项 A A 错误；对于选项 B B :日平均成交量为：13 8 32 16 26 38 11936，有 2 2 天日成交7量超过

4、日平均成交量，故选项B B 错误；对于选项 C C：根据图形可得，随着日期变大，日认购量是先下降后上升，所以日认购量与日期不是正相关，故选项 C C 错误；对于选项 D D :由图中的数据可得，日认购量的波动程度明显大于日成交量的波动程度，所以日认购量的方差大于日成交量的方差，故选项D D 正确. .故选：D D【点睛】本题考查利用折线图求样本的中位数、平均数及方差等数字特征；考查运算求解能力和数据分析能力；熟练掌握样本数字特征的有关概念和计算公式是求解本题的关键；属于中档题. .xx114 4 .已知命题p:X N*, -1（e e 为自然对数的底数）；命题q:x R,本题考第3 3页共 2

5、323 页2e第4 4页共 2323 页31 x2 3 则下列命题是真命题的是 （）B B.x1- 对x N*成立，故命题P为真命题;e2. 3x31x2 3，当且仅当3x31 x取等号,1时等号成立，故命题q为真命题. .2由复合命题真假判断方法可知，故选：A A【点睛】解能力和知识的综合运用能力；正确判断命题p,q的真假是求解本题的关键；属于中档5 5 已知函数f x x 2 ax b为偶函数，且在0,上单调递减，则x x 0 0 的解集为（）1,3,1 U 1,【答案】2，解关于x的不等式即可 【详解】使得3x【答【解利用条件判断命题P,q的真假，结合复合命题真假关系的判断方法进行判断即

6、【详因为幕函数nx ,n在0,上为增函数,因为3x31 x即当且仅当P q为真命题，p q,pq均为假命题. .本题考幕函数的单调性和基本不等式的运用；考查运算求1,1,【解根据题意, 由函数的解析式可得0,结合函数f x的奇偶性和单调性可得,第5 5页共 2323 页ax bax2b 2a x 2b为偶函数,2所以f x ax 2a b x 2b f x，可得b 2a 0,22f x ax 4a ax 4,f 20. .由f x为偶函数可得，fix 0 f 2f 1 x f 2, 由函数f x在0,上单调递减可得，1 x 2，解得-1vx2-e2x2242二直线 I I 的方程为：y y-

7、e e2= e e2(x x- 2 2),取 y y= 0 0，可得 x x= 1 1.直线 I I 在 x x 轴上的截距为 1 1.故选：B B.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题 (1)(1)求切线方程的方法： 求曲线在点 P P 处的切线，则表明 P P 点是切点，只需求出函数在点P P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过点 P P 的切线，则 P P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程；(2)(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并 解出参

8、数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上 二、填空题X 2y41313 .已知x,y满足2xy2，则z 2x y的最大值为3xy3【答案】2 2【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，目标函数z 2x y，化为y 2x z，结合图象可知，直线y 2x z过点A时，目标函数取得最大值，即可求解 【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数z 2x y，化为y 2x z,结合图象可知，直线y 2x z过点 A A 时，目标函数取得最大值，2x y 2由y，解得 A(1,0)A(1,0)，所以目标函数的最大值为z 2 1 0 2. .第1717页共 2323

9、 页3x y 3【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最小值问题，其中对于线性规划问题可分为三类（1 1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2 2 ）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3 3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想 的应用1414.设计下面的实验来估计圆周率的值：从区间0,1内随机抽取 200200 个实数对x,y，其中x,y, 1 1 三个数能构成三角形且为钝角三角形的数对x, y共有 5858 个，则用随机模拟的方法估计的近似值为_ . .【答案】7925【解

10、析】根据三角形的性质求出x, y满足的条件，得出数对x,y所对的平面区域，根据模拟法计算此区域的面积即可求解 【详解】因为x,y, 1 1 组成钝角三角形，且x, y 0,1,所以 x x y y 1 1 且x2y21, 在平面直角坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点的区域为阴影部分弓形，如图所示:1 58所以阴影部分的面积为1,42200第1818页共 2323 页792579故答案为：7925【点睛】本题考查利用模拟方法估计与面积有关的几何概型的概率；考查运算求解能力和数形结合思想；熟练掌握与面积有关的几何概型概率公式是求解本题的关键；属于中档题、常 考题型 15

11、15 已知圆锥的顶点为S，母线SA与圆锥底面所成的角为 3030，若圆锥的体积为8则此圆锥的侧面积为_. .【答案】8 3【解析】根据题意画出图形，结合图形，设圆锥的高为h，利用h表示出底面半径和母线长，利用圆锥的体积公式求出h，代入圆锥的侧面积公式求解即可 【详解】根据题意，作图如下：设圆锥的高为h，则底面半径为r、3h，母线长I 2h,由圆锥的体积公式可得，V圆锥=】Sh -Gh彳h 8,33解得h 2,r2,3,丨4，所以所求圆锥的侧面积为S侧面=rl 2、-3 4 8 3. .故答案为：83【点睛】本题考查圆锥的体积和侧面积公式；考查运算求解能力和空间想象能力；熟练掌握圆锥的体积和侧面

12、积公式是求解本题的关键；属于中档题111616.正项数列an满足a-1,a2，且anan 1是公比为-的等比数列，则使不33解得第1919页共 2323 页an比为 3 3 等比数列，再利用等比数列前n n 项和公式和不等式的解法即可求解【详解】n1 3n 112 332，3所以3n 122019，可得3n 12021，解得n 6，即最小整数n为 6.6.故答案为：6 6【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和前n n 项和公式；考查运算求解能力；熟练掌握等比数列的通项公式和前 n n 项和公式是求解本题的关键；属于中档题 . .三、解答题1717 已知菱形ABCD中，DAB 60,E是边B

13、C上一点，线段DE交AC与点F. .丄a3a2n 1【答案】6 62019成立的最小整数n为【解析】利的奇数项，偶数项分别成公因为数列anan是公比为1的等比数列,3所以52anan 1an 21云3，则an 233，所以数列的奇数项，偶数项分别成公比为3 3 等比数列,因为an1丄32所以丄丄a?a3a2n 1323n3 323n丄a2第2020页共 2323 页AB(1 1) 若DCE的面积为週,DE J3，求菱形的边长AB.2(2 2) 若CF 8，求cos DFC.DF 5【答案】(1 1) 2 2; ( 2 2)4迈.1010【解析】 (1 1)在DCE中，设CD x,CE y x

14、y，利用三角形的面积公式和余弦定理分别建立关于x,y的方程，解方程即可求解;(2 2)在DCF中，利用正弦定理求出sin CDF，然后利用同角三角函数的基本关系求出cos CDF，再利用两角和的余弦公式即可求解 【详解】(1 1)在DCE中，设CD x，CE y x y,则S - xysin 603，二xy 2，2 2由余弦定理可得，DE2x2y22xy cos60,二x2y25，解得x 2,y 1, 所以菱形的边长AB为 2.2.(2)在DCF中，由题意知，DCF 30o,CF4 sin CDFsin 30oDF5E是边BC上一点，所以CDE CDB 60o,由两角和的余弦公式可得,由正弦定

15、理可得,CFDFsin CDFsin 30o- cos CDF33，因为DFCCDF 30o所以cosCDF 30ocos CDF 30ocos CDF 30ocos CDF cos30osinCDF sin30第2121页共 2323 页3 33 34 4 1 13.33.3 4 45 52 25 5 2 21010 ，所以COS DFC4 33即为所求1010【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形、 三角形的面积公式和两角和的余弦公式； 考查运算 求解能力；熟练掌握正余弦定理和三角形的面积公式是求解本题的关键；属于中档题 1818 如图，在四棱锥P ABCD中，AB/CD ,AB 1 ,C

16、D3 , AP 2 ,DP2 3，（2 2）若直线PA/平面MBD，求此时三棱椎A BDM的体积 【答案】（1 1）证明见解析；（2 2）二 3.3.2【解析】（1 1）利用正弦定理和三角形的内角和定理证得DP AP，结合AB DP,利用线面垂直的判定定理证得DP平面PAB，再由面面垂直的判定定理即可证明；1（2 2）如图所示，连接AC交BD于N，连接NM，可证明ABN CDNCDN , ,PM PC, ,4亠3由VABDMVMBDA -VP ABD，作PO AD于点0,可证PO平面ABD，代入题4中的数据进行计算, 即可求出A BDM的体积【详解】（1 1）证明：因为AB平面PAD，所以AB

17、DP,因为DP 2込,AP2,PAD 60,由正弦定理可得，PDPA解得sinPDA1sinPADsin PDA2，所以PDA 30APD90，即DPAP,因为ABI APA，所以DP平面PAB,因为DP平面PCD第2222页共 2323 页所以平面PAB平面PCD. .第2323页共 2323 页(2(2)如图：连接AC交BD于N，连接NM,P因为直线PA/平面MBD，过PA的平面PAC与平面MBD的交线为NM,由线面平行的性质定理可得，PA/NM,在梯形ABCD中，因为AB/CD，AB 1，CD 3，所以VABDM討窗；竽 于即为所求【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质、线面平行的性质、面

18、面垂直的判定和等体积法求棱锥的体积；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理、 面面垂直的判定定理是求解本题的关键；属于中档题1919 某大学就业部从该大学 20182018 年毕业且已就业的大学本科生中随机抽取了100100 人进行了问卷调查，其中有一项是他们的薪酬，经调查统计，他们的月薪在 30003000 元到 1000010000元之间，根据统计数据得到如下频率分布直方图：所以ABN CDNCDN，即ANNCABCD因为PA/NM，所以ANNCPM 1MC 3MC33,即VABDMVM BDAVP ABD,PC44作POAD于点O，因为AB平面PAD,所以A

19、BPO，因为AB ADA,所以PO平面ABD,AP，AP 2，DP2、3，所以AD 4, PO 13，所以VP ABD1 PO SABD32.33在APD中，由(1 1)知，DP第2424页共 2323 页若月薪在区间x 2s, x 2s的左侧，则认为该大学本科生属就业不理想”的学生，学 校将与本人联系，为其提供更好的指导意见 其中X，s分别是样本平均数和样本标准差， 计算得s1500（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（1 1） 现该校 20182018 届本科毕业生张静的月薪为 36003600 元，判断张静是否属于 就业不理想” 的学生？用样本估计总体， 从该校 20182018

20、届本科毕业生随机选取一人， 属于 就业不理想” 的概率？（2 2） 为感谢同学们对调查的支持配合，该校利用分层抽样的方法从样本的前3 3 组中抽 出6 6 人，每人赠送一份礼品，并从这 6 6 人中再抽取 2 2 人，每人赠送新款某手机 1 1 部，求 获赠手机的2 2 人中恰有 1 1 人月薪不超过 50005000 元的概率. .3【答案】（1 1）属于，0.03250.0325；（ 2 2）. .5【解析】（1 1）结合频率分布直方图，代入平均数公式求出X，结合s 1500，求出x 2s, x 2s与 36003600 进行比较即可判断张静是否属于就业不理想”的学生，进而求出属于就业不理

21、想”的概率；（2 2）分层抽样从前 3 3 组抽取 6 6 人，分别 1 1 人，2 2 人，3 3 人，记为 1 1, 2 2，3 3，4 4，5 5, 6 6， 利用列举法求出总的基本事件数和赠手机的2 2 人中恰有 1 1 人月薪不超过 50005000 元包含是基本事件数，代入古典概型概率计算公式即可求解【详解】（门 由频率分布直方图可知，x 3500 0.05 4500 0.1 5500 0.15 6500 0.37500 0.2 8500 0.15 9500 0.05 6650，因为s 1500，所以x 2s, x 2s 3650,9650，因为3600 3650，所以张静属于 就

22、业不理想”的学生. .属于就业不理想学生的概率：P 3650 3000 0.00005 0.0325. .（2 2）分层抽样从前 3 3 组抽取 6 6 人，分别 1 1 人，2 2 人，3 3 人，记为 1 1, 2 2，3 3，4 4，5 5, 6.6.6 6 人中选 2 2 人包含的基本事件为1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,3 , 2,4 , 2,5 ,2,6 , 3,4 , 3,5 , 3,6 ,4,5 ,4,6 , 5,6共有 1515 种选法，恰有 1 1 人不超过 50005000 的结果为第2525页共 2323 页1,4 , 1,5 , 1,6

23、 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , 3,4 , 3,5 , 3,6共 9 9 种，由古典概型概率计算公式可得，93赠手机的 2 2 人中恰有 1 1 人月薪不超过 50005000 元的概率P. .155【点睛】本题考查利用频率分布直方图求样本的平均数和利用列举法求古典概型概率；考查运算求解能力和数据分析能力；熟练掌握样本的平均数公式和古典概型概率计算公式是求解 本题的关键；属于中档题 22J2020 已知椭圆C:务萼1 a b 0的离心率为，且经过点2,1. .a2b22(1) 求椭圆C的方程；(2) 过点P 0,2作直线交椭圆C于A,B两点，若点B关于y轴的对称点为B, 证明直线AB

24、过定点. .2 2【答案】(1 1) L1； (2 2)证明见解析. .42【解析】(1 1)根据离心率得到a, b,c之间的关系，把点.2,1代入椭圆C方程即可求解；(2 2)分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行证明：当AB不垂直于x轴时，设直线AB:y kx 2 k 0与椭圆C方程联立，设A x1,y1,B x2,y2，则B X2,y2，利用韦达定理进行证明即可；当AB垂直于x轴时，AB即y轴，过0,1【详解】(1) 由题意，a、2c，二b c,2 2所以椭圆C的方程为- 塔1,2 22c c把点2,1代入椭圆C的方程可得c兀，2 2所求椭圆C的方程为1. .42(2) 证明：当AB不

25、垂直于x轴时，设直线AB:y kx 2 k 0第2626页共 2323 页y kx 2联立方程x2y2，可得2k21 x28kx 4 0,1422 2 218k 4 4 2k 10可得，k2，yy2直线AB的方程为：y力 -xx-ix2y1y2令x 0,yy1-x1x-1x2直线AB过定点0,1， 当AB垂直于x轴时，AB即y轴，过0,1综上可知，直线AB过定点0,1. .【点睛】本题考查椭圆的几何性质及其标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定点问题；考查运算求解能力和分类讨论思想；熟练掌握椭圆及其性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题 2121 .已知函数f X2x axIn x a

26、R. .(1 1)当a3时, 求f X的极值；(2 2)若X1,X2X1X2是函数f x的两个极值点，求f X2f X!的取值范围 【答案】(1 1)f X5极大值4ln 2,f x极小值2；(- -),0. .【解析】(1 1) 由题意知，函数f x的定义域为0,，对函数f X进行求导，利用导数f x判断函数f x的单调性并求其极值即可；设A X1,y1,B X2, y2,则B%2,丫2,kAB%y2x-ix2由韦达定理可得,8kX1X22k21，X1X242k21X2x1kx22x2kx-!2X1X2X1X22k x?2为为X2X22X2X22k-2k218k2k211 2 1。第2727

27、页共 2323 页(2 2)对函数fx进行求导，设g x 2x ax 1，根据函数极值点的定义转化为第2828页共 2323 页0有二不等正根xi,x2，利用一元二次方程根的分布的相关知识求出【详解】所以可得x, f x , f x之间的关系如下表:x0,2121 1刁11 11,1,f x0 00 0f x极大值极小值由表中的数据可知,f x极大值f125 ln42,fxf 1极小值2. .(2 2) 由题意知，f x 2x1 a -22x2ax 10,XxX设g x2x2ax 1,因为函数f x存在两个极值点X1,X2为X2,所以g x 0有二不等正根x1,x2,a280a0，解得a2、2

28、，4g 010因为人,X2是方程2x2ax 1 0的两根,a的取值范围，利用韦达定理求出x,X,X2之间的关系，通过作差求出X2f X1的表达式，设tx；t -，则h t211tln2t t，通过构造函数h t并对其求导判断4t2单调性求其最值即可求出f X2f x-的取值范围(1(1)由题意知，函数x的定义域为0,因为f x2x 3丄x22x23x 1x2x 1 x 1x第2929页共 2323 页由韦达定理可得，x2a2 2，x1x2，二x2本题考查利用导数判断函数的单调性和极值、最值，一元二次方程根的分布问题和函数 构造法的运用；考查运算求解能力、转化与划归能力；熟练掌握利用导数判断函数

29、的单调性并求极值、最值的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. .1 -t5sin24cos 0,直线I与曲线C交于A,B两点 (1)求直线I的普通方程及曲线C的直角坐标方程;1 1(2 2)已知P 1, 1,求芮的值. .【答案】(1 1)y24x,4x 3y 70；( 2 2)虫7. .15【解析】(1 1)利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式化简求解即可；(2 2)联立直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，利 用韦达定理和参数t的几何意义求解即可. .2由2xiaxi10可得,2 2x-ix-ia音In xx1In音1,2由2冷ax21 0可得，f x22 2x2ax2In x2x2In x?1f x2f x-ix2x2InX122x22In 2x2,4x2, 2 11设tX2t，则h tt24t所以h t1121(2t1)224tt4t- h t h10, 即fX2fx2In 2t t -,20, ht在2,上单调递减,2222 .已知直线I的参数方程为1 3t5(t为参数)，曲线C的极坐标方程为的取值范围为,0【点第3030页共 2323 页【详解