利用最小二乘法求解拟合曲线

1、无实验实验三三 函数逼近函数逼近一、一、实验目标实验目标1. 掌握数据多项式拟合的最小二乘法。2. 会求函数的插值三角多项式。二、二、实验问题实验问题（1）由实验得到下列数据jx0.00.10.20.30.50.81.0jy1.00.410.500.610.912.022.46试对这组数据进行曲线拟合。（2）求函数 2cosf xxx在区间, 上的插值三角多项式。三、三、实验要求实验要求1. 利用最小二乘法求问题（1）所给数据的 3 次、4 次拟合多项式，画出拟合曲线。2. 求函数 2cosf xxx在区间, 上的 16 次插值三角多项式，并画出插值多项式的图形，与 f x的图形比较。3. 对

2、函数 2cosf xxx，在区间, 上的取若干点，将函数值作为数据进行适当次数的最小二乘多项式拟合，并计算误差，与上题中的 16 次插值三角多项式的结果进行比较。无数值分析实验报告数值分析实验报告【实验课题】【实验课题】利用最小二乘法求上述问题所给数据的 2 次，3 次、4 次拟合多项式，画出拟合曲线【实验目标】【实验目标】（1）加深对用最小二乘法求拟合多项式的理解（2）学会编写最小二乘法的数值计算的程序；【理论概述与算法描述】【理论概述与算法描述】在 函 数 的 最 佳 平 方 逼 近 中( ) , f xC a b, 如 果( )f x只 在 一 组 离 散 点 集 ,0,1, ix im

3、上给出， 这就是科学实验中经常见到的实验数据( ,),0,1, iix yim的曲 线 拟 合 ， 这 里( ),0,1,iiyf xim， 要 求 一 个 函 数*()ySx与 所 给 数 据( ,),0,1, iix yim拟合，若记误差*()(0,1,)iiiSxy im,01,Tm ,设01( ),( ),( )nxxx是 , C a b上的线性无关函数族，在01( ),( ),( )nspanxxx中找一个函数*( )Sx，使误差平方和|2222*2( )000|( ) ( )minmmmiiiiiS xiiiSxyS xy这里0011|( )( )( )( )()nnS xaxax

4、ax nm这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。通常在最小二乘法中考虑加权平方和有0(,)( )( )( )mjkijkixxx ，0( ,)( ) ( )( ),0,1,mkiikkifx f xxdkn上式可改写为无0(,),0,1,mkjjkjadkn 。这个线性方程组称为法方程，可将其写成矩阵形式,Gad其中0,10,1(,) ,(,)TTnnaa aadd dd00010100101111(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,),(,),(,)nnnnG 求出0,1,na aa则拟合函数*2012( )nnSxaa xa xa xa=inv(G

5、)*d【实验问题】【实验问题】由实验得到下列数据jx0.00.10.20.30.50.81.0jy1.00.410.500.610.912.022.46试对这组数据进行曲线拟合。利用最小二乘法求所给数据的 2 次、3 次、4 次拟合多项式，画出拟合曲线。【实验过程与结果】【实验过程与结果】编写程序后运行，编写程序后运行，n=2.3.4 分别计算，得出结果和图像分别计算，得出结果和图像【结果分析、讨论与结论】【结果分析、讨论与结论】(1)n=2时x=0.00.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0无y=1.00.410.500.610.912.022.46n=2p=leastsq(x,y,n

6、)I=lsp(p,t)回车得到结果p =0.7356-1.24003.1316所以拟合多项式为I =t*(18733*t)/5982 - 74179/59820) +73337/99700(2)n=3时x=0.00.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0y=1.00.410.500.610.912.022.46n=3Apleastsq(x,y,n)I=lsp(p,t)回车得到结果0.9266-4.659112.8147-6.6221所以拟合多项式为I=0.9266-4.6591t+3 12.8147t2+ -6.6221t3;(3)n=4时x=0.00.1 0.2 0.3 0.5 0.8

7、1.0y=1.00.410.500.610.912.022.46n=4p=leastsg(x,y,n)I=lsq(p,t)回车得到结果A=0.9427-5.298716.2747无-12.33482.8853附程序1.Mainx=0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0y=1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46syms tn=2p=leastsq(x,y,n)c=lsp(p,t)plot(x,y,*)2.function p=leastsq(x,y,n)m=length(x);G=zeros(n+1,n+1);b=zeros(n+1,1);for i=0:nfor j=0:nG(i+1,j+1)=(x.i)*(x.j);enden