欧氏空间与双线性函数基本内容与考点综述

1、第九章欧氏空间与双线性函数根本内容与考点综述、根本概念1欧几里得空间设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作:，它具有以下性质：,J 二C,：;2k: , J =k: ,3X 亠 l'：M：,：,；4：,： _0,当且仅当=0时:，：=0.这里:, ,是V中任意的向量,k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间.2. 酉空间设V是复数域C上的线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积，记作C , ,它具有以下性质：1，1=厂,这里是,的共轭复数；2k: , ： =k:,：;3二：, ：,；43_：i _0,当且仅当=0时:，=0.这里:,'

2、-,是V中任意的向量 飞是任意复数，这样的线性空间称为酉空间.3. 向量的长度非负实数 J：,：称为向量的长度，记为：.4. 向量的夹角非零向量:-,的夹角：:二卩：规定为:,:二 arccos 二；-,0 _ ：:-，匸："：一.5. 向量正交如果向量:, 的内积为零，即二J",那么称：正交，记为31 “.6. 基的度量矩阵1, ；2，中是n维欧氏空间V的一组基，令aj =；j,i,j =1,2/ , n.称A=ajnn为基1, ；2,；n的度量矩阵.7. 正交向量组欧氏空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组.8. 正交基、标准正交基在n维欧氏空间中

3、，由n个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基.9. 正交矩阵、酉矩阵n级实矩阵A称为正交矩阵,如果AA二E.n级复矩阵A称为酉矩阵，如果AA=E.10. 欧氏空间同构实数域R上欧氏空间V与V 称为同构的，如果由V到V 有一个双射 二,满足(1) ；(黒亠卩)-；.()；(-);(2) ；(k := k；(:)；(3) (；(：),；)=(，).这里:，l：=V，k R，这样的映射；:称为V到V的同构映射.11. 正交变换，酉变换欧氏空间V的线性变换:如果满足(<y(ot)，b(0) =(ct，閃.那么称；?为V的一个正交变换.酉空间V的线性变换C如果满足(

4、;(:)，;(：)=(:，:)那么称:为酉空间V的一个酉变换.12. 子空间正交、向量与子空间正交设V1，V2是欧氏空间V的两个子空间，如果对于任意的：；三Vj：'：=V2,恒有(：，J =0.那么称v1 ,V2为正交的，记为y _v2.个向量:-,如果对于任意的I-'：= v1 ,恒有C , ) =0.那么称与子空间V1正交,记为_v13 .子空间的正交补子空间V2称为子空间V1的一个正交补，如果V1 _V2,并且V1VV.14. 欧氏空间V的线性变换匚如果满足(二G'), )二(： ,= )那么称；:为V的一个对称变换.15. 向量之间的距离长度用称为向量：和 啲距

5、离，记为dG , ).16. 最小二乘解实系数线性方程组、a12X2 亠 、a1sxs=0a21x1a22x2 亠 亠 a2sxs _b2 =0aniXian2X2a.sXs - bn =0可能无解即任何一组实数Xr,X2 - ,xs都可能使(1)n 2 (aiixi - ai2X2 川"-川aisXs bi) i 4不等于零使(1)式最小的实数组xfxO,，X?称为方程组的最小二乘解17. 对称矩阵，Hermite矩阵如果 AA,那么称矩阵A为对称矩阵如果A =A,那么称矩阵A为Hermite矩阵.18. Hermite 二次型设A为Hermite矩阵,二次齐次函数n n _f (

6、Xi,X2 / ,Xn)aijXiXj =X AXi =1 j =1称为Hermite二次型.19. 线性函数设V是数域P上的一个线性空间，僱V到P的一个映射，如果f满足(1) f (二】 )二 f C ) f (:);(2) f (k:) =kf (:).其中:,-是V中任意元素 飞是P中任意数,那么称f为V上的一个线性函数.20. 对偶空间、对偶基.设V是数域P上一个n维线性空间2上全体线性函数组成的 集合记作L(V, P).用自然的方法在L(V,P)上定义加法和数量乘法 丄(V,P)成为数域P上的线性空间，称为V的对偶空间.设V是数域P上的一个n维线性空间，十；2 ,，中是V的一组基，作

7、V上n个线性函数f1,f2,fn,使得fj (引)=J j. J.八"0, j i,i, j =1,2,n.那么2，fn为L(V,P)的一组基,称为；1, ；2,，；n的对偶基.21. 双线性函数V是数域p上一个线性空间，f(，J是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量 ,根据f都唯一地对应于 P中一个数f G ,：),如果f G ,：)有以下性质： f： ,K, G k2f：2；2 f ki ： ik2: 2, - =ki f C i, : k2 f C 2,：,其中冷，：2 '，M，T是V中任意向量，$飞2是P中任意数,那么称f：，J为V上的一个 双线性 函数22. 双线

8、性函数的度量矩阵设f，J是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数；2,，；n是V的一组基，那么 矩阵& «1，妙f®l，槪f&，En"A= f咳，?1fd，他fS2，&n,fen，C1 f En，$2f Sn，Sn丿叫做fC，'在基；1, ；2,，；n下的度量矩阵23非退化的双线性函数设fG，：是线性空间V上一个双线性函数，如果f：，： =0对任意I - ：ZV,可推出=0, f就叫做非退化的24对称双线性函数，反对称双线性函数fG , 是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量:/都有f a, R = f P,a.那

9、么称fG , 为对称双线性函数，如果对V中任意两个向:都有fa, 0 =_f B,a那么称fG , 为反对称双线性函数25. 双线性函数对应的二次齐次函数设V是数域P上的线性空间，f，J是V上双线性函数，当：二-时，V上函数f，称 为与fc , 对应的二次齐次函数26. 双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间设V是数域P上的线性空间，在V上定义了一个非退化双线性函数，那么V称为一个双线性度量空间，当f是非退化对称双线性函数时，V称为P上的正交空间；当V是n维实线性空间,f是非退化对称双线性函数时，V称为准欧氏空间；当f是非退化反对称双线性函数时，V称为辛空间二、根本结论1柯西一布涅柯夫斯

10、基不等式欧氏空间V中的任意向量:S,:有也01訓円.当且仅当:,-线性相关时，等号才成立2度量矩阵是正定的，不同基的度量矩阵是合同的3. n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基4对于n维欧氏空间中任意一组基冷，2,，都可以找到一组正交基：1，：2,，：n使LC 1, : 2,，) = L( ：1，：2，：i ).i =1,2 ,n.k，：1:1C<k, :kj)(:k d , : kjj)I 'k j, k =2，n.5. A = (aij) nn是正父矩阵 u A A = E ：二 AA = E ：二 A = A ：二 aii a“ a2ia2j '&quo

11、t; ani anj1,当 i = j0当i Hj.：=aiiaji ai2aj2亠ainajn1,当 i=j0,当i = j.二A是n维欧氏空间V中两组标准正交基之间的过渡矩阵=二彳，；2,，；n=彳，4，；nA,其中；:是正交变换,刁，:2,，；n是V的一组标准正交基6. 色，£2,"八，务是n维欧氏空间的一组标准正交基二&,名j = “0, |二jj二基；1, ；2,，；n的度量矩阵为单位矩阵.= 存在标准正交基 e1,e2,en及正交矩阵Q .使；1,；2,，；n = e ,，enQ7. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同8. 设;:是n维

12、欧氏空间V的一个线性变换，以下四个命题是等价的：二保持内积不变，即对任意的- - V,都有；:,；=:,2；匚保持向量的长度不变,即卅",；：=：;3如果；1，；2,，；n是标准正交基，那么匚；1,匚；2,，；n也是标准正交基；4；在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.9. 如果子空间v1,v2 ,Vs两两正交，那么和y，v2亠亠vs是直和.10. n维欧氏空间V的每一个子空间都有唯一的正交补.11. A是实对称矩阵，那么A的特征值都是实数，且属于A的不同特征值的特征向量必正交.12. 设;堤对称变换,V1是二一子空间，那么匕乜是二一子空间.13. 对于任意一个n阶实对称矩阵A,都存

13、在一个n阶正交矩阵T,使T AT =T AT成对角形.14. 任意一个实二次型Fj j-jaij XiXj , a 二aji,i, j =1,|l, n.都可以经过正交的线性替换变成平方和. 2 _ 2 、 2'1 yi .<2 y2 亠亠 .n yn 其中平方项的系数 1,2,，n就是矩阵A的特征值15. 线性方程组AX =匕的最小二乘解为满足方 程组A AX = A b的解X.16. 埃尔米特矩阵的特征值为实数，它的属于不同特征值的特征向量必正交17. 假设A是埃尔米特矩阵，那么有酉矩阵C,使C JAC 二 C ac 是对角形矩阵.18. 对埃尔米特二次型n n_fX1,X2

14、,|l|,Xn HaijXiXj =XAX必有酉矩阵C,当X二CY时f X1,X2，Xn二d1y1 2丫22 dnynVn.19. 设V是数域P上的n维线性空间，/, ；2,，；n是V的一组基，&忌,，an是P中任意 n个数，存在唯一的V上线性函数f,使f ；i = ai .i = 1,2，,n.20. 设1, ；2,，；n及1，2，n是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为2，f 及91,92，.如果由1，；2,，；n到1，2,，n的过渡矩阵为A ,那么由f1, f2,，fn到91,92，gn的过渡矩阵为A'.21. V是一个线性空间，V*是V的对偶空间的对偶空间，V到V *

15、的映射* *Xr X是一个同构映射.22. 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的23. 双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵24. 设V是数域P上n维线性空间，f ：, J是V上对称双线性函数，那么存在V的一组基1，；2,，；n,使f，J在这组基下的矩阵为对角矩阵.25. 设V是复数域上n维线性空间，fC , 是V上对称双线性函数，那么存在V的一组基nn1,；2,，；n,对V中任意向量Xi d,yi d有i =1i =±f G，：=为力 X22Xr yr 0 - n26设V是实数域上n维线性空间，f(，J是V上对称双线性函数，那么存在V的一组基nn1，；2,；

16、n ,对V中任意向量 = Xi ,yi ；i.有i 二iMf (： , ：) =xiyi 亠 亠Xpyp -Xp iyp i - xyr (0 乞 p r 辽n)27. 设fC, )是n维线性空间V上的反对称双线性函数，那么存在V的一组基；1,；丄，:r，；丄，1,，s 使f (S J)=1,i =1山r;f(；i, ；j)=0,i j 7;f C , QV,k =1,|山 s.三、根本方法1. 常用的欧氏空间(1)线性空间Rn,对如下定义的内积构成欧化空间:-=(a1,a2,，an), 一： =(64,g)(:, F) = a1b1 a2b2 anbn.线性空间C(a,b).f(x),g(x

17、) C(a,b)对如下定义的内积构成欧氏空间b(f,g) = Jf(x)g(x)dx.ba2. 将对称矩阵的理论、二次型的理论及对称双线性函数的理论互相转化，会给解题带来方便.试题精选1.(东南大学,2006)设f是有限维Enclid空间V上的正交变换 (1)证明：f的特征值只能是1或-1;(2)证明：f的属于不冋特征值的特征向量相互正交；如果1和-1都是f的特征值，并且V1和V分别表示f的属于特征值1和-1的特征子空间假设f 2 =1(I表示V上的恒等变换),证明:V4 =V|2 .证明：(1)假设R,鳥严0.由f是正交变换，那么(f ： f=ha=乙2, a a = q a)(,且G /

18、)0,于是2 =1/ R,那么=1或 T.假设 f(1)=、1, f (2)- =2,那么(：1, ： 2)= (f(： 1)，f (： 2) =(：1，-： 2)= -(：1，2)于是 C 1，： 2)= 0.E0假设f 2 =1,那么f可以对角化,于是存在V的一组基：1，：2，:，f J2,，二n )=(_：/,二 2,，二n)那么V1 =L 冷，用2,，、；rV 二=LC<r 1，右 2，用n-由2, Vi Vi,且 dimVj = n r,dimy二 n r 由正交补的唯一性 V二Vi2.东南大学，2006假设A是s n实矩阵，在通常的内积下，A的每个行向量的长度为a,任意两个不

19、同的行向量的内积为b,其中a,b是两个固定的实数.1求矩阵aat的行列式；假设a2 .b_0证明：AAt的特征值均大于零.解1令ApA2,，As是A的s个行向量，那么aatAAT =a2,i Tils .A1A1t,A：)二 A2atAsA：AA：=bi# j iAA；AiA：a2A2A：A2A： = bAsA：As A：bba2bb =a2 (s 1)b(a2 b)sa2s.由aat是半正定矩阵.证明 设1,'2,，S是aat的特征值，那么aat 于是>0,i =1,，s.只要证明 AAT式0,那么AAt的特征值均大于零.因为 a2 Ab 30,那么a2 +(s1)b(a2 b

20、)s=AAt >0.3. 东南大学,2005设V是n维Euclid空间,f是V上的线性 变换,并且满足条件：对任意 二产：二V,有f ：=：, f：.其中,表示向量',的内积.1证明：f的属于不同特征值的特征向量是相互正交的2I证明：如f = f,那么V。二乂一,其中V M分别表示f的关于特征值i和0的特征子空 间证明设 f ：,-、冷，f 2- 2 >2，1, 2 * R,，1 f.2,、= 0,2 = 0.那么f ： 1，2= ' 11, ： 2= 1 C 1，爲2.由条件f：i,： 2 =：1, f： 2 =：1, 2： 22： 1,： 2. 于是1 一 2冷

21、，>2=°，所以1, >2".由f? =f,那么f? _ f =o令mx是f的最小多项式,那么mxx? _ x,于是mx没 有重根，f可以对角化，那么存在V的一组基 冷，：？,，n.使f 冷，>2，：n=冷,2，:n)Er0、°.:由n (于 是Vi = (： L hl,|： r ?,3, V r )|° L,：r(1) ,V° 二 Vi.dimV° =dimVi二 nr,由正交补的唯一性，V° =Vi4. 东南大学,2°°4设；i,；2, ；3为欧氏空间V的标准正交基，： =；i-2；

22、?, ： =2 “ ；3,求(1 '岔a =，82，E3 2 P =街，帝2，£3° .1°丿0 -1 °门 ' Q° ° 1 | -2 卜 °I1 ° °丿1°丿J丿0 -1 °xH (可，名2 ,名3 )=(知，名2 ,名3 ) ° °1° ° 丿那么H是正交变换,且H : 口5 .东南大学,2004A是n阶实对称阵，,是A的特征值，相对应的标准正交特征 向量为1,；.求证:A =打©即+扎雋即这里"T&q

23、uot;表示转置.证明 令Q =2,n那么Q是正交矩阵.A肚2,弋¥， = <'-n 丿于是A=QQT=(©,J，_，En)= 111T -'n n'T.6.大连理工，2003设V是一个n维欧氏空间，匚是正交变换，匚在V的标准正交基底上 是A.证明：的矩阵1假设uvi是二的一个虚特征值，那么有:，W，使二=：,；：=-v±2假设;的特征值皆为实数，那么V可分解为一些两两正交的一维不变子空间的直和 假设二的特征值皆为实数，那么A是对称阵.证明1容易证明，如果的坐标是实向量贝二的坐标也是实向量.令 二=u vi ， u，v R， v =

24、0，=0，-三 V.设；i： i :.那么；_；亠 i、£_； I 亠 i；用=u 亠 iv,亠 i、；= -V ：.亠ul 亠 i u:：£ 亠 vl .于是；、£=ux 亠vl, ； =-vx 亠ull令1,，2,，n是二的实特征值，由Schur定理,A正交相似于一个上三角形矩阵，那么存在正交矩阵Q ,使Q AQ = Q T AQ =(1)1式两边取逆，那么4 n JT nTQ A Q Q A Q 1式两边取转置，那么QT ATQ 二由2式Q AQ =QTAQ 二设；1，；2,，；n是V的一组标准正交基.、.(:.i , ：2 ,，:n )=(：1 ,：2 ，

25、 ' n ) A,因为:是正交变换,那么A是正交矩阵ei2,，en = ；1，；2， , ；nQ，那么ei , ,en是V的一组标准正交基1二(ei,e2,en)二代，,en)Q AQ =(&(2, ,en)于是有二q二畫一厲=1,2, ,n,令« =Lq ,i =1厂，n.那么 V二Vi二V2三三Vn,ViV2,Vn是两两正交的一维不子銮间3由3式% 、A=Q S. QT显然A是对称阵.7. 大连理工，2005设V是一个n维欧氏空间，:,一,:是V的一个标准正交基，匚是V的一个线性变换，A=ajnn是二关于这个基的矩阵 证明aji =二冷，： j,i, j =1,2

26、，n.,表 示内积.证明 二1 ,2，n=冷，2，nAC i，j)n(""j)吃看"j)8jiC jj"aji.8. 北京理工,2005设A是一个3阶正交矩阵 ，且 IA-1.1证明：=1必为A的特征值；2证明:存在正交矩阵Q ,使*100 'QT AQ = 0 cos 日 sin 日.0 -sinT cos6证明(1) |e _A =(1)3|a_e| =-a_e| =-|at _耳.另一方面，E _A = AAT _A =|A |at _e| =|aT _E.两式相加，有E _A =0.即 =1是A的特征值.2令1As 且 a 1 =1,将a

27、 1扩充成3维欧氏空间R3的一个标准正交基，色卫齐那么A: 1, ： 2, ： 3=：1, ： 2, ： 3令Q =冷,、s，用3，那么Q是正交矩阵，那么3 x y ) C = 0 a bI0 cd 丿也是正交矩阵，于是x = y =0,且a, b, c, d满足a2 +c2 =1b2 +d2 =1ab cd =0.于是存在角:-,使a = cos 篇,c = sin 二.由 cos(二)=cos,sin(二)-sin，因此不妨令a =cos.二,c =si n.z 同理,存在角一：,使b =cosA,d =sin :. 那么 cos I 'cos:：£ 亠sin I 

28、9;sin : =0.即cos(-:;J =0.于是 ：=:(2k1).2cos:二 cos：(2k 1匸sin，当k为偶数;sin ：，当k为奇数.sin - -sin:Jt(2k 1)-二cos 一：?当k为偶数； -cos二,当k为奇数.因此1 0 0，Z1 0 0C =0 cosa -sin a或0 cosa sin a0 sin a cos。丿0 sina cosa丿由A =1,那么C =1.于是前者成立，令-2那么q o o'C = O cos日 sin 日.E -sin 日 cos©由(1)式,存在正交矩阵Q,使 fl00 'QT AQ = 0 cos0

29、 sin Q卩一sin日cos日丿9. (北京交通大学,2002)设匚是n维欧氏空间V的正交变换 是匚不变子空间.,证明W的正 交补W乜是曲勺不变子空间.证 明(W),由 是正交变换，那么 (；)W , W存在W,使-;(),那么(；(:)，：)=(；(:),；( -1) =(:，:J =0,即；(：JWW,所以W -也是二的不变子空间.10. (北京交通大学,2004)设；是欧氏空间V的线性变换,.是同一空间V的一个变换，且对 -，xv,有(；d)=(：, C).证明：(1) 是V的线性变换；(2) ；的核等于.的值域的正交补.证明-，"有(:,.( ) =(；(:)， )=(；(

30、:)，)(；(:)，)=(：，)(，()= (：，()()于是，卅WV(：，( ) -() ( ) =0.令-C - )-( ( )(),那么( )()(),( )()()=0.因此 C )()().仿上方法容易证明.(k )二k .).因此 是V的线性变换.(2)'、； ：= ker；,那么二()=0.一：(V).那么存在：；-V,使:=(：).(,：)=(,()=(二()，：)=(0,： ) =0,于是 (V)-从而 ker；(V)-.反之，(V)(V),有(，)=0.令=(；),那么(，(；)=&(),；()=0.于是二(0/ ker；,从而.(V)- ker因此ker；

31、- . (V).11. (北京交通大学，2005)设是n维欧氏空间V中的非零向量,定义变换如下A(x) = x 亠 k(x,、£)芒(一xV)(1) 证明A是线性变换;设：在V的一组标准正交基；1,；2,，；n下的坐标为(aa?,an)T ,求A在这组基下的矩阵证明A是对称变换; 2(4)证明A是正交变换的充分必要 条件是k二.(0(,0(,)证明 A(x y) =(x y) k(x - ys):=x k(x,、f)很 亠 y k(y,、R:= A(x) A(y).八三 R, A( x) = x k( x,義= (x k(x, _：?=1；A(x).因此A是线性变换。(2):- =a

32、1- a? ；2 ：an m=(d- ) d ( ；2,) ；2 宀(；n,；n于是 (* ,鳥)=ai ,i =1,2, n.A( ；J =；1k(ka1(a1a2 ；2 亠亠an ；n)=(1 kaj) t - ka1a2 ；2 亠"ka1an ；n.A( ；2)=；：2k(；2,：)： -；2ka2(ai；i*2；2亠 亠an；n)2=ka2ai ；i (1 ka2)；2"ka2an ；nA( ；n)八n k( ；n,：)_ ;n - ka.a? ；2an ；n)2二 kanai ；i kana2 ；2(1 kan) ；n.所以,A在基；仆；2 ,，；n下的矩阵为1

33、+kajka? a:kan a1ka1a21 +ka29 kana2a,ka anka2 an2：1 +kan yA 二由(1) A是V的线性变换，-x, y.二V.(A(x), y) =(x k(x, : ): , y)=(x, y)k(x, ： )(： , y)(x,A(y) =(x, y k(y,:):)= (x, y) k(y, : )(x,:).是(A(x), y) =(x, A(y).所以A是对称变换. k =0时，A显然是正交变换.(A(x),A(x) 二(x k(x, ：) , x k(x,：)2 2 2 2= (x,x) k(x,:) k(x,: ) k (x,: ) (:

34、,: )=(x,x)2k(x,：)2 k2(x, ： )2(：,：)A是正交变换=(A(x)，入(x) =(x, x)2 2k 一丄(：,：),2000)设A是正交矩阵，证明：2(x, ： ) k(x, ： ) (： , ： ) =012. (北京工业大学(1) A的行列式等于1或-1; A的特征值的模等于1;如果是A的一个特征值，值那么也是A的一个特征值；(4) A的伴随矩阵也是正交矩阵；如果A的行列式等于-1,那么-1是A的一个特征值；证明(1) ata = e,那么 ata设B是正交矩阵且 A= B,那么A+B=0.=E| =1,=1, A e R,于是 A=1 或1.(2) 令 M=h

35、a,aM0,那么 a H ah = ¥心 H ,于是 口 H a H a HH«1 HH ，因此(二)=0,而二 h：£a0,因此-1.九E A =1九(E _ A)=需E _丄An=扎ATA丄 A=%n A. ATE =(丸广 A.E-A/u/u1如果 hE A = 0,而(&)n| A 式 0,那么一E A = 0。/u*dt(4) AA 二 AE，那么 A 二 AA 二 AA .(A*)T = A A,因此A*(A*)T = A2AA 二 E.所以A*也是正交矩阵.(5) 卜E A = -AA-A=A：-A-E=-E-A,因此，E A =0即卩1是A

36、的一个特征值.(6) A +B| =|A，E +AB.= A，BTB +AB = A，BT +AT| B' = A + B.因此 A B =0.13. (大连理工,2004)设V是4隹欧氏空间匸是V的一个正交变换，假设二没有实特征值，求证V可分解为两个正 交的二维二不变子空间的直和.证明 设；g冷J =(a - bi)(爲-i '-).其中a,b R, b = 0/ ,-的坐标为实数，那么 二(_：J=a:-b：(1)；(：)= a,：亠b:(2)假设：-,-线性相关，不妨令- - k> ,二()=a- kb -(a-kb)：，二有实特征值，矛盾. 因此,:线性无关，令=

37、L()，由(1),(2), W1是匚的不变子空间，又V=W二WT.由 第9题的结果，0也是二的不变子空间，显然dim W1二dimWr =2.14. (北京大学，1996)用Rx4表示实数域R上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得空间，其上的内积为(f,g)= 0f (x)g(x)dx设W是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求W-以及它的一个基解-f(x)三 Rx4.令f(x) =a3xa2x a1 x a0,那么f(x)W：= (f(x),c) =0,cWcf (x) =0J(x) =04 a3 -3 a2 2 ai a。=0关于ag,a2,ai,a°的齐次线性方程

38、组的根底解系为(4,0,0,-1), (0,3,0,-1), (0,0,2,-1).因此,W = f (x) Rx44x3 - 1,3x2 - 1,2x -1 是W 闿勺一个基.15. 北京大学,1997设匚是n维欧氏空间V内的一个线性变换，满足", =-：,；：，-】，71假设是二的特征值 证明怎-0 ;证明V内存在一组标准正交基，使匚2在此组基下的矩阵为对角矩阵3设二在V的某组基下的矩阵为 A，证明:把A看作复数域C上的n级方阵，其特征值必为零或纯虚数于是证明1设；： - t ,; =0,二 R.；:，：=出,:=,：(1)另一方面；:，：= :,；:= ,：由1,2两式2 (_

39、：:, 一:。= 0且=0,所以=0.令；1, 2,，；n是V的一个标准正交基，二在这组基下的矩阵为 A, A=ajn n,那么aji=二；i，；j=a1i；1aji；jani；n，；j aj - ；i,二；j = ；i,a1jaijanj ；n由 O j 一 ；i，；j,那么aj -3ji，i, j =1,川,n.所以A是反对称矩阵,A'：A.2 2 2 _ 2A -A =A二A .所以；由 r m _0,那么 AA0.假定 s n由 R(A)乞 n,那么 R(AA)R(A)乞 n：s, AA =0，矛盾，所以 s _ n. 令1, '2,，s为AA的特征值.由AA是s阶半正

40、定矩阵，那么i _0,i =1,，s.而AA' 0,那么 1,，2, , s =AA 0,于是'i 0,i =1, , n.16. (北京大学,2001)在实数域上的n维列向量空间 Rn中,定义内积为 Or-,从而Rn成为欧几里得空间.(1)设实数域上的矩阵在基彳，；2,，；n下的矩阵A是实对称矩阵因此，V内存在一组标准正交基,使广2 在此组基下的矩阵为对角矩阵。(3)：_ ( 1 , ?，2 , ? n )二(冷，-2 , ，? n ) A.令 A 二：'*, -0.那么(A )H =(H, H AH = H 人丁 =：H AH.最后一个等式两边右乘-；,由A =，,

41、于是C.亠；.)H=o,且=o,那么 -0.所以是0或纯虚数15.(北京大学,2000)设实数域上的sx n矩阵A的元素只有0和1,并且A的每一行元素的 和是常数r, A的每两个行向量的内积为常数m,其中m：r.(1)求 AA(2) 证明 s n ;(3) 证明AA 的特征值全为正实数设A=(aj )s知,由 aij =0或1,令A= (ai1,土 j, A/A= r,i, j=1,，s. 于.曰是AAAA；IIIAXrmIIImA?"a2a2IIIA2A；mrIIIm川IIIIIIIIIinAsAAsA2IIIAsA；mm111rAA =Ai Aj =m _0,iai2,，am),

42、i =1,，s 那 么$1_35-2A= 2 13 1-1-794、J求齐次线性方程组 AX =0的解空间的一个正交基(2)设A是实数域 R上的s n矩阵，以W表示齐次线性方程组AX =0的解空间，用U表示A 的列空间(即A 的列向量组生成的子空间)证明:U =W-.解(1)对系数矩阵A施行行初等变换-35 -2、1-35-2、10451、q0451、5A =-21-3 1 It0-573 |t-5-3T01735I-1_79 -4丿e-1014_6丿000000kJJ4.1X1X3X4J5573X2X3X4i 55根底解系为-4y(1、7-3% =50<0丿<5丿将冷，2正交化，

43、令= :j ：2 二：'2C'2, -1:nnj 118-21925、90丿那么J是W的一个正交基% 'A= A2 ,那么 A" = A；, A；,，A：lAs丿设R(A)二n-r，r，r是齐次线性方程组 AX =0的一个根底解系，那么W 二L(：仆：2,，:，且 dimW 二rA： j =0, j =1,2, rj A =j A1 , A?, As = -：i j A，-：j A2 ,，二j As = 0, j h , r.U 二 LA；,A2，,As.那么 U 二 W,又 dimW 二 n _ r =dim U ,所以 U =W-.17. (武汉大学，19

44、95)设A是n阶正交矩阵,虚复数.是A的特征根,Z是属于，的特征 向量,令 Z =X iY,其中X,丫为实向量,证明：(1) 的模等于1；(2) X与丫的长相等且X与 丫正交.证明(1)见第12题(2).(2)令 A(X iY)=(a bi)(X iY),X=O或Y = 0,由(1),a2 b2=1,a,b R,b = O于是AX =aX -bY(1)AY =bX aY(2)由A是正交矩阵，两边左乘A；有X =aA X -bA Y(3)Y =bAX aA Y(4)a (3) b (4),有aX bY =(a2 b2)AX 二 AX转置,aX bY = X A(5)由式aXX bYX =XAX

45、=X (aX bY) =aXX -bX Y因此2bX Y =0,且b =0.那么 X Y = 0.(5)式两边右乘Y,再由(2)aX Y +bY Y = X Ay = X (bX +aY) = bX X +aX Y于是bYY =bX X.而b = 0因此 YY =XX.18. (武汉大学,2003)设f是n维欧氏空间V的对称变换(即f是V的线性变换，且对 任意：V , (f ), ：) = (，f (:),证明：f的像子空间Im f是f的核子空间ker f的正交补子空间.证明 由正交补的唯一性，只要证明 kerf =(lmf)-.-ker f, f ( ) =0, . ：；一 Im f,存在卩

46、:=V,使f (I')=:-那么(,：)=(,() =(f(), 1)=(0, 1)=0.于是 -；：=(I mf -)从而 ker (flm反之，.I 三(Im f) -, - : Im f,(，二)=0.取=f(f(),那么(，f(f( ) =(f( )，f( ) =0.因此 f( ) =0,即匚kerf,从而(Imf) ker f所以kerf =(lm f)_,从而 Im f =(kerf)-.19. 武汉大学，2005在欧氏空间R3中,F：=a,b,c为一单位向量，线性变换匚定义为；：-:- 2,，.工三 R31证明匚是R3的一个正交变换;求二关于R3的基q =1,0,0忌=0

47、,1,0,包=0,0,1的矩阵A.证明1由是单位向量，那么，J=1.匚是R3的线性变换，；:，；:=: -2，： -2，=：,：-4： , 24： , 2,=二，二因此c是正交变换.2ce-| =e-| -2q, =1 - 2a2 e-| - 2abe2 - 2ace3二e2 =e22e2,= -2abe11-2b2e22b ce匚氏=e3 -2e3, = -2a ce-2b ce 1 -2c2e3所以；咲于基e1,e2,e3的矩阵/ 2 、1 2a2 ab 2ac2A= -2ab 1 -2b-2bc-2ac -2bc 1 2c220.武汉大学，1996证明n维欧氏空间中至多有n 1个向量，其

48、两两之间的夹角都大于900.证明 对n用数学归纳法证明当n =1时,设有3个向量r，其两两之间的夹角都大 于90 ,令V = L ；J,且|讣=1,那么>1 二印；1,2 二 ；1,3 二 a3；1,、冷，、=玄1玄2 ： 0,'冷，'S=玄1玄3 ： 0,圧2，'S =玄2玄3 ： 0心1, a?,玄3两两异号是不可能的. 因此当n =1时结论成立.假定n =k -1时结论成立，当dim V =k,假设V中有k - 2个两两夹角都大于90°的向?1 ,，-;k , -k 1 , -k 2.令；1：'1将j扩充成V的一个标准正交基i =2, k

49、2.:-i 二玄订；i - ai2 ；2 _aik ；k由(oti ,cti) =gi aii <0,那么aii c°,i =2,，k + 2.$ 71 ；iL( ；2, ；Q, i =2, k 2.(_：ii aii i，二j aji ；i) = (_：，二j) aa ji ： 0,i = j, i, j = 2,，k 2.于是L；2川I, ；k中有k 1个两两夹角都大于90的向量,矛盾所以结论成立.21.武汉大学,19960 b -cA = b 0 ac a 0为实矩阵，令=A2 qA E,q =a2 b2 c2 , E为单位矩阵，问:当且仅当q为何值时，B是正交矩阵？解

50、B B =A2 -qA EA2 qA E二A 2A2 E -q2A2B是正交矩阵 =BB =E= A4 =(q2 -2)A2=九3 +(a2 +b2 +c2)h=(&2 +q)那么 A4=(q2-2)A2= q2a2- $),r =0, .；2 = ., qi,几3二-.qi是A的特征值，那么存在可逆矩阵T,使1T AT =0Jqi_、 丿fo、2q,T，(q2 22 _2)A2T =2q(2 -q )2<q丿<q(2-q2)当q =0,那么B是正交矩阵.2 2 2 2 2当q =0, q =2q ,q q2 =0,那么(q 2)(q1) = 0,于是q = -2,q =1,由q = a b c , 那么q _0,因此q =1所以当q =0,1时B是正交矩阵.22. 四川大学,1996 S为n维欧氏空间V的非平凡子空间，飞三V,匕2 :,S, S,给定'tJ-M,证明是V的线性、对称、幕等变换.证明 V = S二S,那么给定的是V的一个变换,丫 二，： V ,= r V 2 , ： = r ：2,-卯，-r