永磁式电机齿槽定位力矩分析

1、永磁式电机齿槽定位力矩分析杜军红沈建新陈永校【摘要】提出了区域函数和单极性边缘函数两个新概念，利用这两个函数定量分析了永磁式电机齿槽定位力矩，并提出了削弱齿槽效应的新方法，为永磁式电机的设计提供了理论依据。【关键词】永磁式电机齿槽定位力矩CoggingTorqueAnalysisofPermanentMagnetMotorsDuJunhongShenJianxinChenYongxiao(ZhejiangUniversity,Hangzhou310027)【Abstract】Twonewconceptsofregionfunctionandsinglepolarityedgefunctiona

2、representedtocalculatecoggingtorqueofpermanentmagnetmotor.Novelapproachestominimizingthecoggingtorquearepresented.Thepaperimprovesthetheoreticalfoundationforthedesignofpermanentmagnetmotor.【Keywords】permanentmagnetmotorcoggingtorque1 引言齿槽定位力矩是永磁式电机的固有现象，文献1，2等提出了该力矩的经验计算公式和评价因子。但对于非重叠绕组结构的永磁式电机和磁钢不均

3、匀排列时，此公式和评价因子不适于定量地评价齿槽定位力矩。所谓非重叠绕组，即定子绕组跨距为一个齿距、每极每相槽数q=0.5,各个线圈之间在空间上就不存在重叠区域。本文对非重叠绕组结构及磁钢不均匀排列情况下的齿槽定位力矩作了定量分析，并提出了削弱齿槽效应的新方法。2 永磁式电机的拓扑结构与基本关系式以方波型永磁无刷直流电动机为模型。图1所示为一对极下的转子拓扑结构图，转子采用表面粘贴式磁钢结构。其中ap为磁钢极弧系数，且0<ap<1,磁钢排列的不均匀程度用排列系数K描述，0&1图1转子结构图设磁钢外径为DOmm,内彳全为Dm,把从直径Dm到Dm的整个环形区域定义为泛磁钢区。一对

4、极下的泛磁钢区由四个区域组成，即：N极面向气隙的磁钢部位，称作N区；S极面向气隙的磁钢部位，称作S区；两个空隙区，称作0区。定义沿半径背离转子中心而指向气隙的方向为磁场正方向及磁势降落的正方向。定义区域函数Aa）为：N区Aa）=1；S区Aa）=-1；0区Aa）=0。区域函数Aa）在性质上是一个符号函数，可用下述分段函数表示一对极下的情况：K,(l(2设定子齿距为yt-t,槽口宽为y。，定义槽口系数R=yJyt-t。假定磁钢的去磁曲线为直线，且磁导率近似为00每极每相的电流按其所能产生的安匝数分别等效为I。、I。和1机，则电机定、转子拓扑结构图如图2所示。其中转子q轴和定子a轴的夹角为8电弧度。

5、定义安培环路定律的闭合积分回路(Loop:ab)如图2中虚线所示。该回路不穿过定子槽，在定、转子腕中的路径是任意的，并穿过相邻两个齿(a相齿和b相齿)各一次，穿过磁钢和气隙时，要求沿半径方向。在a相齿下穿过磁钢与气隙的路径同a轴的夹角为8a电弧度，忽略聚磁效应时，8a电弧度处的磁钢径向磁密和气隙径向磁密均为Ba(9a)0同理，在b相齿下的8b电弧度位置和c相齿的9c电弧度位置的径向磁密分别Bb(9b)和Bc(9c)图2电机定、转子拓扑结构a相齿下泛磁钢区中的径向磁密Ba(8a)、磁场强度Hm(9a)和磁势降落Fma(9a)有：(2)a相齿下气隙中的径向磁密Ba(8a)、磁场强度Ha(8a)和磁

6、势降落Fga(8a)有：凡.(%)=普2./对于b相齿和c相齿下的泛磁钢区和气隙，也存在与式和式(3)类似的关系式。考察图2所示的Loop:a-b闭合积分回路，根据安培环路定律，并设8a=8b=8c=8,可导出：况(0)=瓦-仇-儿也十+ Lg,十L|tur.L乩(。)昆+彳一二-r 1其中:%r-(1*tT*(1Kg)"S33齿槽定位力矩计算dr机械弧度，对应d8电设电机的机械角速度为，在dt时间内转子转过弧度。用能量法计算输出机械转矩Tm,可表示为：Tgd比四d(6)式(6)右端第一项表示转子转过dr机械弧度时电源注入了一定的电磁能量dEe从而产生的有效电磁转矩。第二项表示转子转

7、过dr机械弧度时电机储能变化了dE从而引起的转矩，它是由齿槽结构引起的。对于永磁式电机，这种齿槽效应即使在没有电枢电流时也依然存在，其对应的齿槽定位力矩为：一 a )式中的电机储能Es主要是齿下的泛磁钢区和气隙中所储的能量。图3是空气和磁钢的储能密度示意图。第k相齿下气隙中的储能密度可以表示为：(b)磁钢代=2/v2(a)空气图3储能密度示意图(8)则一个齿下的气隙储能为:式中：La为铁心长度，Lg为气隙长度，R为气隙的平均半径。图3b中，磁钢中工作点(Bp,Hp)处的储能密度W为(磁钢的相对磁导率近似取为1):W =pHdB =生一氏)*2%代2弋=骂我内=?产2(10)令在第k相齿下离该相

8、轴线8位置的磁通密度为Bo),泛磁钢区的磁场强度为曰k(9),则由式(2)得：IFjAhtgBf门仙办一Mu(11)由式(10)和(11)可得一个齿下的泛磁钢区储能为:/>(12)式中：Ll磁钢厚度；联泛磁钢区的平均半径。忽略聚磁效应，近似认为R=8Rv,则得一个齿下总的储能为:百k=苣炉+E岫=27工*1日,人小曾民了)d"(13)根据式(4)和式(13)可得电机总的储能为:2(+ 上二L二:严阳冏(14)所以齿槽定位力矩可表示为:T d£ _ 晨尺“心附 ，=眄=2(小儿认其中:d& t 士女广ti耳21/ + 分(15)员叫=副匚二|八°/皿(

9、16)&(er)称作单极性边缘函数，表示在第k相的一个齿下所具有的磁钢边缘数目。该函数只与“磁钢边缘是前沿还是后沿”有关，而与“磁钢属N区还是S区”无关，即与磁钢极性无关。第k相的单极性边缘函数用下式计算更为简便与直观：Ek(er)=(第k相一个齿下)N区前沿数目+S区前沿数目-N区后沿数目-S区后沿数目(17)可见，Ek(er)也是一个分段函数，通常有-1,0,1三种取值。Esk(er)既是关于转子位置8的函数，也跟磁钢极弧系数ap、磁钢排列系数(以及槽口系数K有关。式(15)、(16)和(17)的分析是基于非重叠绕组结构的。但是，由于齿槽定位力矩仅与转子的结构尺寸、定子齿槽的结构尺

10、寸有关，而与“绕组如何放置在槽中”、“各相绕组中馈入多少电流”等因素无关，因此，对于采用重叠绕组结构(例如q=1,2)的电机的齿槽定位力矩分析，与上述三式是类似的。为了使本文的分析结果更具普遍性，同时也为了对非重叠绕组和重叠绕组进行比较，可以将式(15)修正为如下的通用表达式：,户葭甩出;其/；j'_,匕J2(六+十*111(18)电机在一对极距内共有(Np=zs/p)个齿，分别表示为第1,2,k,Np号齿。第k号齿的单极性边缘函数鼻k(er)须用式(17)计算。令:琛2,击+/)(19)则式(18)可简化为兀=.，4,。显然，La与Rv越大即电机尺寸越大，Br或Lm越大即磁钢磁性能越

11、强或越厚，均使得气隙与泛磁钢区的储能越多，齿槽定位力矩Tc的幅值势必越大。极限情况下，Br=0或Lm=0时不存在磁钢作用，也就不存在齿槽定位力矩。4齿槽定位力矩分析4.1齿槽定位力矩的波长与周期齿槽定位力矩Tc是一个正负交变的周期函数。假定齿数zs和极数2P的最小公倍数是则Tc的波长用齿距表示时为:新（齿距3M=I,或K.R1工、lil且每时板下有偶数个齿怒(齿距且饵对极下有奇数个芮所以Tc的波长用机械弧度表示时为:尊=1或3#1工”H1且库对报下有偶数个齿手1且每对极下有奇数个齿(21)假定电机转子旋华一周所需时间(周期)为Trotor,则Tc的交变周期为：看,=1,或K壬1且T每对极下有偶

12、数个齿27关工I旦m每对极下有奇数个齿(23)对于非重叠绕组（q=0.5）和重叠绕组（q=1,2）,存在下表所示的结果不同绕组结构三相电机的齿槽定位力矩波长与周期表q2pzsNm入r(rad)Ttc(s)0.52p3P6P(兀/3p)or(2兀/3p)(Trotor/6p)or(Trotor/3p)12p6P6P(兀/3p)(Trotor/6p)22p12p12p(兀/6p)(Trotor/12p)4.2极对数p的影响回一由Tc引起的转速脉动分量为HI,其中J是转动惯量。CDc的峰峰值可通过对Tc的正半周积分求得，积分时间应为Ttc/20由于Tc的幅值正比于p而积分时间反比于p,所以c的峰峰值

13、与p无关但交变频率正比于p04.3ap与Ka的最佳配合由单极性边缘函数的定义和式（19）可知，如果一对极下两个0区的跨距都是齿距的整数倍，那么任何一个0区的两个边缘（包括一个磁钢的前沿和另一个磁钢的后沿）必定同时位于齿下或槽口下，因而fTc（8r）=0。或者，如果磁钢的跨距为齿距的整数倍，显而易见fTc（Or）-0o由于一个齿距对应冗/3q电弧度，所以，磁钢极弧系数与磁钢排列系数K“的最佳配合是：(2启士)(1一即)=-k.二，M=0,1,，3打如果题r1任意值.如果4=1或者:(23)%=IQ1的短=任意值I(24)在匕e0,1,apC0,1的范围内，对于某个q值，凡是满足式(23)或者式(

14、24)的匕与ap,就是使Tc=0的最佳配合。计算表明：当匕=1即磁钢均匀对称排列时，要保证Tc=0的最佳ap的可供选择数目较少。但是，当磁钢排列不均匀时，如果选择适当的排列系数匕，可以使保证Tc=0的最佳ap的可供选择数目增加很多。因此，合理选择磁钢极弧系数合理排列磁钢，是降低齿槽定位力矩的非常有效的途径。4.4 zs的影响由式(19)可知，fTc(8r)在数值上等于每对极下各个齿的单极性边缘函数之和，所以fTc(8r)必然随齿数Zs而变化。但是，由于每对极下总共只有四个磁钢边缘，所以fTc(Or)并不正比于Zs。4.5 Tc的正半周平均值根据前面的分析，由Tc引起的转速波动CDc的峰峰值正比

15、于Tc的正半周平均值Tcav,因此，用Tcav比Tc的幅值或均方根值更加能够直观地表征Tc的物理作用。图4a、b分别是当ap=0.75时，q=0.5的非重叠绕组结构电机的Tcav和q=1的重叠绕组结构电机的Tcav随匕和ko的变化规律。(a)非重叠绕组(q=0.5)(b)重叠绕组(q=1)图4齿槽定位力矩正半周平均值随磁钢排列系数和槽口系数的变化规律图4表明：ko越小则Tcav越小，因此在设计电机时应在满足生产工艺的前提下尽可能减小槽口宽：每极每相槽数q越小，在相同电机直径下齿距就越大，那么对应相同槽口宽度的槽口系数ko就越小，Tacv也越小；在相同ap、k“和ko下，通常重叠绕组结构电机的T

16、cav小于重叠绕组结构电机的Tcav,但二者之间并不存在确定的比例关系；而文献1,2简单地认为q=1结构Tcav是q=0.5结构Tcav的2倍。以上分析说明，采用非重叠绕组结构可有效地减小齿槽定位力矩。5结论本文提出了区域函数和单极性边缘函数这两个新的概念。用单极性边缘函数定量描述齿槽定位力矩的方法对非重叠绕组和重叠绕组这两种结构是通用的。提出了削弱齿槽定位力矩的新方法。由于非重叠绕组结构的方波型永磁无刷直流电动机一般是扁平形的，不易采用斜槽或斜极的方法来削弱齿槽效应，所以本文提出的优化磁钢极弧系数和排列系数的方法是一种很理想而实用的新型设计方法。作者单位：浙江大学杭州310027参考文献1 ZhuZ.Q.TheelectromagneticperformanceofbrushlesspermanentmagnetDCmotors-withparticularreferencetonoisea