求函数极限方法和技巧汇总

1、求函数极限方法和技巧汇总26种技巧】一，求函数极限的方法K运用极限的定义例：用极限定义证明;证；由X1 3x T-2Vo取5=则当0上-25时，就有x3M+2由函数极限一gJC-g时也同样成立x+工+a例：求lim1x+414中工+占+中白0hm=-1H+T+tY九约去零因式（此法适用于H/时4型）aA+x3-16x-20如r求hm：2x+7jT+16k+12日(aj-Sx2-I0x)+(2j2-6a-20)解:原土品正扁石FE(x+2)Cv2-3x-IO)hm：j*(工+2)(14-5x+6)=lim071)=lim%”)t-T(九上+5x+6)工+rM-v+r)lim工一=_v犯U通分法(

2、适用于B-g里)t例：求hmt-7-;)上一_rTr.*一。十月解:原心理再布一Um (1)1 L + k)(t -x)limTtY+工6.利用无方小量性质法(罚别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无疗小量的性质设函数北)、&M满足工(Tlim/(x)=*)|现为止整数)则，师g/=。,.1例：求limxsLnfx解：由limx = 0 丁 Ttl故原式叱N叫二limi-=0fix)(TT)若：lim/Cv) = OIL f(x)芋口 则 lim- = 例：求下列极限Ilim】imkt-一r十口itix-i解；巾！则，+$)=8故由吧产T)=故1.等价无穷小代换法设a。/都是同一极限过程中的无穷

3、小量.且有.aa-a,p-plim-存在.va.aa则hm也存在，住rfhm彳二hm.hcel1-COSJl例：求极限hm-rijf，sinjt解：sinxT-jf-cos.v1*-COSJC1hm-二=2_1IXSinx_rxx2注在利用等价无方小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、色出现时.不要轻易代他囚为此时经过代换下，注在改变它的无穷小量之比的“阶数即8、利用两个币要的极限二(J)lim=1(B)lim(l+)A-vfTfl工f1但我们约招使用的是它们的变形：(/)limL!2=ls(k)tO)做M宙)HmQ+刎力=(修a)TB)P(y)例：求下列函数极限lT+，一hi

4、costrx(zhlimi“ncusbK解：)例：求下列函数极限.一1111COStJXJm-土fxIneosfev5八、丁，.aInf14-z/)_nT-Inn解：()令一二/则a=-于是=Inoxln(+w).由她土卫=3i+X令朝T=(1+x),故市:ln(l+x),-,-Urn=limln(l+x)=ln(lim(l+Tv)1)=Ine=1tt。v10%变量替换法f适用于分子%分科的根指数不相同的极限类型）特别地有工k,1为正整数.例：求下列函数极限IIiIT1尸(阳、nEN)解：。熟U毛则当XT，时FTl,于是原式=1丽(1，)(1+r+/+*J*+f*1)=Inn；(1-0(1+，

5、+1+/)Z”、T由于阳严二!酬+不2x I令：丁二则 AT + 1 =- + F.2工则+B广区+产1lim(l+r)flim(l+/)?=tK利用函数极限的存在制定理定理：设在工的某空心邻域内恒有葛Wh(x)且有:Hing(x)=limh(x)=AIT%则极限电”存在，(I有wlimf(x=A例：求lim(aLn0)解：当X时,存在唯一的正整数k,使kWxEk+】于是当n0时有:乂函当*-+时d-+有12 .用左右极限与极限关系（适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形3定理：函数极限!T八幻存在且等于a的充分必要条件是左极l；Uf（x）及右极.1J.J.|限，”/（巧都存在

6、都等于上即彳。lim不)=Aobm/(a)=bm/(a)=aKTX,TTJt,TIT：1n求处/（力及曾/&）解：/（lim=lim。-“t）二JTT#一工Tlimf(x)=lim(-)=lim(4-1)二一1丫一/jrr，q/yxr+山lim/(x)=lim/(jc)=-HThTT/JimJx)-K又lim/(x)=Umx=二KmC/x-)=XflNKA_*limf(x)=limx-1*rTftfo-)*/(+*)alim/(k)不存在13 .罗比塔法则(适用丁未定式极限)定理若(/)lim/(a)=0,hm=0()/与g在x曲某空心邻域火飞讷可导.fig(x)=0(布=/可为实数*也可为g

7、或g),则gMr0,x0)Iln(l+aj)1”工解：令6)=-Qig(x)=1nl+A-2)=产g(x)=7T*+j/=/+C+如3=X。+工).U山于/卜)=/(0=%g(9=g，(*)t=*但，=rgr)二t从而运用罗比塔法则两次后得到bT(1+24)/J8(1+2工泮,d+n+2幻-为2Ilim：=Inn=hm：=II*ln(+jv2)e2$t2(1-x1)2NV(1+x2)2由limlnx=Jimxi,=故此例属于二型,由罗比塔法则有,rf*口*mjOQInXxlim=lim-=lim=h*,a,)廿二_L_3一,一一_口”1事x20工工fax利用泰勒公式对于求臬些不定式的帔限来说，

8、应用泰勒公式比使用岁比塔法则更为方便*下列为常用的展开式；I、jc1jcdIf*rra1（xe=1+AHFH+（X）2!也VI*4、lnp+x）=x-+TflW.图07）二（7一）（Of讨+、）0一5、C+K）=+CtV+XT+心）丫！h6、=I+x+x“+x+u（x）-x上述展升式中的符4。3）都彳1;例:求lim而可一巫五aX解:利用泰勒公式，当戈一有-r-B.TJt+2jc-Ji+_v1- .iClimIIJU*1+。（工）午j-工+”幻=liin-=limH15、利用利格朗日中值定理定理元函数f满足加下条件:(I)f在闭区间上逑续(IT)f在gJ)内可导则在3.匕)内至少存在点5，使得

9、/加第2%ba此式变形可为：“不一/2)二八口+仇分.助卜日、)b-a一日例：求lim；x-sinx解：令二/对它脓用中值定曲钿-e1=/(A)-/(sinx)=(x-sina)/(sinx+fl(A-sin.r)(*(a0 工0也=0)当;VT 8时，有口.b.r. P(x) r 口口+区4”十十 hm = lim = *m Q(工)ate h,x + b,x +瓦GO用=m n）当XT,时有:若。（与）=0则若0G）=U而P（：）孑*1 .P(x) 则山“二一 r 0( x)若03J=,P（xJ=,则分别考虑若小为尸（刈=,的s重根，U|l:产（#=（x-x.YP,（X）也为0（）二+的r

10、市根，即:Q（x）=（x-x.yQ,（x）可得结论如卜;.纳二.七口23IX,。 f .06)P(*) s =。值)8 .S )LAP(.v)=xr-r.t+Y*;.P(1)二*/。(X)=jt一-e+*.QO)=7，现SU)必含有x-T之因子,即有1的重根故有:-ix + rlim C U + + r)盟)无理式的情况上显然无理式情况不同于方理式.但求极限法正全类同.这里就不再一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限,例；求lim(vx+4-Vx)TTrh*r2=1亚一& +Jx + & + 4二、多种方法的综合运用因此我们上述介绍了求解极限的限的方法,燃而,每一道题目并:非只有一种方

11、法:在倒超/要许意各种方法的综合运用的技巧,使得计算大为简化，例:求1而11cosI，xsic,解法T:I-cosx2lim-r1n尸sin丁户2xsinxs】n#=hm；r=hm：rtT2xcosx+2xsinxr-lflxcosx+sinxxin/=lim二I2sinjt22cost+；-x注:此法采用罗比塔法则配价使用两个前要概限法,v-cosx72sin2sin1hmy-r221xsitijr=bmyl,rT1:rxsinxxsinxT丁注：此解法利用“二知和差化积法E配合使用两个歪要极限法。解法三:-cosjf1.cosxtjvsint*sinxInn；-=Inn；-=Lini=lim丫xsinxxxr+r-x.v注:此解注利川F两个用要极限注配介使用无穷小代换工以及罗比塔法则解法四:-COSAlirntixsina-1-85工X1.I=lim；-=limsin.r注:此解法利用了无分小代换法配音使用两个通塞报限的法.22sin2()x1I-cosx2i-7v2lim;r=lini；彳=hm,一,=lim4=xsinjrA_*xsinxx(x)A0x2注:此解注利用“二角利益化枳法r配合使用无穷小代换法【解法六】:一1-cosjtfTr-