河北省承德市高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明与间接证明综合法与分析法导学案新人教A版

1、9学习目标：1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法.分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异.1 .教学重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点.2 .教学难点：综合法和分析法的应用.方法：合作探究课堂随笔：一新知导学综合法证明不等式1 .定义利用和某些数学、等，经过一系列的,最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2 .综合法的特点从“已知”看“"，逐步推向“"，其逐步推理，是由导,实际上是寻找“已知”的条件.用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，

2、形式简洁，,宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理.使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“”和有效的是有效利用综合法证明数学问题的关键.3 .综合法的基本思路用表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为p?qfQTQHq?q->|q?Q其逻辑依据是三段论式演绎推理.牛刀小试11B. (a+b) a+ b >41.a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是（）2ab,D.aba+b41,111,一，2 .

3、设a>0,b>0,c>0,右a+b+c=1,则一+丁+-的取小值为abc3 .设a>b>0,求证：3a3+2b3>3a2b+2ab2.分析法证明不等式4 .分析法定义从要证明的出发，逐步寻求使它成立的条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法5 .分析法的特点分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“:执果索因，逐步靠拢“:,其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的条件.分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理6 .分析法的基本思路分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论

4、或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件.若用表示要证明的结论，则分析法的推理形式为p?RfR?P2f|P2?Rf得到一个明显成立的条件17.分析法与综合法的区别与联系(1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法.分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解,决具体的问题时，结合起来运用效果会更好.(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的条件，最后的一步归结为已被证明了的事实.因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明过程就是法.分析法便于思考，叙述较

5、繁；综合法叙述条理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清楚.所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：找思路，写过程.在实际证题中，常将待证结论作为条件和其他已知条件结合起来分析，看能够得出什么“结论”来逐步探求证题的思路，也是常用方法.牛刀小试4 .(2015天津和平区高二期末)设2=心b=巾-0c=心则a、b、c从小到大的排列顺序是.一,+/a2+b2+c2a+b+c5 .已知a、b、ceh,求证：、3>一3二.例题分析一二一，一,、11例1已知a,b是正数，且a+b=1,求证：£+6a4.2.例2已知a>0,求证:例3求证：当x&

6、gt;0时，sinxWx.例4设a+b>0,n为偶数，求证b01a01+-iab11>a+b.三.作业一、选择题1 .关于综合法和分析法的说法错误的是()A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法后记与感悟：D.分析法又叫逆推证法或执果索因法2 .”对任意角0,都有cos48sin48=cos28"的证明过程："cos48sin40=(cos20sin20)(cos-20+sin20)=cos20sin20=cos28”应用了（）A.分析法B.综合法C.综合法与分析法结合使

7、用D.间接证法3 .要证明平+$2g可选择的方法有下面几种，其中最合理的是（）A.综合法B.分析法C.特殊值法D.以上均不合理4 .欲证小，3<46只需要证（）A.（印乖）2（乖一币）2C.（6+币;<（#+ #）25. p= yfOb + /cd, q= 1m升 nc -则p、q的大小为（）A. p> qC. p>q6.已知函数 f （x） = 2x, a、be K则A、B、C的大.小关系为（）A. Aw B< CB. （72乖了（乖一中）2D.（小-水-刷<（一师 b d，Jm n（m n、a、b、c、d 均为正数），C. pWqD.不确定a+b2abA

8、=f -2- , B= f （Jab）, C=f a+ b，B. Aw （X BC. B< Cw AD.CwB<A二、填空题n的大小关系小,a+.b7 .已知a>0,b>0,m=Ig：2¥为.8 .如果aa+bVb>ab+bVa，则实数a、b应满足的条件是9 .在算式30=4*口中的,口内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对（,口）应为.三、解答题10 .已知a,b,cCh,且a+b+c=1,求证：（11）（J1）（11）>8.abc分析这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结论特点和条件a+b+c=1的合理应用.可

9、用综合法和分析法两种方法证明.答案例1解法一：:a、b是正数且a+b=i,a+bR2 眄.叵 J ab<1, -1>4.4' ab1 1 a+ b 1 | - A 4.a b ab ab解法二：二 a、b是正数,ab”1. a+ b>2/ab> 0, a+>2 (a+ b)( a+b) >4.1 1又 a+b=1,，&+/4.解法三:1 1 a+ b a+ b a+ ba + bb a1+-+-+1>2+ 2 a bb ad4.当且仅当例2因为a>0,只需证(，+/+2) 2>(a+a+V2)即 a2 + % 42 1

10、9;2(1a + 2+2,a从而只需证2只需证4(a2+.)小2(a2+2+或,即a2+之2,而上述不等式显然成立，故原不等式成立.a例3解析要证x>0时，sinx<x,只需证x>0时，sinxxW0即可.设 f(x) = sinx x,则即证 x>0 时，f(x) wf(0).即证x>0时，f(x)的最大值小于或等于0.(*). f(x) = sinx x,1- f ' (x) = cosx 1, .当 x>0 时，f ' (x) <0,，f(x)在0 , +8)上单调递减.当 x>0 时，f(x)max =f(0) = 0,

11、sinx x<0 成立.，原不等式成立.bn 1an 11例4正解才+丁a1(an-bn)(an 1-bn 1)b(ab) n(an-bn)( an 1(ab)n当a>0,b>0,a+b>0时，(anbn)(an1bn1)>0,(ab)n>0,-bn1)bn1an1112.丁丁a+b.当a、b有一个为负值时，不妨设a>0,b<0,且a+b>0,.a>|b|.(ab)n>0,an>0,bn>0,an1>0,bn1<0,故anbn>0,an1-bn1>0,.(an_bn)(an1(ab)nbn1an111W+丁接a+b.由知结论成立.作业CBBCBA7n>n8.awb且a>0,b>09.(10,5)b+cab1-1)(1-1)(ab1-1)-(a+b+cca-1)(a+ca+bb+ca+ca+b10证明证法1：(综合法)abcc不等式成立.(a+b+ca+b+c-1)(-1)=abc当且仅当a-=b=c时取等号,证法2:(分析法)1要证(a1-1)(b-1)(1c-1)&