河谷文明与早期数学

1、xxxx与早期数学的成就尼罗河下游的古埃及、两河流域的古巴比伦、恒河与印度河畔的古代印度以及黄河与长江流域的古代中国并称“四大文明古国”，创造了灿烂辉煌的“河谷文明”，早期的数学就诞生在这个地方。1 .xx数学古埃及是“世界四大文明”之首，埃及文明以金字塔、古文字和纸草书为实物佐证，从公元前3500年左右到公元前332年前后绵延三千年。1.1. xx公元前2500年左右，埃及就已经建造了至今蔚为奇观的金字塔。相传埃及金字塔是古埃及法老的陵墓，陵墓基座为正方形，四面则是四个相等的三角形，侧影类似汉字的“金”字，故汉语称为金字塔。据对最大的胡夫金字塔的测算，发现它基地是正方形，各边误差不到一度。这

2、般准确的方位不是偶然定出来的，其中离不开埃及数学的应用。埃及金字塔是古代世界八大奇迹之一，也是至今最大的建筑群之一。因此，金字塔是埃及文化的象征，也是埃及数学知识的象征。1.2. xx埃及古文字共三种，分别是象形文字、僧侣文与通俗文。据史料记载，埃及象形文字产生于公元前3500年左右，约公元前2500年被简化为一种更易书写的“僧侣文”，后又发展成所谓“通俗文”。长期以来，这些神秘的文字始终是不解之谜。现存莫斯科美术博物馆和英国博物馆的两份用僧侣文写成的纸草书是我们考察古埃及数学的两份重要文物。1.3. 纸草书古埃及人在一种用纸莎草压制成的草片上书写，这些纸草书有的幸存至今。我们关于古埃及数学的

3、知识，主要就是依据了两部纸草书莱茵特纸草书和莫斯科纸草书。莱茵特纸草书最初发现于埃及底比斯古都废墟，1858年为苏格兰收藏家莱茵特发现，因名。该纸草书现存伦敦大英博物馆。莫斯科纸草书又叫格列尼切夫纸草书，1893年由俄国贵族格列尼切夫在埃及购得，现藏莫斯科普希金精细艺术博物馆。据研究，这部纸草书是出自第十二王朝一位佚名作者的手笔，也是用僧侣文写成。这两部纸草书中讲述了埃及的乘法和除法、单位分数的用法、试位法、求圆面积和一些数学应用方面的问题，是两部实用的数学问题集。莱茵德纸草书分由85个问题组成；莫斯科纸草书包含了25个问题。这两部纸草书无疑是古埃及最重要的传世数学文献。1.4. xx数学成果

4、古埃及在算术与几何方面都取得了一定的成功。1.4.1 算术方面记数符号、单位分数、倍乘法、十进非位制都是古埃及数学在算术方面的重要成果。古埃及的记数符号采用象形文字，用十进计数法，但不是位置值。埃及象形文字用一种特殊的记号来表示单位分数（即分子为一的分数）：在整数上方画一个长椭圆。埃及人将所有的真分数都表示成一些单位分数的和。单位分数的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。埃及人最基本的算术运算是加法，乘法运算是通过逐次加倍的程序来实现的。埃及人很早就认识到除法是乘法的逆运算，在除法运算中，加倍程序被倒过来执行，除数取代了被除数的地位而被拿来逐次加倍。他们对分数的记法和计算都比现在复杂的多

5、，这也妨碍了埃及数学的进一步发展。1.4.2 .几何方面相对于算术，古埃及的几何具有更高的成就。埃及人创建的几何以实用为特征，以求面积和体积为具体内容，这包括有计算矩形、三角形和梯形的方法。2 .xx数学美索不达米亚平原在亚洲西部，位于底格里斯河与幼发拉底河之间，即现今伊拉克一带。公元前十九世纪，这里建立了巴比伦王国，孕育了巴比伦文明。2.1. 产生原因公元前18世纪，巴比伦王国国王汉莫拉比统一两河流域，建立起中央集权的奴隶制国家。一般称公元前19世纪到前6世纪该地区文化为巴比伦文化，相应的数学为巴比伦数学，也称美索不达米亚数学。xx数学产生的原因有两个：第一个是社会因素，巴比伦王朝的统治者非

6、常关心灌溉系统的发展，并向邻国输出农产品，同时也带来了高利贷的发展；另一个因素是建立了货币制度，这使巴比伦成为西亚贸易的中心。农业和商业的发展，都促使了巴比伦数学知识的大量积累。2.2.楔形文字早在公元前3000年，苏美尔人就发明了楔形文字，现能找到的文字是由削尖的芦苇斜刻划在小泥板上的，当泥板松软时刻上去，再烘干或晒干，成为坚硬如石的泥板书，形状像楔子，所以叫楔形文字。考古学家在十九世纪上半叶于美索不达米亚挖掘出大约50万块刻有楔形文字、跨跃巴比伦历史许多时期的泥书板。其中有约300块石纯数学内容的，这些你板书记载两类数学：一是“表格课本”，它是古代的“应用数学”，如数字乘法表、倒数表、平方

7、根表和立方根表等；二是“问题课本”，亦即“理论数学”，今称数学题目。现在关于巴比伦的数学知识就源于分析这些原始文献。对这些泥板文书的研究揭示了一个远比古埃及人先进的美索不达米亚早期数学文化。2.3. xx数学主要成果古巴比伦在算术、代数、几何方面都取得一定的成果。具体来说，巴比伦数学的主要成就有60进位制记数法、数学用表、面积与体积计算、联立方程组、勾股数（已知勾股定理）。2.3.1 算术方面古巴比伦人是具有高度计算技巧的计算家，其计算程序是借助乘法表、倒数表、平方表、立方表等数表来实现的。巴比伦人书写数字的方法，更值得我们注意。其记数体系，采用60与10的混合进位制，具有位值制的观念。这种记

8、数制对小于60的整数采用简单十进累记法。对于大于60的数，以60为基数，采用六十进制的位制记法。同一个记号，根据它在数字表示中的相对位置而赋予不同的值位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，这种位值原理是美索不达米亚数学的一项突出成就。这一计数方法现在反映在人们对事件和角度的表示上。不过这种位值制是不彻底的，因为其中没有零号。这样，美索不达米亚人表示122和7202的形式是相同的，人们只能根据上、下文来消除二义性。2.3.2 .代数方面在代数方面，巴比伦人的代数知识比埃及人高超得多。他们懂得用文字表示长、宽、面积等未知量。并且，许多泥书板中载有一次和二次方程的问题，他们解二次方程的过程与今天的

9、配方法、公式法一致。此外，他们还讨论了某些三次方程和含多个未知量的线性方程组问题。2.3.3 几何方面巴比伦的几何属于实用性质的几何，多采用代数方程求解。他们知道三角形和梯形面积、棱柱和圆柱体积的求法，甚至还知道相似三角形的对应边成比例，也知道某些勾、股、弦的关系。我们现在把圆周分为360等分，也应归功于古代巴比伦人。古巴比伦的数学成就在早期文明中达到了极高的水平，但积累的知识仅仅是观察和经验的结果，还缺乏理论上的依据。3 .xx数学中华文化是一个悠远的古老文明，主要以黄河、长江流域作为华夏民族远古文明的代表。中国数学在人类文化发展的初期，处于领先地位。3.1. 算术方面中国早在五六千年前，就

10、有了数字符号。到三千年前的商朝，甲骨文的使用已经非常普遍。甲骨文作为殷商时期的文化特征，它是中华文明中最古老的有记录的文字。殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万，还有奇数、偶数、倍数等概念。总的来说，古中国的数字系统比同一时代的古巴比伦和古埃及更为先进、更为科学。算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。用算筹记数，有纵、横两种方式。它是一种十进位值记数法，筹算加减法时，按照从高位算起的原则进行计算。公

11、元13世纪，我国数学家开始用笔在纸上进行筹算。筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。3.2. 几何与其它方面在几何学方面史记夏本记中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理的特例。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有墨经中关于某些几何名词的定义和命题，例如，“圆，一中同长也”等。墨家还给出有穷和无穷的定义。庄子记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。最奇妙的一件事，莫过于法国数学家莱布尼兹所认为，中国是现代计算机理论中“二进制”的故乡。莱布尼兹对中国古籍易经有很深入的研究，他认为易经中的八卦图形，所记录的内容就是“二进制”的思想。按照他的说法，易经中的太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦无疑就是二进