复数的加减乘除-文档资料

1、1复数的四则运算2一、复习回顾：一、复习回顾：1.1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入；2.2.复数有关概念：复数有关概念：),( RbRabiaz dicbia dbcaab;0Rab;0Rab00ba特别地，特别地，a+bia+bi=0=0 . .a=b=0a=b=03a=0a=0是是z=a+bi(az=a+bi(a、b b R)R)为为纯虚数的纯虚数的 条件条件 必要不充分必要不充分问题问题1：4问题问题2:2:一般地一般地, ,两个复数只能说相等或不相两个复数只能说相等或不相等等, ,而不能比较大小而不能比较大小. .思考思考: :对于任意的两个复数到底能否比较大小对于任意的两个复数到

2、底能否比较大小? ?答案答案: : 当且仅当两个复数都是实数当且仅当两个复数都是实数 时时, ,才能比较大小才能比较大小. . 虚数不可以比较大小！虚数不可以比较大小！5问题问题3. 复数的几何意义是什么？复数的几何意义是什么？复数复数 与与 平面向量（平面向量（a,b） 或或 点点 （a,b）一一对应）一一对应zabi=+OZ 问题问题4:类比实数的运算法则类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？能否得到复数的运算法则？6二、问题引入：二、问题引入：7三、知识新授：三、知识新授：1.复数加减法的运算法则：复数加减法的运算法则： 运算法则运算法则: :设复数设复数z z1 1=a+bi,z=

3、a+bi,z2 2=c+di,=c+di, 那么：那么：z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i=(a+c)+(b+d)i; ; z z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)+(b-d)i. .即即: : 两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是实部与实部，就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).8(2)(2)复数的加法满足复数的加法满足交换律交换律、结合律结合律, ,即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,有有: :z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2

4、2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).9学学 以以 致致 用用讲解例题讲解例题 例例1 计算计算(5 6) ( 2 ) (3 4)iii-+ - - - +(5 6) ( 2 ) (3 4)(5 2 3) ( 6 1 4)11iiiii-+ - - - +=- - + - - -=-解：解：10例：设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,yR),且z1+z2 = 5 - 6i, 求z1-z2解：z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i(3+x)+(2-y)i=5-6iz1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i3+x=5

5、,2-y=-6.x=2y=811三、课堂练习三、课堂练习1、计算：（、计算：（1）( 3 4i)+(2+i) (1 5i)=_ （2） ( 3 2i) (2+i) (_)=1+6i2、已知、已知xR，y为纯虚数，且（为纯虚数，且（2x 1)+i=y (3 y)i 则则x=_ y=_2+2i9i234i分析：依题意设分析：依题意设y=ai（aR），则原式变为：），则原式变为：（2x 1)+i=(a 3)i +ai2= a+( a 3)i 23由复数相等得由复数相等得2x 1= aa 3=1x=y=4i12三、课堂练习三、课堂练习3、已知复数、已知复数Z1= 2+i，Z2=4 2i，试求，试求Z1

6、+Z2对应对应的点关于虚轴对称点的复数。的点关于虚轴对称点的复数。分析：先求出分析：先求出Z1+Z2=2 i，所以，所以Z1+Z2在复平面内对应在复平面内对应的点是的点是(2， 1)，其关于虚轴的对称点为，其关于虚轴的对称点为( 2， 1)，故所求复数是故所求复数是2 i13三、课堂练习三、课堂练习4、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z1，Z2，且满足，且满足Z1+i=Z2 2，求，求Z1和和Z2。分析：依题意设分析：依题意设Z1=x+yi（x，yR）则）则Z2= x yi，由由Z1+i=Z2 2得：得：x+(y+1)i= (x 2)+(y)i，由

7、复数相，由复数相等可求得等可求得x= 1，y= 1/214),(2dcZ),(1baZZyxO 设设 及及 分别与复数分别与复数 及复数及复数 对应，则对应，则 , 1OZ2OZ abi+cdi+1( , )OZa b=2( , )OZc d= 向量向量 就是与复数就是与复数 OZ () ()a cb d i+对应的向量对应的向量.探究？探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？12( , )( , )(,)OZOZOZ

8、a bc dac bd=+=+=+ 复数的加法可按照向量的加法来进行，这就复数的加法可按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义是复数加法的几何意义15类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？ 设设 及及 分别与复数分别与复数 及复数及复数 对应，则对应，则 , 1OZ2OZ abi+cdi+1( , )OZa b=2( , )OZc d= yxO1Z2Z复数减法的几何意义复数减法的几何意义：1221OZOZZ Z-= 162.复数的乘法：复数的乘法：(1)(1)复数乘法的法则复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似复数的乘

9、法与多项式的乘法是类似的的, ,但必须在所得的结果中把但必须在所得的结果中把i i2 2换成换成-1,-1,并且把实部合并并且把实部合并. .即即: :(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 2=(ac-bd)+(bc+ad)i.17(2)(2)复数乘法的运算定理复数乘法的运算定理 复数的乘法满足复数的乘法满足交换律交换律、结合律结合律以及乘法以及乘法对加法的对加法的分配律分配律. . 即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3有：有： z z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1; ; (z (z1

10、1z z2 2)z)z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3);); z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. .18)(1biabia）（22222)(2ibabiabia）（例例2 2：计算计算222ibabiabia22ba abiba222 复数的乘法与多项复数的乘法与多项式的乘法是类似的式的乘法是类似的. . 我们知道多项式的乘法用我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开乘法公式可迅速展开, , 运算运算, ,类似地类似地, ,复数的乘法也可大胆复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算运用乘法公式来展开运算. .19)

11、2)(43)(21 (3iii）（iiiiii1520)2)(211()2)(43)(21 (注意注意 a+bi 与与 a- -bi 两复数的特点两复数的特点.一步到位一步到位! !(1)计算计算(a+bi)(a- -bi)20思考：设思考：设z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么(1)定义定义: 实部相等实部相等, ,虚部互为相反数虚部互为相反数的两个复数的两个复数互为互为共轭复数共轭复数. .复数复数 z= =a+ +bi 的共轭复数记作的共轭复数记作?zz, zzabi即即?zzzzzzzzzz12121212, 另外不难证明另外不难证明:3. 共轭复数的概念、性

12、质：共轭复数的概念、性质：(2)共轭复数的性质共轭复数的性质:.2-2bizzazz；21 已知已知: : 求求: :iziz2,1212412121, () ,zzzzz练练 习：习：22 实数集实数集R R中正整数指数的运算律中正整数指数的运算律, ,在复数集在复数集C C中仍然成立中仍然成立. .即对即对z z1 1,z,z2 2,z,z3 3CC及及m,nNm,nN* *有有: : z zm mz zn n=z=zm+nm+n, , (z (zm m) )n n=z=zmnmn, , (z (z1 1z z2 2) )n n=z=z1 1n nz z2 2n n. .23【探究】【探究

13、】 i i 的指数变化规律的指数变化规律1,1,4321iiiiii_,_,_,_8765iiii你能发现规律吗？有怎样的规律？你能发现规律吗？有怎样的规律？ni414ni24ni34ni,1,i,1i)( , 03424144Nniiiinnnni1i124【例【例3】求值：求值：200932iiiiiiiiiiiiiiiiiii12009200820072006200587654320.）（）（）（解：原式25常用结论：常用结论：2)1 (i;2iii11i1; iii11; i. i26例例4.4.设设,2321i求证：求证： ; 012. 13思考：思考： 在复数集在复数集C 内，你能将内，你能将 分解因式吗？分解因式吗？xy22( (x+yi)(x- -yi)27五、课堂小结：五、课堂小结：1.复数加减法的运算法则：复数加减法的运算法则：(1)(1)运算法则运算法则: :设复数设复数z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di,=c+di, 那么：那么：z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+