利用导数研究函数的图像-文档资料

1、利用导数研究函数的性质主要内容：一、函数的单调性，极值，最值二、利用导函数的单调性研究函数图像的凹凸性 2 2 在研究函数特性时往往需要在研究函数特性时往往需要知道函数的直观图形，利用函知道函数的直观图形，利用函数的一阶、二阶导数可以绘制数的一阶、二阶导数可以绘制出函数的较精细的图形出函数的较精细的图形. .3 3下面来看导数的几何意义: 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.tan,: xyy

2、MQxMP则则yx请问：是割线PQ的什么?斜斜率率!Py=f(x)QMxyOxy4 4PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P接近时接近时,割线割线PQ绕着绕着点点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况.5 5单调性单调性导数的正负导数的正负函数及图象函数及图象 (,0)在在上上递递减减 (0,)在在上上递递增增xyoyf x ( )abxyoyf x ( )ab切线斜率切线斜率 的正负的正负kxyo2( )f xx 6 6aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函数那么函数y=f (x) 在为这个区间内在为这个区间

3、内 的的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内 0,那么函数那么函数y=f (x) 在为这个区间内的在为这个区间内的减函数减函数. )(xf )(xf 7 7函数的极值定义函数的极值定义如果对如果对X0附近附近的所有点的所有点X，都有，都有f(x)f(x0), 则称函数则称函数f(x)在点在点X0处取极小值，记作处取极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；并把并把X0称称为函数为函数f(x)的一个极小植点。的一个极小植点。 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极大值点与极小极大值点与极小值点统称为值点统称为极值点极值点已知已知 函数函数y=f(x)，设，设X

4、0是定义域（是定义域（a,b)内任一点，内任一点，yox0 xaboxy0 xba、8 8函数的最值最大值：一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：任意的x属于I,都有f(x) M存在某个X满足f（x）=M，则称M是函数f（x）的最大值。最小值：一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足：任意的x属于I,都有f(x) M存在某个X满足f（x）=m，则称m是函数f（x）的最小值。 对于一段在闭区间上连续的函数，通过把极值和两个端点值比较得到最值”9 9曲线弯曲方向凹凸性观察右图：观察右图：xyo)(xfy )0(fx 当当 从从小小变变大大时时，也也从从小小变变大大. .( )xfx ( )f x 的的图图像像为为凹凹弧弧单单调调增增加加( )f x 切线的斜率切线的斜率越来越大越来越大1010观察右图：观察右图：xyo)(xfy )0(fx ( )xfx 当当 从从小小变变大大时时，从从大大变变小小. .( )f x 的的图图像像为为凸凸弧弧单单调调减减少少( )fx 切线的斜率越切线的斜率越来越小来越小1111例例判判断断曲曲线线的的凹凹凸凸性性31.yx 解解当当时时，0 x 当当时时，0 x 0,) 曲曲线线在在为为凹凹的的. .(0,0).注注意意到到点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点