2019届四川省成都市高三第三次诊断性检测数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 1919 页2019 届四川省成都市高三第三次诊断性检测数学（文）试题一、单选题1 1 设全集U xZ|x1x3 0，集合A 0,1,2，则CUA=（）（）A A 1,3B B.1,0C C 0,3D D 1,0,3【答案】A A【解析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A的补集 【详解】由x 1 x 30解得1 x 3，故U 1,0,1,2,3，所以CUA1,3，故选 A.A.【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题2 2 复数i 3 i的共轭复数是（）A A 1 3iB B 1 3iC C1 3iD D 1 3i【答案】B B【解析】试题分

2、析：因i 3 i, ,故其共轭复数是一-: 应选 B.B.【考点】复数的概念及运算 3 3 已知函数f x3x3x，若f a2，则fa的值为（）A A 2B B2C C 1D D 1【答案】B B【解析】判断出函数yf x是奇函数，从而根据fa的值可求出f a的值 【详解】函数f xx33x的定义域为R,f3xxc3c3xx 3xf x函数yfx为奇函数， 则fafa2. .故选：B.B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，推导出函数的奇偶性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于基础题 第2 2页共 1919 页4 4 .函数f X sinx cosx的最小正周期为（Q fx sin

3、x cosx、2sin x，因此，函数y f x的最小正周期为4212. .故选：C.C.【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，化简函数的解析式是解答的关键，考查计算能力，属于基础题 5 5如图，在正方体ABCD AiBiCiDi中，已知E、F、G分别是线段AQ上的点,且AE EF FG GCi. .则下列直线与平面ABD平行的是（）A A. CEB B. CFC C.CGCGD D. CG【答案】B B【解析】连接AC，使AC交BD于点0,连接AO、CF，可证四边形AOCF为平行四边形，可得AO/CF，利用线面平行的判定定理即可得解.【详解】如图，连接AC，使AC交BD于点O,连接A。、CF

4、，则O为AC的中点,A A .2【答案】C CB B.C C.2D D . 4 4【解析】利用辅助角公式化简函数yX的解析式，然后利用正弦型函数的周期公式可求得函数y【详解】x的最小正周期【点睛】第 3 3 页共 1919 页在正方体ABCD AiB1C1D1中，AAjCCi且AA)边形,A1C1/AC且AG AC,QO、F分别为AC、AiG的中点，AF/OC且AiF OC,所以，四边形AOCF为平行四边形，则CF /AiO,Q CF平面ABD,AO平面ABD，因此，CF/平面ABD. .故选：B.B.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题.x y

5、06 6 .已知x,y满足约束条件xy 2，则Z 2x y的最大值为y0A A .1B B.2C C.3D D .4【答案】D D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,z 2x y等价于y 2x z，作直线y 2x，向上平移,易知当直线经过点2,0时 z z 最大，所以Zmax2 204，故选 D D CCi，则四边形AAQC为平行四第4 4页共 1919 页本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义， 结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.【答案】对值作差比较可得.【详解

6、】【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力,属于中等题.1的前n项和为8 8 .设数列24n 1Sn,则 $0$0()1020A A.B B.2121918C C . . D D. 1919【答案】A A【解析】由题意可得出1 11 1然后利用裂项求和法可求得s24n 122n 1 2n1的值 【详解】Q11111Q24n212n12n122n 1 2n 1111111 10因此，30-1L7 7 .若非零实数a、b满足2a3b，则下列式子一定正确的是(【解令2a3bt，则tt 1将指数式a、b后，然后取绝令2a3bt，则tlg ta log2t,b

7、 log3tlg2lg3，故选:C.C.|igt| |igtlg2 lg3lg t lg3lg 2 lg 30，因此,b. .第5 5页共 1919 页233519 21 21故选：A.A.【点睛】本题考查裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.9 9 执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A A .1B B.2C C .3D D.4【答案】B B【解析】 列出循环的每一步，进而可求得输出的n值 【详解】根据程序框图，执行循环前：a 0,b 0,n 0,执行第一次循环时：a a 1 1,b 2，所以：928240不成立.继续进行循环，当a 4,b 8

8、时，622240成立，n 1,由于a 5不成立，执行下一次循环，a 5,b 10,520240成立，n 2,a 5成立，输出的n的值为2. .故选：B B.【点睛】本题考查的知识要点： 程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.第6 6页共 1919 页1010.幻方”最早记载于我国公元前 500500 年的春秋时期大戴礼中.h h 阶幻方第7 7页共 1919 页*Cn 3,n N”是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所“3阶幻方”的幻和为 1515 （如图所示）U “5阶【详解】【点睛】【答案】D D系，从而可得出离心率.【

9、详解】PF2n,含的n个数之和（简称幻和）相等，例如D D . 4545【解计算1 2 L 25的和，然后除以5，得到“5阶幻方”的幻和. .依题意“阶幻方”的幻和为1 2 L 2552565，故选 B.B.5本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前n项和公式,属于基础题. .22_ x y1111.已知双曲线C:21 a 0,b0的左、右焦点分别为a bF1、F2，抛物线2y 2px p0与双曲线C有相同的焦点. .设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且cos PF-，则双曲线C的离心率为7B B.,2或3【解析】设PRm,PF2再根据双曲线性质得出mn,根据cos7a,n 5a,5P

10、FiF27和抛物线性质得出最后根据余弦定理列方程得出c间的关过P分别向x轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为N，不妨设PF,幻方的幻和为（）B B. 6565【答B B第8 8页共 1919 页故选：D.D.【点睛】属于中档题.1212 .三棱柱ABC AjB1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AB AC，且三棱柱的侧面积为2 1 若该三棱柱的顶点都在同一个球0的表面上，则球0表面积的最小 值为（）A A.B B.,2C C.2D D. 4 4【答案】C C【解析】由题意画出图形，设AB AC x,AA1径的最小值，则答案可求.【详解】 如图:则MFjPNPF2PF1COSPF1F25mQ

11、P为双曲线上的点，贝U PFiPF22a，即m5m72a，得m 7a,n 5a,5又F1F22C,在PF1F2中，由余弦定理可得749a24C225a22 7a 2C整理得C25ac 6a20,即 e e25e5e 6 6 0 0 ,Qe 1，解得e 2或e3. .本题考查了双曲线离心率的求解,涉及双曲线和抛物线的简单性质,考查运算求解能力,xy并计算出底面的外接圆半径利用基本不等式求三棱柱外接球半y，由三棱柱的侧面积可得第9 9页共 1919 页故选：C.C.【点睛】 本题考查多面体外接球表面积最值的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题.二、填空题1313 某单位有男女职工共600人，

12、现用分层抽样的方法从所有职工中抽取容量为50的样本，已知从女职工中抽取的人数为15，那么该单位的女职工人数为 _【答案】180【解析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【详解】15n设该单位的女职工人数为n，则，解得n 180，即该单位的女职工人数为50600180. .故答案为：180. .设AB AC x,AA| y，则三棱柱的侧面积为2xy、2xy .21，得xy底面ABC的外接圆半径为BC、2rx,2 2所以，二棱柱ABC AiB1C1的外接球半径242xy当且仅当.2x时，等号成立，因此，球0表面积的最小值4第1010页共 1919 页【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根

13、据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础.第1111页共 1919 页11414 .若COS 一，贝U COS2的值等于 _.23【答案】79【解析】利用诱导公式求得sin，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2的值. .【详解】因此，cos 21 2s in21 2故答案为：7. .9【点睛】本题主要考查了诱导公式、二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.a21515 .已知公差大于零的等差数列an中，a2、a6、依次成等比数列，则 的值是a29【答案】-4【解析】利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与a2的关系,然后转化求解旦2的值. .a2【详解】设

14、等差数列an的公差为d，则d 0,故答案为：9. .4【点睛】 本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题 1616.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0),直线 l l: : y y k k x x 1 1 2 2 设点A关于直线|的由诱导公式可得cos -2sinsin3由于a2、a6、a12依次成等比数列，则2玄2耳2，即a24d a2a210dQ d 0,解得a28d，因此,a12a2a210d 18d9a28d4第1212页共 1919 页uuu uuu对称点为B，贝U OA OB的取值范围是_【答案】1,3【解析】根据两点关于直线I对称求得点B的坐标，对

15、k分类讨论，利用平面向量数量 积的坐标运算结合基本不等式可求得OA OB的取值范围 【详解】 根据题意，设B的坐标为m,n. .(1)当k 0时，则直线I的方程为y 2，此时点B 1,4，则OA时，等号成立,uuu(2)当k0时,因为A、B两点关于直线I对称，则线段AB的中点直线I上, 所以,直线ABI，则,联立解得4k-，即点14kk24k21uuu所以，OA1,0uuu4kk21uu(i(i)当k 0时,uuuuuu4kk2，OAuuu4kk21，当且仅当uuu uun又OA OB1，此时uunOAurnOB42k第1313页共 1919 页【点睛】(ii(ii )当kUJUuuuOA O

16、B 10时，4kk21当且仅当k1时， 等号成立,uuu uuu又OA OBurn uuu1,此时1 OA OB 3. .综上所述,uuu uuuOA OB的取值范围是1,3. .故答案为:1,3. .第1414页共 1919 页本题考查向量数量积的计算，涉及关于直线对称的点的坐标，关键是求出点属于中等题.三、解答题 1717.已知ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,且(1(1)求角 A A 的大小;【答案】得cosA的值，进而可求得角A的大小;(2(2)利用余弦定理以及正弦定理进行转化求解即可【详解】(1)由已知，得sinAcosB】sinB2【点睛】转化是解决本题的关键.18

17、18 某保险公司给年龄在20: 70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析， 按年龄段20,30、30,40、40,50、50,60、60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示B的坐标,1acosB b c. .2(2(2)记ABC的外接圆半径为R，求b2c24R2bc兰的值. .【解(1(1)利用正弦定理以及si nCsin AB，结合两角和的正弦公式化简可求sinC又sinC sinsin AcosB1 sin B2sin AcosB cosAsin B,cos As in B1 si

18、nB(2)(2)b2则sin B由余弦定理得b2c2a2cosA2bccos Abc,，因此，A气；2 2c bc a2 24R4Rsin2A.22sin3本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理、余弦定理以及两角和差的三角公式进行4813第 1212 页共 1919页年龄（单位：岁）20,3030,4040,5050,6060,70保费（单位：元）306090120120150（1 1） 求频率分布直方图中实数a的值，并求出该样本年龄的中位数；（2 2） 现分别在年龄段20,30、30,40、40,50、50,60、60,70中各选出人共5人进行回访 若从这5人中随机选出2人，求这2人所交保

19、费之和大于200元的概率 【答案】（1 1）a 0.030，中位数为481；（ 2 2）-. .35【解析】（1 1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1能求出a的值，利用中位数左侧矩形的面积之和为0.5可求出该样本年龄的中位数；（2）回访的这5人分别记为a30、a60、a90、a120、a150，从5人中任选2人，利用列举法能求出这2人所交保费之和大于200元的概率.【详解】设该样本年龄的中位数为Xo，前两个矩形的面积之和为0.007 0.018 10 0.25 0.5前三个矩形的面积之和为0.007 0.018 0.03010 0.55 0.5，所以40 X050.x0400.03

20、0.18 0.07 0.5，解得x0(2 2)设回访的这5人分别记为a30、a60、a90、,(1) Q 0.007 0.018 a0.025 0.020 10 1,解得:a 0.030. .频率【详解】第 i3i3 页共 i9i9 页从5人中任选2人的基本事件有：a3o,a6o、a3,a9、asoao、。，氐。、a60, a90、a60, ai20、a60, ai50、a90,ai20、a90, ai50、ai20, ai50，共10种事件 两人保费之和大于200元”包含的基本事件有：a60,ai50、a90,&20、a90,ai50、ai20,ai50，共4种 42两人保费之和大于

21、200兀的概率为P. .i0 5【点睛】本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题.i9i9如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，PAD为正三角形，平面PAD平面ABCD,E、F分别是AD、CD的中点 (1) 证明：BD平面PEF;(2) 若M是PB棱上一点，三棱锥M PAD与三棱锥P DEF的体积相等，求空MB的值. .【答案】(i i)详见解析;【解析】(i i)连接AC,可得PE AD,利用面面垂直的性质可证PE平面ABCD,利用线面垂直的性质可证BD PE，由EF/AC,BD AC，可证BD EF,BD P

22、E,禾 U U 用线面垂直的判定定理即可证明BD平面PEF;亠PMPM(2 2)连接MA、MD，设，则，禾 U U 用VM PADVP DEF，可得MBPBiiPM，进而解得 的值，即可得出的值 i4MB第1717页共 1919 页(1 1)连接AC,Q PA PD且E是AD的中点，PE AD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD I平面ABCD AD,PE平面PAD,PE平面ABCD. .Q BD平面ABCD,BD PE.又ABCD为菱形，且E、F分别为棱AD、CD的中点，EF/AC,Q BD AC, BDBD EFEF ,本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的性质，线面垂直的判定以及三棱

23、锥体积的求法，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题.2 22020 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:%鶴1 a 0,b0的左、右焦点a b分别为F1、F2，且IF1F2I2.P是椭圆C上任意一点，满足PF|PF2 血.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设直线l : y kx m与椭圆C相交于A、B两点，且AB 2,M为线AB的中点，求OM的最大值. .又BD PE,PE EF E,BD平面PEF；(2(2)如图,连接MA、MD，设PMMBPM，则両VMPADVB PAD1VP又VPDEFVP ACD44VPABD，VMPADVP DEF，解得1PM 11，即PiB 124第18

24、18页共 1919 页【答案】（1）yy21；（ 2 2）, 31. .【解析】（1 1）由椭圆定义可求a，结合已知可求c,再由b2可求b，即可得出椭圆C的标准方程;(2)设A x1,y1、B x2, y2，联立直线l与椭圆C的方程,可求X2、X1X2，进而可求得点M的坐标以及0M结合已知AB 2及弦长公式可得2k212k22，2代入OM，利用基本不等式可求得【详解】（1 1）由椭圆的定义得由F1F22c 2，得椭圆C的标准方程为(2)设A X1, %、By kX m由X22y22，得PFi0M的最大值. .PF22a22，b2c21，2 216k m42 k2X1X24 km2，2k21”2

25、 kmm2k212k21由ABOM令4k2X2,y2，2k21 x24kmx 2m2X|X22m2228 2k2m222k21 OM门2&宇2k 12 24k21 2k2122丁2k 12kt 1，则当t .3时取等号,OM【点睛】OM24k212m222k2122一2，化简得4k22k214tt 1 tOM2k212k22max1_2k22，3 1，当且仅当k2、 31时取等号24第1919页共 1919 页4第2020页共 1919 页本题主要考查了利用椭圆定义及性质求解椭圆方程及直线与椭圆的位置关系的应用，试题具有一定的综合性22121 .已知函数f x xln x 2ax x,

26、a R.(I)若f x在0,内单调递减，求实数a的取值范围；1(n)若函数f x有两个极值点分别为x1,x2，证明：x1x22ae【答案】(I)a ,4【解析】(I I)先求得函数的导数，根据函数在0,上的单调性列不等式， 分离常数a后利用构造函数法求得a的取值范围. .(IIII)将极值点 x x“x x2代入导函数列方程组，将所要xix【详解】(I)f x lnx 2 4ax.f x在0,内单调递减,f x lnx 2 4ax 0在0,内恒成立,即4aln x20,一在内恒成立.xx令g xln x2，则g1 ln xx2 ，xxx-当01x _时，g x0，即gx在10,内为增函数;ee

27、1 1当 x x1时，gx0，即g x在1 15内为减函数.e ee e(n)见证明证明的不等式转化为证明X2ln生，利用构造函数法证得上述不等式成立X24第2121页共 1919 页lnx 2 4ax 0在0,内有两根x1,x2,1 g x的最大值为ge,e(n)若函数f x有两个极值点分别为 治,X2,第2222页共 1919 页 x 0,1时，有h【点睛】用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题x 2 2cos2222 .在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（ 为参数）y 2si n以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为s

28、in42（1 1）求曲线C的普通方程和直线I的直角坐标方程;（2）设点M 0,1,若直线I与曲线C相交于A、B两点，求MA MB的值由( 1 1),知0aIn x,由InX224a%24ax2不妨设0XX2,要证明X1X2 -0，两式相减，得Inx1Inx24a X1X20 x(x2，只需证明40厂;2a In x1In x22即证明-X1x2XiInx-i2In x2，亦即证明-XiX2X1沁.1X2X2h( Vx(x 1)0,即函数h在0,1内单调递减.即不等式2冬1X2X11X2In 1成立.综上，得X1x212a本小题主要考查根据函数的单调性求参数,考查利用导数研究函数极值点问题，考查利第2323页共 1919 页【答案】（1）C的普通方程为x 22y24,1的直角坐标方程为x y 1；（2） 3 2. .【解析】（1 1）在