几类微分算子的谱分析

1、几类微分算子的谱分析 分类号密级编号论文题 目研究生:圃童亡指导教师:王夏竖塾握业:专廑旦麴堂研究方向:微分算子谱理论二。一三年三月三。日 .,.,原创性声明本人声明:所。.÷交的?位论文造本人住导师的指导卜进 .的研究:及取得的研究成果。除本文已经注明引的内窬外.论文中小包含其他人三经发表或撰;过的研究成聚,也包禽为获得囱莹直塞堂及其他敦育机构的学化或证而使瑚过的材:。我?同:竹:的刚忠对本研究所做的任何奉献均已在论文中仵了明确的说明并表示澍虑。空西史指导教师签钇:学何沦文竹:青签名:堕垒至删:盟埘明:必日在学期间研究成果使用承诺书本学化论文作青完全.,解学校仃天保存、使学何论文的

2、规定。即:内蒙占人学仃权将学化论艾的令郜内窬或局部保存并向国家有关机构、部送受。学似论文的复印住币¨许编入有关数据库进行检索,也町以采川影印、缩印或其他复制手段保存、【:编。节妒沦艾。为保护学院和导师的知识产权,作者在学期问取得的研究成果属:内蒙一人。学。作者今膈使涉及往学期臼亍:要研究内容或研究成果.须,征得内蒙占人学就渎期问导师的刚意:符川:发表论艾.版权单何必须署名为内蒙人。学方可投稿或公升发表。童万义学何论文竹:嚣签钇:期:趔;:孓:够日期:抛马二.丝目 录中文摘要英文摘要¨第一章绪论 .具有转移条件微分算子的研究. .常微分算子谱的离散性研究. .对称微分算子谱的

3、研究.:. .本文的结构和主要结果. 第二章根本概念及根本性质 .根本概念. .根本性质. .根本问题.问题的自伴性?. .特征值的性质. .特征值的渐近公式.。. .根本问题.问题的自伴性. .特征值的性质.。. .特征值的渐近公式. 题.根本问题. .问题的自伴性.特征值的性质.特征值的渐近公式.。.第六章 具有特殊系数微分算子谱的离散性.预备知识.。.幂指积系数微分算子谱的离散性.欧指积系数微分算子谱的离散性.般系数微分算子谱的离散性.预备知识.“.复指数函数系数.对称微分算子谱的离散性.复幂指积系数.对称微分算子谱的离散性.复欧指秘系数.对称微分算子谱的离散性.总结与展望参考文献主要符

4、号表致谢攻渎学位期间已完成的学术论文几类微分算子的谱分析摘要本文主要围绕不连续奇异微分算子的谱及具有特殊系数微分算子谱的离散性展开研究.首先,应用算子方法和函数论的方法,研究了正那么端点处边界条件含特征参数且一个内点处具转移条件的奇异舢.算子问题,结合转移条件定义新的内积,把所研究的问题转换成一个直和空间中相应的奇异算子问题,在此空间下得到了新算子是自伴算子,它的特征值与所研究问题的特征值是一致的;通过所研究问题的根本解,获不连续奇异聊.算子的谱,通过构造新空间,把所研究的问题转换成新空间下相应的算子问题,得到了此算子是自伴算子;通过给定的边界条件,将特征值问题转化为判别函数的零点问题,得到了

5、其特征值的相关性质及特征值的渐近公式.其次,研究了具实幂指积系数、实欧指积系数的偶数阶对称微分算式所生成算子的谱,运用算子分解与二次型比拟的方法,得到了微分算式的系数在一定的条件下该类微分算子所有自伴扩张的谱是离散的;另外,还研究了具有一般系数的实对称微分算式生成算子的谱,得到该类算子无论末项和首项系数按照某种方式以无穷大为极限时其所有自伴扩张的谱是离散的,还是中间项系数按照一定的方式以无穷大为极限时也可决定其所有自伴扩张谱的离散性.最后,研究了一类具复指数系数的偶数阶对称微分算子的谱,当其系数的实部与虚部都非负时,得到了该算子只有离散谱;进一步得到了微分算式系数的实部与虚部满足某种条件时其谱

6、是离散的充分条件.同时,还研究了具复幂指积系数、复欧指积系数的一对称微分算式生成的算子谱的离散性,得到了系数的实部或虚部满足某些条件时其生成的一自伴微分算子的本质谱是空集,即.自伴微分算子的谱是离散的.本文共分七章,第一章绪论,表达本文所考虑问题的背景及本文的主要结果;第二章是文中所涉及的主要根本概念及根本性质;第三章研究正那么点处边界条件含特征参数且具有转移条件的奇异?问题;第四章研究两个边界条件都含特征参数的不连续奇异伯咖.问题;第五章研究边界条件都含特征参数且具有限个不连续点的奇异,瑚.问题;第六章研究具有特殊系数偶数阶微分算子谱的离散性;第七章研究具有特殊系数一对称微分算子谱的离散性.

7、关键词:微分算子,奇异,转移条件,特征值,一对称,本质谱,离散谱印,盯& 、 髓 ., 觚? 而 锄 壮 丘 ,出 . . 甜功卜讥. ,、 , ,龇.百 ?砌 肌】砌一.吡 踟七.锄 协 龇 【由 . 甜咖 .髓如 佣 谳伍. 伍 匆 珊,七 丘叩 .髓 伍 .卫呦 . 矗眦咖伍伍 盯%. 丘,伍 . “ 甜妇 盯 西 毗.移 印珏.?能 伍 伽陀伍?.吼 西巧 移 ,.珊盯 . , 皿一叩 ; 壮 工 .印 盯? 盯锄 . 盯? 锄丘.印丑.丽 出 眦 ?.伍盯百 印: 雎,、协, .,?, , 眦第一章绪论微分算子也是算子理论体系中广泛应用的最根本一类无界线性算子,是算子理论的一

8、个重要组成局部.微分算子的研究领域十分广泛,包括微分算子的自伴扩张理论、谱理论、数值计算以及反问题等许多重要分支,内容纷繁浩瀚.特别地,微分算子谱理论是世纪迅速开展起来的新兴交叉学科领域,它以量子物理为主要应用背景,它为微分方程众几类具特殊系数微分算子谱的离散性.具有转移条件微分算子的研究自年至今,】珊一问题,特别是正那么的】瑚.】问题.,【】,卜【】,【】,】的研究在理论上和方法上都已相当完备,但最经典的】瑚一算子最大算子域中的函数要求至少一阶导函数是绝对连续的,即使是这样的要求在一些实际问题中也不能被满足.为此,近年来越来越多数学工作者将研究兴趣转向具有转移条件的咖.问题,它有着重要的应用

9、前景,例如热传导和质量转移问题可以出现特征参数,而且边界条件里也可以出现特征参数,许多工程技术领域中的一些偏微分方程如热传导方程或波动方程利用别离变量法便得到边界条件中带特征参数的微分方程边值问题【】.正是由于许多实际问题往往需要转化为具有转移条件微分算子的问子已有诸多成果【】【】,【】,【】,】,【】.【】,【】,卜【叫,而具有转移条件的奇异微分算子的研究相对较少【】,【】.为此,我们针对具有转移条件的奇异微分算子进行了研究,并将正那么情形的相关结论成功地推广到奇异情形.本文应用算子方法和函数论的方法,研究了正那么端点处边界条件含特征参数且一个内点处具转移条件的奇异珊一算子问题,结合转移条件

10、定义新的内积,把所研究的问题转换成一个直和空间中相应的奇异算子问题,在此空间下得到了新算子是自伴算子,它的特征值与所研究问题的特征值是一致的;通过所研究问题的根本解,获不连续奇异卜算子的谱,通过构造新空间,把所研究的问题转换成新空间下相应的算子问题,得到了此算子是自伴算子;通过给定的边界条件,将特征值问题转化为判别函数的零点问题,得到了其特征值的相关性质及特征值的渐近公式.常微分算子谱的离散性研究微分算子谱理论是微分算子理论中的重要组成局部之一,它包括微分算子谱的定性、算子谱理论与物理实际应用紧密相联,譬如奇异微分算子谱分析是解决量子力学的得力的二阶微分算子谱的离散性判别准那么发表以来,谱的定

11、性、定量分析方面在国际蓬勃发展起来无论是阶数由低到高,还是权函数由有到无,以及微分算式系数由由实到复等方面取得了许多研究成果其专著见【】,【】,【】,【】,【】,】,【】,【】.谱的定性分析是指通过微分算式的系数、问题的边界条件来分析判断微分算子谱的相兼性质.关于微分算子谱的定性定量分析,其研究工作有两个主要途径:一个是分析法的.】问题的研究:即的渐近估计方法和的变分方法.所谓分析法,是以解析函数理论为根底分析预解式、函数和微分方程解的渐近的工作中,仅就经典著作【】,【;】中使用的方法就表达出了超高的技巧性和工作的艰巨性.这种方法的优点是即便对于高阶的微分算子,在一定程度上仍然十分奏效,一般地

12、系数需要另外的附加条件.用算子的方法处理微分算子谱的定性定量分析,是半个世纪来广泛采用的方法.在.【】,.【】,.讧髓【】,.种方法的理论根底是空间中闭线性算子的谱理论和全连续摄动的相关理论【】,法在处理奇异微分算子谱的离散性分析时,由有限区间上正那么微分算子本质谱是空集,故我们可以忽略系数在有限区间上的取值情况,其谱的离散性仅取决于系数在无穷远附近的取值.二次型比拟的方法,是通过空间嵌入算子的连续性、紧性的刻画来研究奇异微分算子谱的下有界性和离散性.由于自伴算子的剩余谱是空集,奇异微分算子谱的谱是离散时,其豫解式,函数,按本征函数展开等与正那么微分算子情形十分相似,处理上就会变得更加方便简洁

13、,所以关于微分算子谱的离散性研究一直以来倍受重视,取得了许多成果,如【】,】,】.【】,【】,【卜【】,【】,】.【,【卜【】等一系列工作.尽管微分算子谱的离散性问题已经获得了丰硕的成果,但是至今微分算子谱的离散性问题的统一框架仍没有彻底解决以上综述局部的材料来源于文献】,【】,【】.具有相同有限亏指数的对称微分算子的自伴扩张并不是唯一确定的,但它的所有自伴扩张都具有相同的本质谱,即自伴算子谱的离散性质完全仅依赖于它所对应的微分算式的系数.正是由于微分算子的谱分析和系数之间有着复杂的连带关系,才致使目前已有的工作绝大局部集中于常系数、幂系数、指数函数系数或者是系数可以用幂函数、指数函数来估计的

14、微分算子的谱分析上.而对于某些特殊系数诸如幂指积系数、欧指积系数那么,丰富了微分算子谱的离散性的相关成果,为构造微分算子谱的离散性问题统一框架提供了相关信息.本文首先研究了具实幂指积系数、实欧指积系数的偶数阶对称微分算子的谱,运用算子分解与二次型比拟的方法,得到了微分算式的系数在一定的条件下该类微分算子仅有离散谱;其次研究了一类具一般系数的对称微分算式生成的自伴微分算子的谱,得到该类微分算子无论末项和首项系数按照某种方式以无穷大为极限时其谱是离散广,并且包含了二阶和高阶两项微分算式所生成的最小算子的所有自伴扩张的谱是离散的著名的.判定定理.一对称微分算子谱的研究.自伴微分算子的谱理论的研究起源

15、于人们对耗散算子和具有复势能的甜算子的研究.一对称微分算子在某些方面的性质可能较对称微分算子有更为简洁明了,比的性质更为复杂,比方复系数珊.,问题的点型与圆型属性就完全异于实系数情形,细节可参看.当算子是自伴或,自伴时,它的剩余谱是空集,从而只需研究其点谱和连续谱.自子的谱可分为离散谱和本质谱两局部,所以一自伴微分算子谱的定性分析类似于自伴微分算子的谱分析,也就是给出.自伴微分算子谱的分布即点谱、连续谱的存在围范,离散性等等.对于一对称微分算子理论的研究,继盯嘲】, 】和 】之后,【卜【】,【】,卜【】,己【卜【】,】,件,同时也得到了关于.自伴微分算子特征问题的相关结论.世纪末世纪初期,孙炯

16、教授,尚在久【】.【】,王忠【】【】,杨传富【】等在已有工作的根底上对于一对称微分伴微分算子的谱理论以上综述局部的材料来源于文献【】,【】.我们利用算子的方法、分析方法和直和分解的方法,研究了一类具复指数系数的偶数阶对称微分算子的谱,得到了微分算子系数的实部与虚部都非负是算子的谱是离散的一个充分条件;进一步得到了微分算子系数的实部与虚部满足一般条件时其谱是离散的一些充分条件.另外,还研究了伴微分算子系数的实部或虚部满足某些条件时其本质谱是空集,即一自伴微分算子的谱是离散的.本文的结构和主要结果本文主要围绕不连续奇异微分算子的谱及具特殊系数微分算子谱的离散性展开研究.本文共分七章,第一章绪论,表

17、达本文所研究问题的背景及本文的主要结果;第二章是文中所涉及的主要根本概念及根本性质;第三章研究正那么端点处边界条件含特征参数且具有转移条件的奇异卜问题;第四章研究两个边界条件都含特征参数的不连续奇异问题;第五章研究边界条件都含特征参数且具有限个不连续点的奇异咖一问题;第六章研究具特殊系数偶数阶微分算子谱的离散性;第七章研究具特殊系数.对称微分算子谱的离散性.本文的主要结果:一应用算子方法和函数论的方法,研究了正那么端点处边界条件含特征参数且一个内点处具转移条件的奇异?算子问题,结合转移条件定义新的内积,把所研究的问题转换成一个直和空间中相应的奇异算子问题,在此空间下得到了新算子是自伴算子,它的

18、特征值与所研究问题的特征值是一致的.通过所研究问题的根本解,获步给出了所研究问题特征值的渐近公式.二研究了两个边界条件含特征参数的不连续奇异珊.算子的谱,通过构造一个新空间,把所研究的问题转换成新空间下相应的算子问题,得到了该算子是自伴算子;通过给定的边界条件,将特征值问题转化为判别函数的零点问题,得到了其特征值的相关性质并给出了其特征值的渐近公式.三讨论了边界条件都含特征参数且具有有限个不连续点的奇异算子的谱,结合转移条件构造直和空间,将所研究的问题转换成新空间下的算子问题,得到了该算子是自伴算子,其特征值是实的至多可数个且下方有界的;通过所研究问题的根本解,给出了其特征值的渐近公式.四研究

19、了具实幂指积系数、实欧指积系数的偶数阶对称微分算子的谱,运用算子分解与二次型比拟的方法,得到当微分算式的系数在一定的条件下时该类微分算子所有自伴扩张的谱是离散的;五研究了一类具一般系数的对称微分算式生成的微分算子的谱,得到该类微分算子无论末项和首项系数按照某种方式以无穷大为极限时其所有自伴扩张的谱是离散的,还是中间项系数按照一定的方式以无穷大为极限时也可决定其所有自伴扩张的谱的离散性.六研究了一类具复指数系数的偶数阶对称微分算子的谱,当微分算子系数的实部与虚部都非负时,得到了该算子的谱是离散的充分条件;进一步得到了微分算子系数的实部与虚部在某些特定的条件下其只有离散谱.七研究了具复幂指积系数、

20、复欧指积系数的一对称微分算式生成的算子的谱,得算子的谱是离散的.本文处理问题的根本方法:一对于二阶不连续奇异微分算子谱分析的研究,采用的方法是结合边界条件定义连续正那么微分算子谱分析的根本方法,而我们将其应用到二阶不连续奇异微分算子谱分近公式可以为相关的数值计算提供理论支持.利用这些方法研究了几类具有特殊实系数的对称微分算子谱的离散性及一些具有特殊复系数的一对称微分算子谱的离散性,得到了所研究问题的谱是离散的一些充分必要条件.其主要目的是通过具有特殊系数的微分算子谱的离散性研究为具有一般系数微分算子谱的离散性统一框架的建立提供相关的信息.第二章根本概念及根本性质为了方便阅读本文,本章给出文中所

21、涉及的主要根本概念以及相关性质,其来源于文献【】,【】,【】,【】,【】.根本概念本节给出文中所主要涉及的根本概念.定义.设是复线性空间,如果对任意的,可,都有一个复数,秒与之对应,并且满足以下性质:,当且仅当正定性,掣,可力口性,耖,齐次性,瓦面侪次性,其中,那么称,可为与耖的内积,定义了内积的空间称为内积空间.定义.完备的内积空间称为空间.定义.设是定义在空间日中的闭稠定线性算子,表示的共轭算子.假设 ,那么称是对称的假设,那么称是自伴的.定义.定义域在空间中日稠定的算子称为乒对称的,如果对于日中的复共轭,有,其中是的共轭算子,而.特别地,当,时,我们把算子称为自伴算子.定义.设噩,乃是空

22、间日中的对称绒乒对称算子,假设噩易,那么称死是乃的一个对称绒乒对称,扩张.定义.设乃是对称绒对称算子,乃是自伴做工自伴算子,假设噩噩,那么称乃是孔的一个自伴绒工自伴扩张.定义.设,是空间,:?是一个线性算子,如果对于中的任何有界子集,关于的值域的闭包开酉是紧的,那么称是一个紧的线性算子,或称全连续算子.定义.设是空间日中的闭对称线性算子,入入是一个复数,那么称子留?,上,历口一天上的维数分别记为,一,那么称盯一,矿为闭对称线性算子的亏指数.下面我们引入线性算子预解集和谱集的相关定义.义域,并假设在日中稠密.称为的正那么点,如果入?的值域在日中稠密,预解集夕,记为,即刁:入,一是一一的,留,一在

23、日中稠密,入?是有界线性算子.在复平面中,正那么点集的补集称为算子的谱集仃,即仃.复数集口中的点称为算子的谱点.一般地,谱集仃可分类为点谱唧,连续谱民和剩余谱,仃唧%其中唧:,一不是一一的】.,入:入,一是一一的,但是留入?在日中不稠密,.吼:入?是一一的,留入?在日中稠密,但是?.是无界线性算子.我们把唧称为算子的正那么点,把唧称为算子特征值或本征值.定义.设入为特征值,那么,一的非平凡解称为的特征元素.定义.设是空间日上的自伴算子,那么把谱集仃中的全体聚点和无限重的孤立的特征值点所组成的集合称为的本质谱,记为.本质谱在谱集中的补集称为的离散谱,记为%盯盯。,即%是全,那么称的谱是离散的.定

24、义.点列几称为线性算子关于入的匆列,如果住 , ,弱收敛到仍且一入寸佗÷。.下面将给出微分算式生成的微分算子的相关概念.定义.设切:壹。七可七是区间,上的微分算式,称壹习可可七为幻七 七的共轭微分算式,记为三.如果,那么称微分算式三是对称的.注.偶数阶对称微分算式的一般形式为切一七。七可知,七其中是钆是实函数.特别地,二阶对称微分算式是二可一可,其中和都是实函数,通常称这个微分算式为&一厶叫优算式.根本性质本节给出本文中根本概念的相关性质.引理.假设是有界线性算子,的值域冗是有限维的,那么是全连续算子绒紧的线性算子.引理.设,是空间,是从到的缌生算子,那么以下表达是等价的:是

25、全连续算子是一个有界集,那么包含在的一个紧子集中;是一个有界集,那么包含在的一个自列紧的子集之中对于中的任何有界点列,乳中包含一个中的收敛的子列对于中的任何有界集,是中的完全有界集.引理.的亏指数仅与在上下平面的位置有关,而与入的取值无关.引理.设是空间日中的闭对称算子,其亏指数为一,那么存在对称扩张的充要条件是?;存在自伴扩张的充要条件是一是最大对称算子但非自伴算子的充要条件是一,中恰有一个等于毋是自伴的充要条件是一.引理.假设为对称算子,那么的特征值为实数,且对应于不同特征值的特征元素相互正交.特别地,假设为自伴算子,那么的特征值也为实数,且对应于不同特征值的特征元素也相互正交.引理.设是

26、空间日上的自伴算子,那么听.引理.自伴算子的谱集中的任意离散点都是的特征值.引理.设是空间日上的自伴算子,那么以下表达是等价的:吼;存在关于的匆列对于,疵取一毋一。.引理.,铲恒等式,对于任意的,三,有训一出瓦两刍纠吐其中一影,弘是切一溉,耖的共轭微分算式,【纠可孑一,丢是半双线性型.引理.,公式,对于任意的可三,名三,有,三可,名一矽,三/乏三矽一瓦阿】一曲口.,黝嬲删 【夕】 匆】第三章正那么端点处含特征参数且具有转移条件的奇异?问题不连续的砌一问题由于其在物理上的应用背景引起了人们越来越多的研究兴趣,比方质量和热量转换问题、绕射问题通常都会归结为带有转移条件的瑚一问题.对于具有转移条件的

27、不连续砌一问题特征值的相关性质,按特征函数展开等问题已为很多数学工作者所关注,其研究主要集中于不连续正那么微分算子,但对不连续的奇异微分算子的相关研究比拟少见.本章应用算子方法和函数论的方法,研究了正那么端点处边界条件含特征参数且一个内点处具转移条件的奇异珊一算子问题,结合转移条件定义新的内积,把所研究的问题转换成一个新直和空间中相应的奇异算子问题,在新空间下得到了该算子是自伴算子,它的特征值与所研究问的特征值是一致的;通过所研究问题的根本解,获得了其特征值是实的至多有可数多个且下方有界及特征值刚好其判别函数的零点.进一步给出了其特征值的渐近公式.根本问题考虑对称微分方程三:一矿矽, .和依赖

28、于特征参数的边界条件三暑:入耖一一秒一一剪一一口可一, .:口【可】可,】, .及处具有转移条件:可,一一一一 .,:仡妙艘影一秒一一如一 .所生成的微分算子问题,其中,【,/衍,【,/建,是正实数;三,入是复特征参数;系数巧,肋,%,歹,.极限可士罂.琴是有限的.可,抛是方程一可,拶的两个线性无关解且【可抛】本章假设切在处是极限圆型的,式。.一.中的系数满足口。,三:三:。,:三:。,窆:。.注.由于切在点处是极限圆型的,那么由引理.和引理.知,詹吼可如,.詹.的给定是合理的.问题的自伴性在区间上平方可积的复值可测函数全体组成的空间日【,中定义如下内积:,日,夕磺/瓣厕/,五两,一 .,其中

29、,【一,;,;,【一,;仇,.中定义内积:在线性空间日日,啊/,歹石弘磁/,两出三南面丽孥三南面“,啊仁瓣磁 .,一其中.【,而日:,日,那么日是一个空间.为了简便记:一暑可一一秒一, 二可,一一一.在空间日中定义算子,其定义域为日:可,秒一,/,可,.切日,矽士,矽,士是有限,厶矽,珈二可】.令吖秒,可,那么问题.可以写成:入其中勋二,白,可,可日.于是,我们可以在空间日中通过方程吖入来研究问题.,显然,我们有定理.问题.一.的特征值与算子的特征值是一致的,其特征函数是算子的相应特征函数的第一个分量.定义.我们把,夕;,夕一,称为,和夕的渐嬲幻行列式.特别地,我们把瑚,别记作为,.定理.算子

30、是觑庀空间日中的自伴算子.证明本定理的让明分以卜二个晋;分:由定理.【】易知,口在日中是稠密的.下面证明在日中是对称的.对于任意的,有,助;/,两翻/,耳孔妇三一.厅多面.,助;,丽如翻,珊兰一,百丽. .,一由分部积分可得,广前/,丽出卉/,丽出雪;一一,雪;一。.,一.,一建,丽如建,瓦砚,雪;一彬,雪;。因此,.,口,亘生,雪旧兰?,百巧一二,百面.由定义.和转移条件。.一.知,.加;罢加;.由边界条件.一。.和引理.可得,口一,百巧一二,百面,雪;一, ,雪; .将式.一.代入式.中,得.接下来证明在日中是自伴的.要证在日中是自伴的,只需证明对于任意的,假设 ,那么且,其中夕,九丁,叫

31、,七,即:日;夕,一, 夕,必,;三;.伽三;日 ,由 ,伽和经典的理论可知,和成立.由及任意的,等价于.毗兰元钆,功兰石码,.由分部积分得,口矿,雪与矿,雪.将式.代入式。.得,.兰而。,口,酬与,列兰无一?,由补缀引理知,存在,使得【,】,抛】,士,士,一,一将上式代入式.中可得,成立.同理可得,成立.由盯补缀引理知,存在,使得,士,士,一,一,【,】可】,【,抛】一口阿沈】将上式代入式。.得,夕.同理可得,厶夕,.口综上所述,在日中是自伴的.推论.问题.一.的特征值是实的,且假设,是它的两个不同的特征值,其相应的特征函数分别是,那么在内积.,.日下是正交的,即:丽如兰二。钍百币。.助;仳

32、瓦动厕.特征值的性质引理.【】假设是区间口,上的实值函数,入,入是给定的整函数,那么对于任意的,方程:一矽秒,存在满足如下初值条件的唯一解矽,入:口, 正且对于,入是关于的整函数.令:,入是方程.满足初值条件可一一, 可一一口的解,那么我们可以得到方程.满足初值条件儿可矽咖一,口硝一,入,化可舰矽如一,口纠一,的唯一解:,入.因此,在区间,【一,上定义函数:砂,入,:二:支;:二茎墨:;显然,满足边界条件.和转移条件.一.同理,我们可以定义函数:入:,入一,.,【,入,使其满足边界条件.和转移条件.我们把上面定义的两个函数,入,称为方程.在区间,【一,上的两个根本解.下面将用到的记号:可:可一

33、一一一一一可一:【可可】【】秒:剪一可一一一可:耖一一一口一 加 加 形咖 加 屯 红尬由于卜问题的行列式如,施;是不依赖于,因此,函数蚍:咖,勉;是的整函数.从而,我们有定理.对于任意的入,:.证明由于而行列式加,;是不依赖于珀勺,因此,忱入:忱:咖地¨钙砭由转移条件.一.知,入,吕轰二兰;萎;二兰;罢入,.口定理.对于任意的,譬.证明由如,船,和的定义知,一,入,二:三:二兰;:差二兰;:妻:三;:竺:芝:兰;咖一口一如一一入,笔:三:二昌:翥二昌:妻:二昌:二;二暑知口由定理.知,的零点与的零点是一致的,因此,我们把函数:?多入,称为问题.的判别函数.定理.问题.。.的特征值与

34、判别函数入的零点是一致的.证明首先证明判别函数的零点是问题.一.的特征值.假设,那么入.因此,函数锄知,知是线性相关的,即忱沁七知,忌.由沁满足边界条件.知,九沁满足边界条件。.故,入是对应于知的特征函数,即是问题.的特征值.接着证明问题.的特征值是判别函数的零点.假设知是问题.。.的任一特征值,那么知.下面利用反证法证明,不妨假设知是问题.的特征值,而叫入.设,知是对应于特征值知的任一特征函数,那么咖,知可以表成入 入 ,;弘 入,、 、,入一哆西也如 ,、, 、,、, ,、, 、,、, ,一,其中,至少有一个不为零.由于咖,入是对应于特征值知的特征函数,因此,满足边界条件.和转移条件.一.

35、,即厶咖,入,.由知,上面方程组的系数矩阵的行列式知譬入.因此,口,这与,至少有一个不为零矛盾,故知,即知.定理.问题.一.的实特征值是下方有界的.口证明本定理的证明见下节注.特征值的渐近公式定理.令入,砧,那么问题.,.的根本解,入满足如下积分方程:未一毗未?去毗?未出譬仁未脚砒四础未州加熊型些必警鳖坐出趔未蚺虹坠塑型型型虫坐型巡集“譬未陋酬州】四排成其中七,.证明由于是如下初值问题的解一可,【一,。白秒, 一,可一一,矿一一.应用常数变易法可得,咄。未咄蚍?啦譬仁铷四雠武.对上式求导可得,烈入一一口 一,;/一必.,一由也是如下初值问题的解硎,可:赴,暑妒一口纠一口可矿先一蛾一那么州班鲤型

36、型监等型虹必触生二丝皇垒苎生里±丝二丝呈兰丛墨二里譬霉耽一屯式.对上式求导可得,钙一警【化口一如入一一如纠一】一化咖一一陇口硝一】耽旌/一必.口定理.令,钇,那么当?一。时,函数,具有如下渐近式,并且对于【一,】是一致成立的:当时,杀帆:郴杀蚪¨咖计,未耽?恸嘲,七。.未也施警加如一应%当时,杀帆詈杀?。训外,未。仡印?时四,七,.未也施等比%一耻%证明应用引理易得的渐近公式.下面给出赴的渐近公式,其中锄是满足如下初值问题的解:儿可暑,口,一可一,仍可艘可如 ,一如一.将时的渐近式代入上式并注意到 。名, 名,。可纯一船一 如。警陇一如?如一以 】.嚣【如一舰册一加武。?饥

37、却归譬令?,霉,入,那么,一七斗忱九入.记群】阶,姚那么入%口一舳如裔?因此,当?一。时,即?砌?一。,并将其代入.中可得中凫情形关于锄的结论.口同理,应用与中七的情形相同的过程,我们可以得到其他相关的结论.应用与定理.的相同的过程,我们得定理.令,沈,那么当?÷。时,函数勉,具有如下渐近式,并且对于【,】是一致成立的:未。等。:目一舰。沈未。跗叫圳嘲,未:未沈一。舳卜兵中后,.定理.令入,那么当?寸时,判别函数入具有如下渐近式:当时,础?帆例;型净%一脚当时,一竺乎堕如一成伊慨.证明将定理.和定理.中关于咖,勉,的渐近公式代入.口中即可得到本定理的结论,这里不再赘述.注.定理.的证

38、明证明令让并将其代入入中可得,当.÷时,一。.口因此,当一充分小时,这就说明实特征值是下方有界的.定理.问题.的特征值至多有可数多个,且当佗÷时,其特征值渐近式有如下两类:当时,.佗肛等卅丢或肛等丌当时,三.肛鲁丌删去,或肛鲁丌证明当时,令入入,那么入?,舭州入学舳%一脚下面我们应用熟知的芭定理,即假设,在封闭曲线吒碟: ?一佗一% 旦, 仡一 一一% 扛旦.一一一 内解析,且,那么,在封闭曲线内具有相同个数的零点.显然,在曲线内,有.设入?是入入入的零点,且.不妨假设在曲线内,有此,在一;,】内,入有且仅有礼个零点,这说明入有且仅有可数个孤立的零点.令屈鲁丌如,晶蠢,那么

39、当佗时,将镢代儿中,得“击.同理,我们可以得到第二类特征值的渐近公式为肛鲁丌争综上所述得:当时,问题.一.的特征值的渐近式为压丌或肛鲁丌?口应用与上面相同的过程,我们可得情形的结论.第四章 两个边界条件含特征参数的不连续奇异.问题在前一章的根底之上,进一步研究两个边界条件中都含特征参数且在区间内部具有一个不连续点的奇异,】.问题,通过构造一个新空间,把所研究的问题转换成此空间下相应的算子问题,得到了该算予是自伴算子;通过给定的边界条件,将特征值问题转化为判别函数的零点问题,得到了其特征值的相关性质;通过其问题的根本解,给出了其特征值的渐近公式.根本问题考虑对称微分方程:一秽入矽, .和依赖于特

40、征参数的边界条件:可一秒口一口一可, .:卢阿剪】一抛】侥耖】一屁沈】, .及在内部口,处具有转移条件工:一,可一一,秽一 .可:可一仇可一一饱可一 .所生成的微分算子的渐近分析,其中【口,/瑶,陋,膈,是正实数;三,入是复特征参数;系数巧,助,%,.,.极限夕吐骧。可是有限的?设矽?,抛是方程一矿可的两个线性无关解且满足眈】.本章假设切在处是极限圆型的且式.中的系数满足口旧三小帅 :。,乏:。.注.由于切在点处是极限圆型的,那么由引理。.和引理.知,巩三可出,参丽如和【秒】是存在的,故胁】存在.同理,【秒】存在.因此,边界条件.的给出是有意义的.问题的自伴性在区间,上平方可积的复值可测函数全

41、体组成的空间日中定义如下内积, ,夕日仰/,丽出建/,丽如,.厂,夕.,口 .,其中,【,尼,。,.在线性空间日日 中定义内积:,日,玩三南面去痢,其中,夕,卯,姗日,如,卯,姗那么日是一个觑空间.为了简便记:玩口可一口口,碰可,口一口暑,岛秒愚【】一历抛】,磁可卢阿】一卢【可抛】.在空间日中定义算子其定义域为日:,爿【,厶,以,三,研,士,吐是有限,厶,江,如磁磁,.令吖勋,玩可,玩,其中勋切,那么问题.可以写成其中可,或,磁.于是,我们可以在胁空间日中通过方程盯来研究问题.,显然,我们有定理.问题.的特征值与算子的特征值是一致的,其特征函数是算予的相应特征函数的第一个分量.定义.我们把夕;

42、,协一,称为,和夕的惭伽切行列式.特别地,我们把定【,别记作为.定理.算子是空间日中的自伴算子.口证明本定理的证明可以参看定理.的证明过程.推论.问题.。.的特征值是实的,且假设,入是它的两个不同的特征值,其相应的特征函数分别是,口,那么在内积.,.日下是正交的,即:懈/。砑如疠/珏砸如三或以硒去玩琢。.特征值的性质引理.【】.】假设是区间,上的实值函数,入是给定的整函数,那么对于任意的,方程三:一口剪,存在满足初值条件可,可夕入,的唯一解材可,且对于,入是关于入的整函数.令:,是方程.满足初值条件矽口一入,矽一入口的解,那么我们可以得到方程.满足初值条件矽一饥一一,可一,暑一仇剪一一仇可一的唯一解.因此,在区