2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详版答案

1、2015 年入学统一数学（三）试题2015 年入学统一数学（三）试题一、选择题:1 : 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指(1)设xn 是数列,下列命题中不正确的是置上.()(A) 若lim xn = a ,则 lim x2n = lim x2n +1 = an®¥n®¥n®¥若lim x2n = lim x2n +1 = a , 则lim xn = a(B)n®¥n®¥n®¥(C) 若

2、lim xn = a ,则 lim x3n = lim x3n +1 = an®¥n®¥n®¥(D) 若lim x3n = lim x3n +1 = a ,则lim xn = an®¥n®¥n®¥【】(D)】考查数列极限与子列极限的关系。数列收敛，那么它的任何无穷子列均收敛，所以 A 与 C 正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的。B 正确，D 错,故选 Df ( x ) 在(-¥, +¥) 内连续

3、,其 2 阶导函数 f ¢( x ) 的图形如右图所示,则曲线(2) 设函数f ( x ) 的拐点个数为y =()(A) 0】(C)(B) 1(C) 2(D) 3【】根据拐点的必要条件，拐点可能是 f ¢(x) 不存在的点或 f ¢(x) = 0 的点处产生。所以【函数 f ¢(x) 符号发y =f (x) 有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；生改变的点即为拐点。所以从图可知，拐点个数为 2，故选 C.D = ( x, y ) x 2 + y 2 £ 2x, x 2 + y 2 £ 2y ,函数 f ( x, y )

4、 在 D 上连续,则1(3) 设2015 年入学统一数学（三）试题òò f ( x, y )dxdy =D()pp2cosq2sinqf (r cosq, r sinq)rdr +(r cosq, r sinq)rdròòòò(A)4 dq2 dqfp0004pp2sinq2cosqf (r cosq, r sinq)rdr +(r cosq, r sinq)rdròòòò(B)4 dq2 dqfp00041x(x, y )dy(x, y )dyòò(C) 2dxf1- x2

5、1-02 x- x21òò(D) 2dx【】(B)f0x【】根据图可得，在极坐标系下该二重要分成两个区域D = ì(r,q) 0 £q£ p, 0 £ r £ 2 sinqý= ì(r,q) p £q£ p, 0 £ r £ 2 cosü Düqýíí12442îþîþpp2sinq2cosqòòDòòòòf (x,

6、y)dxdy = 4 dqf (r cosq, r sinq)rdr + 2 dqf (r cosq, r sinq)rdr所以，选p0004B。(4) 下列级数中发散的是()¥¥n311ån=1ån=1ln(1+)nn(A)(B)n¥(-1)n +1¥n!ån=2【】(C)ån=1(C)(D)ln nnnn +1n +1¥1n3n+1n< 1 ，所以根据正项级数的比值判别法å= lim=【】A 为正项级数，因为 limn=1 3n3n3n®¥n®¥

7、3nln(1+ 1 ) :n1n1¥1nln(1+ 1 )n，根据 P 级数收敛准则，知ån=1收敛；B 为正项级数，因为收敛；3n2¥ån=1(-1)n +1 = å¥ (-1)n¥+ ån=1¥ån=1(-1)n¥ 1，根据ln n 1ln nån=1C，判别法知收敛，发散，ln nln nln nn=122015 年入学统一数学（三）试题¥(-1)n +1所以根据级数收敛定义知， ån=1(n +1)!发散；D 为正项级数，因为ln nön

8、(n +1)n+1n!(n +1)!nnæn1= limn+1 = lim ç=<1 ，所以根据正项级数的比值判别法limn®¥÷n!(n +1)n®¥ è n +1 øen®¥nn¥n!ån=1收敛，所以选 C。nnæ1 öæ1ö1241ç÷ç÷a ÷ , b = ç d ÷ .若集合W = 1, 2 ，则线性方程组 Ax = b 有无(5)设矩阵

9、A = ç1ç÷ç12 ÷ç2 ÷aèøè dø穷多解的充分必要条件为：()(A) a ÏW, d ÏW(B) a ÏW, d ÎW(C) a ÎW, d ÏW】(D)æ1(D) a ÎW, d ÎW【1241a a21döæ 11101a -1(a -1)(a - 2)1ö÷】( A, b) = ç1÷ ® ç 0d

10、 -1【ç÷ç÷ç1÷ç 0(d -1)(d - 2) ÷2dèøèø ，由 r( A) = r( A, b) < 3 ，故 a = 1或a = 2 ，同时 d = 1或 d = 2 。故选（D）f (3 ) 在正交变换x = Py 下的标准形为 2 y2 + y2 - y2 ， 其中(6) 设二次型123P = (e1, e2 , e3 ) ，若Q = (e1, -e3 , e2 ) 则 f = (为()3) 在正交变换 x = Qy 下的标准形(A) 2 y2 -

11、y2 + y2(B) 2 y2 + y2 - y2123123(C) 2 y2 - y2 - y2(D) 2 y2 + y2 + y2123123【】(A)】由 x = Py ，故f = xT Ax = yT (PT AP) y = 2 y2 + y2 - y2 .且【12332015 年入学统一数学（三）试题æ 20 ö010PT AP = ç 00 ÷ç÷ç 0-1÷ .èæ 1ø00-10 öQ = P ç 01 ÷ = PCç÷

12、ç 00 ÷èøæ 20 ö0-1 0QT AQ = CT (PT AP)C = ç00 ÷ç÷ç 01 ÷èøf = xT Ax = yT (QT AQ) y = 2 y2 - y2 + y2 。选（A）所以123(7)若 A, B 为任意两个随机,则:()(A) P ( AB ) £ P ( A) P (B )(B) P ( AB ) ³ P ( A)P (B )P ( A) + P (B )2P ( A) + P (B )2P (

13、 AB ) £P ( AB ) ³(C)(D)【】(C)】由于 AB Ì A, AB Ì B ，按概率的基本性质，我们有 P( AB) £ P( A) 且 P( AB) £ P(B) ，【P( A) + P(B)从而 P( AB) £，选(C).2 B (m,q),(8) 设总体 Xn 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均é n()2 ù值,则 E å X - Xú =()êiëi=1û(m -1) nq(1-q)(B) m (n -1)q(1-q)

14、(D) mnq(1-q)(A)(C) (m -1)(n -1)q(1-q)【】(B)1nåi【】根据样本方差 S =(X - X ) 的性质 E(S ) = D( X ) ，而 D( X ) = mq(1 -q) ，222n -1i=142015 年入学统一数学（三）试题n从而 Eå( X - X )2 = (n -1)E(S 2 ) = m(n -1)q(1 - q) ，选(B) .ii=1二、填空题：9 : 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将置上.写在答题纸指ln(cos x)=.(9) limx2x®0【】 - 1 2】原极限= lim ln(1

15、+ cos x -1) = lim cos x -1 = - 1【x2x22x®0x®02xò(10)设函数 f (x) 连续，j【】 2(x) =xf (t)dt, 若jj¢(1) = 1,(1) = 5, 则 f (1) = .02x【】因为 f (x) 连续，所以j(x) 可导，所以j¢ò(x) =f (t)dt + 2x f (x )22；01j(1) = 1ò，所以j(1) =f (t)dt = 1因为01j¢ò(1) = 5j¢(1) =f (t)dt + 2 f (1) = 5又因

16、为，所以0故 f (1) = 2(11)若函数 z = z(x, y) 由方程ex+2 y +3z + xyz = 1 确定，则dz【】 - 1 dx - 2 dy=.(0,0)33】当 x = 0 ， y = 0 时带入ex+2 y +3z + xyz = 1，得 z = 0 。【对ex+2 y +3z + xyz = 1求微分，得d (ex+2 y +3z + xyz) = ex+2 y +3zd (x + 2 y + 3z) + d (xyz)= ex+2 y +3z (dx + 2dy + 3dz) + yzdx + xzdy + xydz= 0把 x = 0 ， y = 0 ， z

17、= 0 代入上式，得 dx + 2dy + 3dz = 0= - 1 dx - 2 dy所以 dz(0,0)3352015 年入学统一数学（三）试题(12) 设函数 y = y(x) 是微分方程 y ¢ + y¢ - 2y = 0 的解， 且在 x = 0 处取得极值 3 ， 则y(x) =.【】 y(x) = e-2 x + 2ex【】 y ¢ + y¢ - 2 y = 0 的特征方程为l2 + l- 2 = 0 ，特征根为l= -2 ， l= 1，所以该齐次-2 x微分方程的通解为 y(x) = C e+ C e ，因为可导，所以 x = 0 为驻点

18、，即xy(x)12y(0) = 3 ， y¢(0) = 0 ，所以C1 = 1 ， C2 = 2 ，故 y(x) = e-2 x + 2ex(13)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2, -2,1 ， B = A2 - A + E , 其中 E 为 3 阶矩阵，则行列式=.】 21】 A 的所有特征值为2, -2,1. B 的所有特征值为3, 7,1.B【所以| B |= 3´ 7 ´1 = 21。(14)设二维随量( X ,Y ) 服从正态分布 N (1, 0;1,1; 0) ，则 PXY -Y < 0 =.12【】由题， X N (1,1),Y N (0,

19、1) ，而且 X、Y 相互【，从而PXY - Y < 0 = P( X -1)Y < 0 = PX -1 > 0,Y < 0 + PX -1 < 0,Y > 01´ 1 + 1´ 1 = 1 .= PX > 1PY < 0 + PX < 1PY > 0 =22222三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)设函数 f (x) = x + a ln(1+ x) + bx sin x, g(x) = c = kx 3 .若

20、f (x) 与 g(x) 在 x ® 0 时是等价无穷小，求 a, b, k 的值.62015 年入学统一数学（三）试题-1-13】 a = -1,b =, k =2】法一：【因为ln(1 +3) ， sin3) ，那么，(1+ a)x + (b - a)x 2 + a x3 + o(x3)f (x) = lim x + a ln(1 + x) + bx sin x = lim231 = lim，kx 3®0ìï1+ a = 0ìï a = -1ïïïaï1可得： íb - 2 = 0

21、 ，所以， íb = - 2 ïïïîïïk = - 1a3k= 1ïî3法二：解：由题，得a1+1+f (x) = lim x + a ln(1+ x) + bx sin x1 = lim= limkx33kx2g(x)x®0x®0x®0a1+由分母lim 3kx2 = 0 ，得lim(1+) = lim(1+ a) = 0 ，求得 c；x®0x®0x®011+1-f (x)于是1 = lim= lim3kx2g(x)x®0x

22、4;0= lim x + b(1+ x) sin x + b3kx（2 1+ x）x®0= lim x + b(1+ x) sin x + b3kx2x®0= lim 1+ b sin x + b(1+ x) cos x + b(1+ x) cos x + bx cos x - b6kxx®0由分母lim 6kx = 0 ，得x®0lim1+ b sin x + 2b(1+ x) cos x + bx cos x - b= lim(1+ 2b cos x) = 0， 求得x®0x®072015 年入学统一数学（三）试题b = - 1

23、；2进一步，b 值代入原式1- 1 sin- 1(1+ x) sin xf (x)221 = lim= limg(x)6kxx®0x®0- 1 cos+ 1(1+ x) cos x) sinsin22= lim6kx®0- 1= 26k，求得k = - 1 .3(16)(本题满分 10 分)计算二重òò x(x + y)dxdy ，其中 D = (x, y) x 2 + y 2 £ 2, y ³ x 2.Dp2】-【45】 òò x(x + y)dxdy = òò x2dxdy【DD2

24、- x21òòx2= 2dx2x dy01ò= 22 )dx0p2 x= 2 sin t251= 2òòx22 - x2 dx -=22 sin t2 cos tdt -224500pp2p 22 u =2tòò= 2sin 2tdt -=sin udu -=-.2242554500(17)(本题满分 10 分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量， P 为价格，MC 为边际成本，h为需求弹性(h> 0) .MC(I)证明定价模型为 P =；11-h82015 年入学统一数学（三

25、）试题2 ，需求函数为Q = 40 - P ，试由（I）中的定价模(II) 若该商品的成本函数为C(型确定此商品的价格.】(I)略(II) P = 30 .】(I)由于利润函数 L(Q) = R(Q) - C(Q) = PQ - C(Q) ,两边对Q 求导，得【dLdQ= P + Q dP - C ¢(Q) = P + Q dP - MC .dQdQdLP dQdP1 P当且仅当= 0 时，利润 L(Q) 最大，又由于h= -×,所以= -×,dQQ dPdMC故当 P =时，利润最大.11-h= 2(40 - P) ,则h= - PdQ =P(II)由于 MC

26、= C¢(代入(I)中的定价模型，Q dP40 - P2(40 - P)P = 30 .得 P =40 - P ,从而1-P(18)(本题满分 10 分)设函数 f (x) 在定义域 I 上的导数大于零， 若对任意的 x0 Î I ， 曲线 y = f (x) 在点(x0 , f (x0 ) 处的切线与直线 x = x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f (0) = 2 ，求 f (x) 表达式.8f ( x) =【】4 - xf ( x0 )ö, 0) ，切线与 x 轴的交点为æ x】曲线的切线方程为 y - f ( x ) = f 

27、2;(-【çf ¢( x )÷000èø01 f 2 ( x )故面积为： S =0= 4 .f ¢( x0 )2f ( x) 满足的方程为 f 2 ( x) = 8 f ¢( x) ,此为可分离变量的微分方程,故f ( x) = -8 ，又由于 f (0) = 2 ，带入可得C = -4 ，从而 f ( x) =8x + C(19)(本题满分 10 分)4 - x92015 年入学统一数学（三）试题（I）设函数u(x), v(x) 可导，利用导数定义证明u(x)v(x)¢ = u¢(x)v(x) + u

28、(x)v¢(x);（II）设函数u1 (x), u2 (x),L, un (x) 可导， f (x) = u1(x)u2 (x)Lun (x) ，写出 f (x) 的求导公式.】 f ¢(x) = u1(x)u2 (x)Lun (x)¢【= u ¢(x)u (x)Lu (x) + u (x)u ¢(x)Lu (x) +L+ u (x)u (x)Lu ¢(x)12n12n12n】（I） u(x)v(x)¢ = lim u(x + h)v(x + h) - u(x)v(x)【hh®0= lim u(x + h)v(x

29、+ h) - u(x + h)v(x) + u(x + h)v(x) - u(x)v(x)hh®0= lim u(x + h) v(x + h) - v(x) + lim u(x + h) - u(x) v(x)hhh®0h®0= u(x)v¢(x) + u¢(x)v(x)（II）由题意得f ¢(x) = u1(x)u2 (x)Lun (x)¢= u ¢(x)u (x)Lu (x) + u (x)u ¢(x)Lu (x) +L+ u (x)u (x)Lu ¢(x)12n12n12n(20) (本

30、题满分 11 分)æ a10 ö设矩阵 A = ç 1a-1÷ ，且 A3 = O .ç÷ç 0a ÷1è(I) 求 a 的值；ø(II)若矩阵 X 满足 X - XA2 - AX + AXA2 = E ，其中 E 为 3 阶矩阵，求 X .-2 öæ 3111】 a = 0, X = ç 1-1÷【ç÷ç 2-1÷èø【】a1a1001a10(I) A3 = O ÞA = 0 

31、2; 1-1 = 1- a2-1 = a3 = 0 Þ a = 0-a0aa(II)由题意知102015 年入学统一数学（三）试题X - XA2 - AX + AXA2 = E Þ X (E - A2 )- AX (E - A2 )= EÞ ( E - A) X (E - A2 ) = E Þ X = (E - A )-1 (E - A2 )-1 =E - AE -()-1()éù2AëûÞ X = (E - A2 - A)-1-1 1-1æ01 öE - A2 - A = ç

32、;-11 ÷ ，ç÷ç -12 ÷è1M11M02M0øæ-10 öæ-1-1-1-1M0 1 M12 M0-1 000 ö00101ç -110 ÷ ® ç0 ÷0ç÷ç÷ç -1-11 ÷ç -11 ÷èø-1 0-1èø-1 0-1-1 1-2-1 10-1M 0-1M-1 1 M 0-1 100M30M11M2

33、-1M 0-1M-1-1M-2æ 10 öæ 10 ö® ç 00 ÷ ® ç 00 ÷ç÷ç÷ç 01 ÷ç 01 ÷èæ 1øèø-1öæ 1-2 ö0M20M11M20110101® ç 0-1÷ ® ç 01-1÷ç÷ç÷ç

34、; 0-1÷ç 01-1÷èøèø-2 öæ 31 X = ç 11-1÷ç÷ç 21-1÷èø(21) (本题满分 11分)-3ö-2b3æ02æ 10 ö设矩阵 A = ç -13-3÷ 相似于矩阵 B = ç 00 ÷ .ç÷ç÷ça ÷ç 01 ÷-21

35、2;øèø(I) 求 a, b 的值；（II）求可逆矩阵 P ，使 P -1 AP 为对角矩阵.-3-1öæ 2】 a = 4,b = 5, P = ç10-1÷【ç÷ç 01 ÷1èø】(1) A B Þ tr( A) = tr(B) Þ 3 + a = 1 + b +1【112015 年入学统一数学（三）试题2-3-2b30100001=Þ -13-3 =AB-21aìa - b = -1Þ ìa =

36、4í2a - b = 3íb = 5îî-3öæ 10 öæ -1-3öæ0202 A = ç-÷ = ç÷ + ç- ÷ = E + C-ç÷ç÷ç÷ç3 ÷ç 01 ÷ç3 ÷-201èæ -1øèøèø-3öæ -1

37、6;22-2C = ç -1-3÷ = ç -1÷ (13 )-2ç÷ç÷ç3 ÷ç 1 ÷1èøèøC 的特征值l1 = l2 = 0,l3 = 4l= 0 时(0E - C)x = 0 的基础解系为x = (2,1, 0)T ;x = (-3, 0,1)T12l= 5 时(4E - C)x = 0 的基础解系为x = (-1, -1,1)T3A 的特征值lA = 1+ lC :1,1, 5-3-1öæ 2令 P = (x,x ,x) = ç10-1