第6章线性离散系统的分析与校正5稳定性

1、6.5稳定性分析与线性连续系统分析相类似，稳定性分析是线性定常离散系统分析的重要内容。本节主要讨论如何在 z 域和 w 域中分析离散系统的稳定性。由第 3 章可知，连续系统稳定的充要条件是其全部闭环极点均位于左半 s 平面，s 平面的虚轴就是系统稳定的边界。对于离散系统，通过 z 变换后，离散系统的特征方程转变为 z 的代数方程，简化了离散系统的分析。 z 变换只是以 z 代替了eTs ，在稳定性分析中，可以把 s 平面上的稳定范围到 z 平面上来，在 z 平面上分析离散系统的稳定性。6.5.1 s 域到 z 域的设 s 域中的任意点可表示为s = s + jw ，z = e(s + jw)T

2、 = esT e jwT到 z 域成为(6-51)= esT ,Ðz = wTz(6-52)当s = 0 时，当s > 0 时，= 1，表示 s 平面的虚轴> 1，表示右半 s 平面< 1，表示左半s 平面zz到 z 平面上是一个圆周。到 z 平面上是圆以外的区域。当s < 0 时， z所示。到z 平面上是圆内部的区域。如图 6-17再观察w 由 -¥ 到 +¥ 变化时，相角Ðz 的变化情况。当 s 平面上的点沿虚轴从- ws 2圆从- p 逆时针变移到ws 2 时(其中ws = 2pT 为采样角频率)，z 平面上的相应点沿化到p

3、 ，正好转了一圈；而当 s 平面上的点在虚轴上从ws 2 移到3ws 2 时， z 平面上的相应点又将沿 圆逆时针转过一圈。依次类推，如图 6-17 所示。由此可见，可以把s 平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带，其中，从- ws 2 到ws 2 的周期带称为主频带，其余的周期带称为次频带。图 6-17 s 平面到 z 平面的6.5.2稳定的充分必要条件离散系统稳定性的概念与连续系统相同。如果一个线性定常离散系统的脉冲响应序列趋于 0，则系统是稳定的，否则系统不稳定。假设离散系统输出c*(t) 的 z 变换可以写为C(z) = M (z) R(z)D(z)式中，M (z)和D(z) 分别表示系

4、统闭环脉冲传递函数F(z) 的和分母多项式，并且D(z)的阶数高于 M (z) 的阶数。在脉冲作用下，系统输出nci zM (z)åC(z) = F(z) =(6-53)z - pD(z)i=1i式中， pi (i = 1, 2,3, n) 为F(z) 的极点。对式（6-53）求 z 反变换，得nåc(kT ) =c pk(6-54)iii=1若要系统稳定，即要使 lim c(kT ) = 0 ，必须有 | pi |< 1 (i = 1, 2,3, n) ，这表明离散系k ®¥统的全部极点必须严格位于 z 平面的圆内。此外，只要离散系统的全部极点均

5、位于 z 平面的圆之内，即| pi |< 1 i = 1, 2,则一定有, n ，nålim c(kT ) = limc p ® 0kiik ®¥k ®¥i=1说明系统稳定。综上所述，线性定常离散系统稳定的充分必要条件是，系统闭环脉冲传递函数的全部极点均位于 z 平面的圆内，或者系统所有特征根的模均小于 l。这与从s 域到 z 域讨论结果是一致的。的应当指出，上述结论是在闭环特征方程无重根的情况下推导出来的，但对有重根的情况也是正确的。例 6-18 设离散系统如图 6-14 所示，其中 G(s) =1 s(s +1), H (s

6、) =1，采样周期T = 1s。试分析系统的稳定性。解 系统开环脉冲传递函数é1ù(1- e-T )zé11ùzzG(z) = Z=Z-=-=(z -1)(z - e-T )êúêús(s +1)ss +1z -1z - e-Tëûëû系统闭环特征方程为D(z) = z2 - 2e-T z + e-T = z2 - 0.736z + 0.368 = 0解出特征方程的根z1 = 0.37 + j0.48,z2 = 0.37 - j0.48=0.37 2 + 0.482 = 0.

7、606 < 1，所以该离散系统稳定。zz因为12应当指出，当例 6-18 中无采样器时，对应的连续系统总是稳定的，引入采样器后，采样点之间的信息会丢失，系统的相对稳定性变差。当采样周期增加时，离散系统有可能变得不稳定。阶数较高时，直接求解系统特征方程的根很不方便，希望寻找间接的稳定判据，这对于研究离散系统结构、参数、采样周期等对系统稳定性的影响，也是必要的。6.5.3稳定性判据半s 平面。连续系统中的稳定判据，实质上是用来系统特征方程的根是否而在离散系统中需要系统特征方程的根是否都在 z 平面的圆内。因此在 z 域中不能直接利用判据，必须引入 w 变换，使 z 平面平面。成 w 平面上的

8、左半圆内的区域，(1) w 变换与 w 域中的如果令判据w + 1z =(6-55)w -1则有z + 1w =(6-56)z -1w 变换是一种可逆的双向变换。z = x + jy ，代入式(6-56)得变量w = u + jv(6-57)(x2 + y 2 ) -12 yu + jv =- j(6-58)(x -1)2 + y 2(x -1)2 + y 2= x2 + y2 > 1时， u > 0 ，表明 z 平面z由式（6-58）可知，当圆外的区域到= x2 + y2 = 1时，u = 0 ，表明 z 平面w 平面虚轴的右侧；当z为w 平面的虚轴；圆= x2 + y2 <

9、; 1时，u < 0 ，表明 z 平面z为w 平面虚轴的左侧，如图当圆内的区域6-18 所示。图 6-18 z 平面与 w 平面的对应关系一个离散系统是否稳定，可先将离散系统的 z 特征方程 D(z) 变换为 w 特征方程离散系统的稳定性。将这种方法称为wD(w) ，然后像线性连续系统那样，用判据域中的稳定判据。例 6-19 闭环离散系统如图 6-19 所示，其中采样周期T = 0.1s ，试确定使系统稳定的K 值范围。图 6-19 闭环离散系统结构图解 求出开环脉冲传递函数G(z) = Z éKù =0.632 Kzê s(0.1s +1) úz

10、 2 -1.368 z + 0.368ëû闭环特征方程为1+ G(z) = z 2 + (0.632K -1.368)z + 0.368 = 0令 z = (w +1) (w -1) ,得æ w +1ö2æ w +1ö+ (0.632 K -1.368)ç÷ + 0.368 = 0ç÷è w -1øè w -1ø化简后，得 w 域特征方程0.632Kw2 +1.264w + (2.736 - 0.632K) = 0列表w2w1w02.736 - 0.632

11、 K00.632 K1.2642.736 - 0.632 K从表第一列系数可以看出，为使系统稳定，必须满足0 < K < 2.736 = 4.330.6322.（Jury）判据判据是直接在 z 域内应用的稳定判据， 它直接根据离散系统闭环特征方程D(z) = 0 的系数闭环极点是否全部位于 z 平面的圆内，从而系统是否稳定。设线性定常离散系统的闭环特征方程为D(z) = a + a z + a z 2 +L+ a= 0zn012nan > 0 。排出其中如表 6-1 所示，其中第一行是特征方程的系数，偶数行的元素是奇数行元素的反顺序排列。表 6.1表 6.1 所示阵列中的元素

12、定义如下a0an-kb =(k = 0,1, n -1)，kaankb0n-1bn-k -1 bc =(k = 0,1, n - 2)，kbkp0p3p0p2pp0p1q =q =q，012ppppp303132则线性定常离散系统稳定的充要条件为D(1) > 0, D(-1) ì> 0,当n为偶数时í < 0,当n为奇数时î且以下 n -1个约束条件成立>><b0bn-1c0cn-2a0an， ，2当以上所有条件均满足时，系统稳定，否则不稳定。例 6-20 已知离散系统闭环特征方程为行数z0z1z2z3zn-kzn-2zn-1z

13、n123456 2n-52n-42n-32n-2a0 a1a2a3 an-k an-2 an-1 an an an-1 an-2an-3 ak a2 a1 a0 b0 b1b2b3 bn-k bn-2 bn-1bn-1 bn-2 bn-3bn-4 bk-1 b1 b0c0c1c2c3cn-kcn-2 cn-2 cn-3 cn-4cn-5ck-2 c0 p0p1p2p3p3p2p1p0q0q1q2q2q1q0D(z) = z 4 + 0.2z3 + z 2 + 0.36z + 0.8 = 0系统的稳定性。试用判据根据给定的 D(z) 知 a0 = 0.8,a1 = 0.36,a2 = 1,a3

14、= 0.2,a4 = 1。解首先，检验条件D(1) = 3.36 > 0,D(-1) = 2.24 > 0中的元素bk 和ck其次，列，计算a0 aa4 aa0 aa3 ab = -0.36 ，b = 0.088014041a0 aa2 aa0 aa1 ab = -0.2 ，b = -0.2234243= b0b3 b= b0b2 b= b0b1 b= 0.0896 ， c= -0.07168 ， c= 0.0896c012bbb303132列出如下。= 0.8 < a4 = 1,= 0.36 >= 0.2a0c0b0b3c2检验其它约束条件= 0.0896 =>c2c0，不满足的条件由稳定判据可判定，该离散系统不稳定。对于离散系统而言，采