利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

1、无利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧趣题引入趣题引入已知函数xxxgln)(设ba 0，证明：2ln)()2(2)()(0abbabgag分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。证明：1ln)(xxg，设)2(2)()()(xagxgagxF2lnln)2()(21)2(2)()(xaxxagxgxagxgxF当ax 0时0)( xF，当ax 时0)( xF，即)(xF在), 0(ax上为减函数，在),( ax上为增函数0)()(minaFxF，又ab 0)()(aFbF，即0)2(2)()(bagbgag设2ln)()2(2)()()(axxagxg

2、agxG)ln(ln2ln2lnln)(xaxxaxxG当0 x时，0)(xG，因此)(xG在区间), 0( 上为减函数；因为0)(aG，又ab 0)()(aGbG，即02ln)()2(2)()(axxagxgag故2ln)()2(2)()(axxagxgag综上可知，当ba 0时，2ln)()2(2)()(0abbabgag本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。技巧精髓技巧精髓一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一

3、个难点，也是近几年高考的热点。二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导无函数是用导数证明不等式的关键。1、利用题目所给函数证明、利用题目所给函数证明【例例 1】已知函数xxxf) 1ln()(，求证：当1x时，恒有xxx) 1ln(111分析：分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111) 1ln()(xxxg，从其导数入手即可证明。【绿色通道绿色通道】1111)(xxxxf当01x时，0)( xf，即)(xf在)0 , 1(x上为增函数当0 x时，0)( xf，即)(xf在

4、), 0( x上为减函数故函数( )f x的单调递增区间为)0 , 1(，单调递减区间), 0( 于是函数( )f x在), 1(上的最大值为0)0()(max fxf，因此，当1x时，0)0()( fxf，即0) 1ln(xxxx ) 1ln(（右面得证） ，现证左面，令111) 1ln()(xxxg，22) 1() 1(111)(xxxxxg则当0)(,), 0(; 0)(,)0 , 1(xgxxgx时当时，即)(xg在)0 , 1(x上为减函数，在), 0( x上为增函数，故函数)(xg在), 1(上的最小值为0)0()(min gxg， 当1x时，0)0()( gxg，即0111) 1

5、ln(xx111) 1ln(xx，综上可知，当xxxx) 1ln(111,1有时【警示启迪警示启迪】如果( )f a是函数( )f x在区间上的最大 （小） 值， 则有( )f x ( )f a（或( )f x ( )f a） ， 那么要证不等式， 只要求函数的最大值不超过0就可得证2、直接作差构造函数证明、直接作差构造函数证明【例例 2】已知函数.ln21)(2xxxf求证：在区间), 1 (上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方；分析：分析：函数)(xf的图象在函数)(xg的图象的下方)()(xgxf 不等式问题，即3232ln21xxx，只需证明在区间), 1 (上，恒

6、有3232ln21xxx成立，无设)()()(xfxgxF，), 1 ( x，考虑到061) 1 (F要证不等式转化变为：当1x时，) 1 ()(FxF，这只要证明：)(xg在区间), 1 ( 是增函数即可。【绿色通道绿色通道】设)()()(xfxgxF，即xxxxFln2132)(23，则xxxxF12)(2=xxxx) 12)(1(2当1x时，)(xF=xxxx) 12)(1(2从而)(xF在), 1 (上为增函数，061) 1 ()( FxF当1x时0)()(xfxg，即)()(xgxf，故在区间), 1 (上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方。【警示启迪警示启迪】本

7、题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数） ，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设)()()(xgxfxF做一做，深刻体会其中的思想方法。3、换元后作差构造函数证明、换元后作差构造函数证明【例例 3】证明：对任意的正整数 n，不等式3211) 11ln(nnn都成立.分析分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令xn1，则问题转 化 为 ： 当0 x时 ， 恒 有32) 1ln(xxx成 立 ， 现 构 造 函 数) 1ln()(23xxxxh，求导即可达到证明。【绿色通道绿色通道】令) 1ln(

8、)(23xxxxh，则1) 1(31123)(232xxxxxxxh在), 0( x上恒正， 所以函数)(xh在), 0( 上单调递增， ), 0( x时，恒有，0)0()( hxh即0) 1ln(23xxx，32) 1ln(xxx对任意正整数 n，取3211) 11ln(), 0(1nnnnx，则有【警示启迪警示启迪】我们知道，当( )F x在 , a b上单调递增，则xa时，有( )F x( )F a如果( )f a( )a，要证明当xa时，( )f x ( )x，那么，只要令( )F x( )f x( )x， 就可以利用( )F x的单调增性来推导 也就是说， 在( )F x无可导的前提

9、下，只要证明( )Fx 即可4、从条件特征入手构造函数证明、从条件特征入手构造函数证明【例例 4】若函数 y=)(xf在 R 上可导且满足不等式 x)(xf )(xf恒成立，且常数 a，b 满足 ab，求证： a)(afb)(bf【绿色通道绿色通道】由已知 x)(xf +)(xf0 构造函数)()(xxfxF，则)(xFx)(xf +)(xf0， 从而)(xF在 R 上为增函数。ba )()(bFaF即 a)(afb)(bf【警示启迪警示启迪】由条件移项后)()(xfxf x，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(xxfxF， 求导即可完成证明。 若题目中的条件改为)()(xfxf

10、x，则移项后)()(xfxf x，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。【思维挑战思维挑战】1、设xaxxxfaln2ln1)(, 02求证：当1x时，恒有1ln2ln2xaxx，2、已知定义在正实数集上的函数,ln3)(,221)(22bxaxgaxxxf其中 a0，且aaabln32522， 求证：)()(xgxf3、已知函数xxxxf1)1ln()(，求证：对任意的正数a、b，恒有.1lnlnabba4、（2007 年，陕西卷）)(xf是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足)()(xfxf x 0 ， 对 任 意 正 数a 、 b ， 若ab ， 则 必 有（）（A）af

11、(b)bf (a)（B）bf (a)af (b)（C）af (a)f (b)（D）bf (b)f (a)【答案咨询答案咨询】1、提示：提示：xaxxxf2ln21)(，当1x，0a时，不难证明1ln2xx0)( xf，即)(xf在), 0( 内单调递增，故当1x时，0) 1 ()( fxf，当1x时，恒有1ln2ln2xaxx无2、提示提示：设bxaaxxxfxgxFln3221)()()(22则xaaxxF232)(=xaxax)3)()0( x0a， 当ax 时，0)( xF，故)(xF在), 0(a上为减函数， 在),(a上为增函数， 于是函数)(xF在), 0( 上的最小值是0)()()(agafaF，故当0 x时，有0)()(xgxf，即)()(xgxf3、提示：提示：函数)(xf的定义域为), 1(，22)1 ()1 (111)(xxxxxf当01x时，0)( xf，即)(xf在)0 , 1(x上为减函数当0 x时，0)( xf，即)(xf在), 0( x上为增函数因此在)(,0