圆中的最值问题

1、圆中的最值问题【考题展示】题1 （2012年武汉中考）在坐标系中，点 A的坐标为（3 , 0），点B为y轴正半轴上的一点，点 C是第一象限内 一点，且 AC=2设tan / BOC=m贝U m的取值范围是 .题2 （2013年武汉元调）如图，在边长为1的等边 OAB中，以边AB为直径作O D,以O为圆心OA长为半径作 O O, C为半圆弧AB上的一个动点（不与A B两点重合），射线AC交O O于点E, BC=a , AC=b，求a b 的最大值.（有修改）题3 （2013年武汉四调）如图，/ BAC=60，半径长为1的圆O与/ BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以 P 为圆心，PA长为半径的

2、圆P交射线ABAC于DE两点，连接DE,则线段DE长度的最大值为 .题4 （2013年武汉五模）在厶ABC中，.A=120 , BC =6 .若 ABC的内切圆半径为 r，贝U r的最大值为 .（有修改）AE=DF连接CF交BD于点G,题5 （2013年武汉中考）如图，E, F是正方形ABCD勺边AD上两个动点，满足连接BE交AG于点H.若正方形的边长为 2，则线段DH长度的最小值是 题5图【典题讲练】 类型1 (相关题：题5)1.1如图，边长为a的等边 ABC的顶点A, B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点0的距离的最大值是1.2在直角坐标系中， ABC满足，/ C=90,

3、AC=8 BC=6点A, B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始 在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动(下图)，求原点0到点C的距离0C的最大值，并确定此时图形 应满足什么条件.1.3如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形 ABC / C=90, AC=BC=2点A、C分别在x轴、y轴上,当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动.(1) 当A在原点时，求点B的坐标；(2) 当OA=OC寸，求原点 0到点B的距离0B(3) 在运动的过程中，求原点0到点B的距离0B的最大值，并说明理由.1.4边长为2的等边 ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点 B在射线0D上移

4、动，/ AOD=45,则顶点C 到原点0的最大距离为.1.5如图，O O的直径为4, C为O O上一个定点，/ ABC=30 ,动点P从A点出发沿半圆弧 AB向B点运动（点 P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点 C作CP的垂线CD交PB的延 长线于D点.（1） 在点P的运动过程中，线段 CD长度的取值范围为 ;（2） 在点P的运动过程中，线段 AD长度的最大值为 .1.6如图，定长弦CD在以AB为直径的OO上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP丄AB于点P,若CD=3 AB=8贝U PM长度的最大值是 .1.7 如图，在 Rt AB

5、C中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3点D是平面内的一个动点，且 AD=2 M为BD的中点,在D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是 .类型2 （相关题：题4）则厶ABC2.1如图，已知 AB是O O的弦，C是O O上的一个动点，连接 AC BC, / C=60,O O的半径为2, 面积的最大值是.AC= OB22.2如图，已知直线 MN经过O O上的点A,点B在MN上，连0B交O O于C点，且点C是0B的中点,若点P是O 0上的一个动点，当 AB=2血时， APC的面积的最大值为 ABDPC面AB=5,则斜边上的高的最大值为2.3如图，半圆 0的半径为1, AC丄AB, BD丄

6、AB,且AC=1, BD=3, P是半圆上任意一点，则封闭图形积的最大值是2.5如图，若Rt ABC的斜边AB=2内切圆的半径为r，贝U r的最大值为2.6如图，在 ABC中，AB=10, AC=8 BC=6经过点 C且与边AB相切的动圆与 CB, CA分别相交于点 E, F, 则线段EF长度的最小值是 .2.7如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线AB经过点A（- 4, 0）、B（0, 4）, OO的半径为1 （O为坐标原点），PQ Q为切点，则切线长 PQ的最小值为2.8如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3,- 2） , O A的半径为1, P为x轴上一动点，PQ切O A于类型3 （

7、相关题：题3）3.1如图， ABC中，/ BAC=60，/ ABC=45 , AB=2&, D是线段BC上的一个动点，以 AD为直径画O O分别交AB AC于E, F,连接EF.(1) 探究线段EF长度为最小值时，点 D的位置，请画出图形;(2) 求出该最小值.3.2如图，在 ABC中，已知AB=5 BC=8 AC=7动点P、Q分别在边AB AC上，使 APQ的外接圆与 BC相切，则线段PQ的最小值等于类型4 (相关题：题2)4.1如图，点 C在以AB为直径的O O上，CDL AB于P,设AP=a PB=b.(1)求弦CD的长；(2)如果a+b=1O,求ab的最大值,并求出此时a, b 的值.

8、(参考 2.4、2.5 )4.2如图，半径为2的OO有两条互相垂直的弦AB和CD其交点E到圆心O的距离为1,则A$+CD=4.3如图，O O的半径为2，点P是OO内一点，且OP=二，过P作互相垂直的两条弦 AC BD则四边形ABCD 面积的最大值为.A,过A引互相垂直的弦 PQ RS求PQ+RSX值范围.4.5如图，线段AB=4, C为线段AB上的一个动点, 则O 0半径的最小值为以AC BC为边作等边 ACD和等边 BCE O 0外接于 CDE匚4.6在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画O O, P是O 0上一动点，且P在第一象限内，过点P作O 0的切线与x轴相交于点A,与y轴

9、相交于点B,线段AB长度的最小值是类型5 （相关题：题1）5.1如图，已知 A、B两点的坐标分别为（-2 , 0）、（0, 1） , O C的圆心坐标为（0, -1），半径为1 , D是O C上的一个动点，射线 AD与y轴交于点巳则厶ABE面积的最大值是5.2 如图，Rt ABC中，/ C=90,Z A=30, AB=4,以AC上的一点 0为圆心 OA为半径作O 0,若O O与边BC始终有交点（包括 B C两点），则线段AO的取值范围是5.3如图，在 Rt ABC中，/ C=90, AC=6, BC=8 D为AB边上一点，过点 D作CD的垂线交直线 BC于点E,则线段CE长度的最小值是5.4在

10、坐标系中，点 A的坐标为（3, 0）,点B是y轴右侧一点，且 AB=2,点C上直线y=x+1上一动点，且 CB 丄AB于点B,则tan .ACB = m，则m的取值范围是 .5.5如图，A点的坐标为（ 索：b a的最大值；-2 , 1）,以A为圆心的O A切x轴于点B, P（a, b）为O A上的一个动点，请分别探 b a的最小值；b - a的最大值；b - a的最大值；【拓展延伸】：b 2a的范围；b_2a的范围;类型66.1如图，CD是O O的直径，点 A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，求：(1)AP+BP的最小值.(2) AP- BP的最大

11、值.6.2如图，已知圆 0的面积为3 n, AB为直径，弧 AC的度数为80弧BD的度数为20点P为直径AB上任 一点，贝U PC+PD勺最小值为 .6.3如图，AB CD是半径为5的OO的两条弦，AB=8 CD=6 MN是直径，AB丄MN于点E, CDL MN于点F, P 为EF上的任意一点，贝U PA+PQ的最小值为 .B 6.4如图，AB是O O的直径，弦 BC=2cm F是弦BC的中点，/ ABC=60.若动点E以2cm/s的速度从 A点出发沿着AB方向运动，设运动时间为t( s)，连接EF、CE当t为秒时，CE+E撮小，其最小值是 6.5四边形 ABCD内接于圆，已知 / ADC=9

12、0, CD=4 AC=8 AB=BC设O是AC的中点.(1) 设P是AB上的动点，求 OP+PC勺最小值；(2) 设Q, R分别是AB AD上的动点，求 CQR的周长的最小值.补充练习(与例题类型不完全对应)1. 如图，已知直线I与O O相离，OAL I于点A, OA=5 OA与O O相交于点P, AB与O O相切于点B, BP的延长线交直线I于点C,若在O O上存在点Q使厶QAC是以AC为底边的等腰三角形，则O O的半径r的取值范 围为.2. 已知：如图， Rt ABC中，/ B=90o,Z A=30o, BC=6cm点O从A点出发，沿 AB以每秒 込cm的速度向B点方向运动，当点 O运动了

13、 t秒(t 0)时，以O点为圆心的圆与边 AC相切于点D,与边AB相交于E、F两 点，过E作EG丄DE交射线BC于 G.(1) 若点G在线段BC上，贝U t的取值范围是 .(2) 若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 .3. 如图，O M O N的半径分别为 2cm, 4cm,圆心距MN=10cm P为O M上的任意一点，Q为O N上的任意一点,直线PQ与连心线I所夹的锐角度数为 a,当P、Q在两圆上任意运动时，tana的最大值为.Q4. 如图，在矩形 ABCD中, AB=3, BC=4, O为矩形 ABCD的中心，以 D为圆心1为半径作O D, P为O D上的一 个动点，连接 AP

14、OP则厶AOF面积的最大值为 .5. 如图，在Rt ABC中，/ C=90, AC=8, BC=6经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点 P、Q,则线段PQ长度的最小值是.6. 如图，在等腰 Rt ABC中，/ C=90, AC=BC=4 D是AB的中点，点E在AB边上运动(点E不与点A重合)，过A D、E三点作O 0, OO交AC于另一点F,在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为 .7. 如图，A B两点的坐标分别为(2 , 0)、(0, 2) , O C的圆心的坐标为(-1 , 0)，半径为1,若D是O C上的 一个动点，线段 DA与y轴交于点丘，则厶ABE面积的最小值是 .&如图，等腰 Rt ABC中，/ ACB=9C , AC=BC=4 O C的半径为1,点P在斜边 AB上, PQ切O O于点 Q 则 切线长PQ长度的最小值为 .9.在直角坐标系中，点 A的坐标为(3, 0),点P ( m, n )是第一象限内一点，且AB=2贝U m_n的范围为10 .在平面直角坐标系中，M( 3, 4) ,