九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论例题和练习

1、九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习圆周角定理及其推论一、知识点总结1 圆心角： 顶点在圆心的角注意： 圆心角的底数等于它所对弧的度数2 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相 等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系 二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例 1 如图，AB 为。O 的弦，点 C D 为弦 AB 上两点，且 OC=OD 延 长 OC OD分别交。O 于点 E、F,试证明弧 AE=弧 BF.分析：“弧 AE=MBF”J“/ _二/_”把证弧相等转化为证 _证明：例 2 如图，点 O 是/ BPD 的平分线上的一

2、点，以 O 为圆心的圆和角 的两边分别交于点 A、 B 和 C、 D求证： AB=CD 分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距 _相等例 3 如图所示，已知 AB 为。O 的直径，CD 是弦，且 AB 丄 CD 于点 E， 连接 AC、 OC、 BC求证：/ ACO二/ BCD.（2）若 EB=8cm, CD=24cm,求。O 的直径.分析：（1）/ ACO 二/_,而/_=/_ .在 Rt/_中，利用勾股定理列方程求例 4 已知，如图，在/ ABC 中，AD, BD 分别平分/ BAC 和/ ABC,延长 AD 交/ ABC 的外接圆于 E,连接 BE.求证：BE=DE 分析：把证 BE=DE

3、 转化为证/ _ =/ _ 1. 如图 1,在。O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径，则下列结论中不正确的是（ ）2. 如图 2, BE 是半径为 6 的圆 D 的 14 圆周，C 点是 BE 上的任意一点， ABD 是等边三角形，则四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是（）2、已知 ABA CD同圆的两段弧，且 ABA=2CDA,则弦 AB 与 2CD 之间的关系为（ ）A、AB=2CD B ABV2CD C AB 2CD D 不能确定4、 下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是

4、圆的对称轴5、 在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60，则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：等弧的长度相等；直径是圆中最长的弦；相等的圆心角对的弧相等； 圆中 90角所对的弦是直径； 同圆中等弦所 对的圆周角相等其中正确的有（ ）7、如图 3, AB 是OO 的直径，AB 二 AC, BC 交OO 于点 D, AC 交OO 于点 E,ZBAC=45，给出下列五个结论：/EBC=22.5 :BD=DCAE=2EC劣弧 AE 是劣孤 DE 的 2 倍；AE=BC 其中正确结论的序号 是（）图 1图 2图 38如图所示，OO 半径为 2,弦，A 为弧 BD 的中点，E 为弦 AC 的中点， 且在

5、BD 上，则四边形 ABCD 的面积为9. 如图，在OO 中，AB 是直径，CD 是弦，AB 丄 CD.（1） P 是 CADA一点（不与 C、D 重合），求证：/ CPD 玄 COB（2） 点 P在劣弧 CD 上（不与 C、D 重合）时，/ CP D 与/ COB 有什么数量关系？请证明你的结论.3. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.1._ 如图1,ZA 是OO 的圆周角，且/ A= 35 ,则/OBC=_.2. 如图 2,圆心角/ AOB=100,则/ ACB=3:如图 3, AB 是OO 的直径，点 C, D, E 都在OO 上，若/

6、 C?ZD?/ E,则/ A?ZB?o.CF?EOD?4,4:如图 4,OO 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G,则？D?CO AB G B D 图 3 A 图 4 C图 24圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为 直角三角形的问题考点 2：圆周角定理1. 如图， ABC 中，/ A=60, BC 为定长，以 BC 为直径的。O 分别交 AB, AC于点 D, E.连接DE,已知 DE=EC下列结论： BC=2DE BD+CE=2DE其中一定正确的有（）2. 个圆形人工湖如图所示，弦 AB 是湖上

7、的一座桥，已知桥 AB 长 100m，测得圆周角/ ACB=45，则这个人工湖的直径 AD 为（）3. 如图 AB 是。O 的直径，A所对的圆心角为 60， BEA 所对的圆 心角为20，且/ AFC=Z BFD,/ AGD二/ BGE,则/ FDG 的度数为（ ）4. 如图，AB 是。O 的直径，C, D 两点在。O 上，若/ C=40,则/ ABD 的度数为（）1 题图2 题3 题4 题5:已知：如图，AD?是OO?的直径，/ABC二？30?,则/ CAD=_ .C6:已知OO 中，？C?30, AB?2cm,则OO 的半径为？cm. 7.已知：图 190如图等边厶 ABC 内接于OO,点

8、 P 是劣弧 BC 上的一点（端点除外），延长 BP 至 D,使 BD?AP,连结 CD.(1)若 AP 过圆心 0,如图，请你判断 PDC 是什么三角形？并说明理由(2)若 AP 不过圆心 0,如图， PDC 又是什么三角形？为什么？ 图 图8. 如图 AB 是圆 0 的直径，C 是圆0 上的一点，若 AC=8cm,AB=10cm,OD 丄 BC 于点 D,求 BD 的长9. 如图，在。0 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 P,ZCAB=40,ZAPD=65(1) 求/ B 的大小；(2) 已知圆心 0 到 BD 的距离为 3,求 AD 的长.10.10. 如图, AB、CD 是。0 的

9、两条弦，它们相交于点 P,连接 AD、BD,已知 AD=BD=4,PC=6,那么 CD 的长是11. 如图，已知点 C、D 在以 0 为圆心，AB 为直径的半圆上,且0C 丄 BD 于点 M , CF 丄 AB 于点 F 交 BD 于点 E, BD=8, CM=2.(1)求。0 的半径；( 2)求证： CE=BE.13.5. 圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6. 圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C 三点在圆 0 上，/ AOC=100,则/ ABC 等于()A. 140 B. 110 C. 120 D.

10、 130 7. 确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图 5 所示，为配 到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是()A.第块 B.第块C.第块 D.第块8. 三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形 的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角 形的外心.这个三角形叫做圆的内接三角形。直角三角形的外心在斜边上1. 如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、 B、 C。用直尺画出该圆弧所在圆的圆心 M 的位置；2. 如图，已知： ABC 是。0 的内接三角形，AD 丄

11、BC 于 D 点，且 AC=5,DC=3 AB=42,则O0 的直径等于3. 如图，在 RtAABC 中，/ ACB= 90，AC= 5，CB= 12, AD 是厶 ABC的角平分线，过 A、C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E，连接 DEo(1)求证：AC= AE;(2)求厶 ACD 外接圆的半径。思维导图如下：B综合练习一与/ BCE 相等的角有()一选择题1.如图，在OO 中，若圆心角/ AOB=100, C 是上一点，则/ ACB 等于 ()A80 B100 C130 D1402 .已知，如图,AB为。O 的直径，AB= AC, BC 交。O 于点 D, AC 交OO于点E,ZBA

12、O 45。 给出以下五个结论： / EBO22.5。 ： BD =DC;AE= 2EC;劣弧 AE 是劣弧 DE 的 2 倍；AE= BG 其中正确的 有 ()个A. 5B. 4C. 3D. 2第 1 题图第 2 题图第 3题图3. 如图，设OO 的半径为 r，弦的长为 a,弦与圆心的距离为 d,弦 的中点到所对劣弧中点222 的距离为 h,下面说法或等式：r?d?h 4r?4d?a已知 r、a、 d、h中任意两个，可求其它两个。其中正确结论的序号是 ()A.仅B.C.D.4 .如图，在OO 中，弦 AB 的长是半径 OAC 为 AB 中点，AB、OC 交于点 P,则四边形 OACB 是()A

13、.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形5. 如图所示，AB 是OO 的直径，AD=DE, AE 与 BD 交于点 C,则图中第 4 题图第 5 题图第 6 题图6. 如图所示，AB 是。O 的直径，弦 CD 丄 AB 于点 E,/ CDB= 30 ,OO，则弦 CD 的长为（）.A. 3cmB. 3cmC.D. 9cm 2二、填空题7.如图，AB 和 DE 是OO 的直径，弦 AC/ DE,若弦 BE=3,则弦CE=_ .第 7 题第 9 题8 .半径为 2a 的OO 中，弦 AB 的长为，则弦 AB 所对的圆周角的度数是 _.9 .如图，OO 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E,若AE=

14、5,BE=1,CD 则/ AED= .10. 如图所示，AB、CD 是OO 的两条互相垂直的弦，圆心角/ AOC=130，AD、CB 的延长线相交于 P,则/ P=_ .11. 如图所示，在半径为 3 的OO 中，点 B 是劣弧 AC 的中点，连接 AB 并延长到 D,使 BD=AB,连接 AC、BC CD,如果 AB= 2,那么 CD=_.A、2 个B、 3 个D、 5 个（第 1012 题图）题图） （第（第 11 题图）12.如图，MN 是OO 的直径，MN = 2,点 A 在OO 上，/ AMN = 30，点 B 为 AN 中点， P 直径MN 上的一个动点，则 PA+ PB 的最小值

15、是13 .已知OO 的半径 OA=2，弦 AB、AC 分别为一元二次方程 x2-（ 的两个根，则/ BAC 的度数为_ .三、解答题12. 如图， 在OO 中， AB?BC?CD OB, OC 分别交 AC, BD 于E、F,求证 OE?OF13. 如图所示，以交OO 于 G， ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，交 AD，BC 于 E，F， ?延长 BA求证： GE?EF.14. 如图所示，AB 是OO 的直径，C 为 AE 的中点，CD 丄 AB 于 D,交 AE于 F,连接 AC,求证：AF= CF.15. 如图所示，OO 的直径 AB 长为 6,弦 AC 长为 2,ZACB

16、 的平分线 交OO于点 D,求四边形 ADBC 的面积.综合练习二一、选择题1、如图 1,0O 的直径为 10,圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3, 那么弦 AB的长是（ ）A4B6C7D 82、如图 2,0O 的半径为 5,弦 AB 的长为 8, M 是弦 AB 上的一个动 点,则线段 OM 长的最小值为（ ）A2B 3C4D5图 1图 2图 33、过OO 内一点 M 的最长弦为 10 cm,最短弦长为 8cm，则 0M 的 长为（ ）A9cmB6cmC 3cmD41cm4、如图 3,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA、OB 在 0 点钉在一起，并使它们保持垂

17、直，在测直径时，把0 点靠在圆周上，读得刻度 0E=8 个单位，0F=6 个单位，则圆的直径为（）A12 个单位B10 个单位C1 个单位D15个单位5、如图 4,00 的直径 AB 垂直弦 CD 于 P,且 P 是半径 0B 的中点，CD?6cm,则直径 AB 的长是（）A如图 4 如图 5 如 图66下列命题中，正确的是（）A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C.弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D.在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7、 如图 5，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则

18、拱高为 （）A. 5 米B. 8 米C. 7 米D. 53 米8、 有 4 个命题，直径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；圆中最长的弦是通过圆心的弦；一条弦把圆分为两条弧，这 两条弧不可能是等弧。其中真命题是 （）A. B.C. D.9、 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB/ CD, AB=6cm, CD=8cm，贝 U AB 和CD 的距离是（）A. 7cm B. 1cmC. 5cm D. 7cm 或 1cm10、 如图 6，EF 是OO 直径，0E=5cm,弦 AB=8cm，EF 两点到 MN的距离之和等于 （二，填空题I、A、B 是半径为 2 的。O 上不同两点，则 AB 的取

19、值范围是 _.2 、在同一平面内， 1 个圆把平面分成 2 个部分， 2 个圆把平面最多分 成 4个部分， 3 个圆把平面最多分成 _个部分3、 如图，AB 是。O 直径，弦 CD 与 AB 交于 E,若_ ,则 CE=DE 只需填写一个 ）；4、 某圆半径为 4cm, 弦中点到所对劣弧中点的距离为2cm，则此弦长为 _ ；5、直径 30cm 的OO 中有两平行弦 AB 和 CD, AB=18cm, CD=24cm,贝寸 AB 与 CD 的距_ ；6、如图，OO 的直径为 10，弦 AB=8, P 是弦 AB 上的一个动点，那么 OP 长的取值范；7、如图，在半径为 6cm 的OO 中，两弦

20、AB 丄 CD 于 E,若 CE=3cmDE=7cm,贝卩 AB=_;8、 如图，C 是OO 直径 AB 上一点，过 C 作弦 DE,使 CD 二 CO,若40，则所对圆心角度数为 _ ； 所对圆心角度数为9、_ 半径为 1 的圆中，长度等于的弦所对圆心角是 _度；10、圆的一条弦分圆为 4：5 两部分，则其中优弧所对圆心角为 _度.A12cmB 6cmC8cmD 3cmII、 已知 AB 是OO 的直径，弦 CD 丄 AB, E 为垂足，CD=8, OE=1,则AB=_12、过OO 内一点 M 的最长的弦长为 6cm，最短的弦长为 4cm，则OM 的长等于 cm13、在半径为 10 的圆中有一条长为 16 的弦，那么这条弦的弦心距等 于三解答题1、如图所示，破残的圆形轮片上，弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点C,交弦 AB 于点 D。已知：AB?24cm,