大数定理与中心极限定理典型题解(全面版)资料

1、大数定理与中心极限定理典型题解（全面版）资料第四章 大数定理与中心极限定理典型题解1 计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差 相互独立且在(0.5,0.5)上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对 值超过15的概率是多少？解 设第k个加数的舍入误差为 Xk(k 1,2,1500),已知Xk在(0.5,0.5)上服从均匀分布，故知E(Xk)0,D(Xk)1500Xk，由中心极限定理,当n充分时有近似公式x(x)，P X 1500 0150012于是P x15 1 P x 15P 15 01 PX 015 X15150 1500 "12.1500 11

2、21500 215(15).1500.兀)" '1500 兀2 (一!51 2 (1.342) 21 0.90991500120.1802.即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802 .2. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现在从这批木柱 中地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率.解 以X记被抽取的100根木柱长度短于3m的根数，则X b(100,0.2).于是由中心极限定理得PX 30P30 X 30 100 0.2PJ100 0.2 0.8X 100 0.2100 0.2 30 20()(、16)100 0.2 0.8 .100 0.

3、2 0.81(2.5)1 0.9938 0.0062.3. 将一枚硬币投掷49次，(I )求至多出现28次正面的概率；(II )求出现20-25次正面的概率.解 以X表示49次投掷中出现正面的次数，则有 X b(49, 12). (I )由中心极限定理得2849 (2)(1)0.8413 ;1114922P X 28(II )由中心极限定理得20fl2549O2490.5557 0.0985 0.4572.4. 某厂有同号机器100台，且独立工作，在一段时间内每台正常工作的概 率为0.8 .求正常工作的机器超过85台的概率.解 设 为100台中正常工作的机器数，则B(100,0.8)，且 np

4、 E 80, npq D 16 .80485 804由中心极限定理可得所求概率为0 80 P 851P0851 P-41 (1.25)( 20)0.1056.5. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重 50kg，标准差5kg .若用最大载重量5t的汽车承运最多可以装多少箱才能保障 不超载的概率大于0.977 .解 设n为每辆车所装的箱数,i (i 1,2, n)是装运的第i箱的重量，且E i 50, D i 25 . n箱的总重量n有 E 50n,D 25n，由中心极限定理近似服从正态分布N(50n,25n).现求使下面不等式成立的P5000P50n5 n500050

5、n5n1000 10n0.977查正态分布表得100010n从而n 98.0199，即最大可以装98箱.6. 设一大批产品中一级品率为10%，现从中任取500件，这500件中一件 级品的比例与10%之差的绝对值小于2%的概率.E 50, D 45由中心极限定理得p|莎 01 002 P 50 10 p牆 总52 (1.49) 1 0.8638.7设一袋味精的重量是随机变量，平均值 100g,标准差2g求100袋味精 的重量超过10.05kg的概率.解 设i(i 1,2,100)第i袋味精的重量，100袋的总重量12100 ,而E i100, D i4，所以所求概率为P100501P010050

6、10 100P.而100100 10010050 100 10022一 100 21 (2.5)(500)1 0.993790.00621.8.本200页的书，每页上的错误数服从参数为 0.1的泊松分布，求该书 的错误数大于15个的概率.解 设 为该书的总错误数，则E 20，D 20,于是所求概率为P151P0150 201 P-V2020”2015 2020 1 (1.12)(4.47)0.8686.9.某射手打靶,得10分，9分，8分，7分，6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.现射击100次，求总分多于880分的概率.解 设为100次射击的总分数，依题意，E915,

7、 D122.75 .根据中心极限定理得0 915915P 8801P09151 PV122.75.122.75880 915122.75 '1( 3.16)0.9992.10. 一生产过程的次品率为12%，随机地自这一生产过程生产的产品中取出 120只，求次品不多余15只的概率.解 以X记120只产品中的次品数，贝U X B(120,0.12).所需求的概率为X 120 0.12PX 15 -120Oh0.8815 120 0.12一120一0.12一0.88(0.17)0.5675.11 某种难度很大的心脏手术成功率为 0.9，对100个病人进行这种手术,以X记手术成功的人数.求P8

8、4 X 95.解依题意有95 100 0.984 100 0.9P84 X95(.100 0.9 0.1 )()、100 0.9 0.1(1.67)(2)0.9525 0.9772 10.9297.12. 在一零件商店中，其结帐柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.求对100位顾客的总服务时间不多余 2 小时的概率.解 以Xi(i 1,2,100)记对第i位顾客的服务时间.按题设需求概率为100P Xi 120i 1(120 150)(10)120 100 1.5100厂100i 1 Xi 100 1.5L1iL>500 1(3) 0.0013.1

9、3. 某种电子元件的寿命服从数学期望为 2的指数分布，各元件的寿命相互 独立，随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率.解 设X为100只元件的寿命之和，则E(X) 200, D(X) 400，则所求概率为PX 180)1P0 X 1801 ( 1)( 10)0.8413.1 。兰。V400X 200,400180 20040014. 某工厂有200台同类型的机器，每台机的实际工作时间只占全部工作时 间的75%，各台机器是否工作是相互独立的，求一时刻有144至160台机器正在工作的概率.解 设随机变量丫表示任一时刻正在工作的机器的台数，则丫服从二项分布B(200,0.75

10、).所以所求概率为P144 丫 160(_160_200_0.75_.200 0.75 0.25(_144_200_0.75-200 0.75 0.25(1.63)( 0.98)0.7849.15. 在次品率为丄的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定6理计算抽取的产品中次品书在 4060之间的概率.解 设X为300件产品中次品的件数，依题意知2501X B(300, ), E(X) 50, D(X)6利用中心极限定理得、1.0 ；2. - ；3. 121；4.正态分布；5.设x:100次中出现正面的次数，Xb(100-)，21x 100 - 2100 1近似N(0,1)，5则 P

11、(x 60)P(x 100 -2100 1 12 260 100 1. 2)100 1 1V 2 22) 1=1-0.97725=0.02275近似n6.0.2/ . nN(0,1)，所以P(Xna 0.1)P( 0.1Xna 0.1) P(0.10.2/ . nXna0.1P(Xna 0.1)0.95，即(島)0.95,1.96n 3.92215.3664，答案:16二、1、去掉2、0.2/ n_0)2 (0.2/n> 1()0.9752三、1、设xi :第i次射击时命中的炮弹的个数i 1,2,100，E(Xi)2，,DCxT)1.5，由中心极限定理知:100Xi 100i 1.100

12、 1.52近似 N(0,1)题目所求为100P(180 Xii 1220) P(°°15100Xi 200i 1220 200)1542()1=0.81643Xi 200P(i 1152、1 )设xi :第i个数的误差，i 1,2,1500, Xi U ( 0.5,0.5)，E(xJ 0D(xJ11215001500Xi1500 0Xi近似由中心极限定理知：i1i 1N(0,1)150015001500P(Xii 115) 1 P(Xii 115)15001 P( 15 Xii 115) 1Xii 15.5(1 (1-0.90988 ) =0.18024=22 210的概率

13、为0.9 ,2）设n个数加在一起时误差总和绝对值小于n(儒)P(10（忌）0.9Xi10) P(巴121500Xii 1 i 10)n n12 120.9，0.95，查表可得n441一 13、设x: 6000只元件中合格品的个数 xb（6000,），由中心极限定理知:1x 6000 -6156 66000x 1000近似50/ . 364、设洛：第i箱的重量，设最多可装 n箱，E(xJ50 ,3)由中心极限定理知:nXi n 50近似 L1 N(0,1)，、n 5nXi 50nPC1-5jn5000 50n、(5000 50n、)( 丿5jn0.977(100；0n)0.977，(2)0.97

14、7，n=995、设x : 400台中故障的台数x b(400,0.02),由中心极限定理知:仝 400 °.°2 n(0,1)400 0.02 0.98查表即可P(x 2)1 P(xx 400 0.022) 1 P(E020.98400 0.02.400一0.020.98)2 400 0.02(400.00.98)b(100,0.2),由中心极限定理知:2020近似.100 0.2 0.8N(0,1)P(1430)P(0201.5201.5)(2.5)1.5)x 11x 1000P(6000 6 五)P(x 1000 60) PEr=0.98124(2.5)(1.5)1=0

15、.9937+0.9332-仁0.92697、设x: n个部件中正常工作的个数x b(n,0.9),由中心极限定理知:x 0.9 n0.1 nx询近似N(0,1)03、nP(xn0.8)0.95，xP( 0.8) P(x n0.8n)x 0.9n0.8n 0.9nP( 03 n0.3 n )(0.3n)(03)0.3、n)0.95查表可得n 25508、E( k)0.03, D( k)0.03，由中心极限定理知:k 500.03 近似k 1N(0,1)，50k 50 0.03P(y 3) P(=50：0.033_50_0.03)1；50 ,0.03(3_50_0.03” 50 : 0.031(1

16、155)1C1.5)=0.1129、设x:10000盏灯中开着的个数x b(10000,0.7),由中心极限定理知:x 100000.710000 0.7 0.3x 7000近似2100N(0,1),P(6800 x 7200) P(68007000J2100x 700021007200_7000).2100200 曲1=0.9999910、设x:10000件中不合格的个数,x b(10000,0.005)由中心极限定理知：丄 10000 0.005 n(0,1)，V10000 0.005 0.095P(x 70)P(x 10000 0.005.10000.000.09570 10000 0.

17、005.100000.005一0.09520(Tr)查表即可11、设应预备n件，x:10000人中需用商品的件数xb(10000,0.6)，P(x n)P(_x_10000_0.6_10000 0.6 0.4n 10000 0.610000 0.6 0.4(n_6000).240099.7%查表可求得第五章大数定理及中心极限定理2:题略。10 解：以 Xi(i 1,2,10)记第i个产品的长度。以L记10件产品的总长度：Li 1按题设E(Xi)2,D(Xi)0.0025.由定理四可知L 10 2,?0 0.05近似的服从N(0,1)分布，故产品合格的概率为p P(|L 201 0.1)P(_0

18、.1_而 0.05_L_20_而 0.050.1 0.1(一10一0.05)(：10一0.05)(0.63)( 0.63)2 0.7357 1 0.47144:题略。解：以Xi(i 1,2，,5000)记第i只零件的质量，以 W记5000只零件的总质量:5000W Xii 1按题设 E(Xi)0.5,D(Xi)0.01,由定理四，可知W 5000 0.5X 5000 0.1近似的服从N(0,1)分布，故所求概率为:P(W 2510) 1 P(W 2510)P(W 5000 0.5 ,5000 0.10 2)2510 5000 0.5),5000 0.11 0.9213 0.07877:题略。解

19、 ( 1)将观察一个部件是否正常工作看成是一次实验，由于各部件是否正常工作是相互独立的，因而观察100个部件是否正常工作，是100重伯努利实验，以X表示100个部件中正常工作的部件数，则X b(100,0.9)，按题意需求概率 P(X 85)，由棣莫佛拉普拉斯定理知 一X 100 0.9-，近似的服从N(0,1)分布，故所求概率为:J100 0.9 0.1P(X 85)X 100 0.9.10。0.90.1100 0.9.1000.90./P(85 X )85 100 0.9 P(,100 0.9 0.151( 3)0.9525(2)设正常工作的部件个数是m，则m0.8m时才可以正常工作，由题

20、得P(m 0.8m)1P(m 0.8m)0.95P(m 0.8n)0.8n np )np(1 p)1(0.95所以24.5从而解得n所以，n至少为25才可以使系统的可靠性不低于 9:题略。0.95。nXi 解军：由定理可知，当n充分大时，1Vn1 n-Xin i 1- N(0,1)，-X即-N(0,1)由题设D(X400(i1,2,n)，即有400,X是 20N(0,1)，20 nP(|X |P( 1 x1P(20nX20(1)0.9751故需要120n(1.96),1.96 ,20 n1536.64。所以n因为n为正整数，故n至少为第六章 大数定律和中心极限定理研究随机变量序列的各种极限 （

21、 或收敛性 ） 的理论 . 我们知道 , 概率 论是研究随机现象统计规律的学科 然而随机现象统计规律性只有在相 同条件下进行大量重复的试验或观 察才能显现出来 , 这就要用到极限 去刻划 . 随机现象在大量重复试验 中呈现明显的规律性 , 这只是一个 信念 , 其确切含义和理论根据是什 么？现在就来解决这些问题 . 极限定理是概率论中最重要的理论 它在概率论与数理统计的理论研究 与应用中起着十分重要的作用 .第一节 契比雪夫不等式这里介绍一个重要的不等式 - 契比雪夫不等式 , 它是大数定律和 中心极限定理的理论基础 .定理 设随机变量X存在数学期望EX和方差DX ,则对任意正数, 成立P|

22、XEX| DX ,此式称为契比雪夫不等式. 或等价地P| X EX |1P| X EX |1证明（1）当X为离散型随机变量分布律为PX X Pi , i 1,2,则有P| X EX| PX x|Xi EX|Xi EX|(XiEX)2PXXi(Xi EX)2PXXiDX(2)当X为连续型随机变量 概率密度为f(x), 则有P| X EX| |X EX|f (x)dx|X EX|(XEX)22f (x)dx2(x EX) f (x)dxDX2例P| X EX | a DX_dx_ 丄,(a 0)'、 2 2(a DX ) a从上述证明方法中，还可以看 出(类似可证),成立P| X|(0,k

23、P| X EX| E|X|kk,1)E(|X EX|k)(0,k 1)；等形式的不等式（车贝谢夫,车贝晓夫，切比雪夫） 例设随机序列Xn和随机变量X ,如果imEIXn Xf 0，则对任意 0,有 limP|Xn XI 0n证明因为对任意0，成立P| Xn X| EX Xf2 ，2利用条件|imE|Xn X| 0，即得成立nim P| XnX |0定理 设随机变量X的数学期望EX和方差DX均存在，且DX 0, 则有 PX EX 1 .证明由车比谢夫不等式P| X EX |DX2 ,得0 P|X1EX| -nDX（丄）2n 1,2,P| X EX| 1 o, n 1,2,n1又| X EX| 0

24、| X EX| -,n 1n '0P| X EX | 0 P( | X EX | 1)n 1nP| X EX| -0,n 1n于是 P| X EX| 01,即 PX EX 1.(P(A1 A.) P(A) P(A2)P(AA2)P(A1)P(A2),P(AA A3)P(A) P(A2)P(A3),P( A)P(Ai)i 1i 1八第二节大数定律在第一章中我们指出，随机事件的频率fn(A)仏，当n 时,nfn(A)具有某种稳定性和统计概n率的定义 5.它们的真正含义，在当 时无法说清楚，现在就来说清楚这 个问题对于这一点，大数定理将 给于理论上的依据.下面只介绍大 数定理的最基本情形定理

25、一(契比雪夫大数定律)设Xi,X2, ,Xn,是相互独立的 随机变量序列，每一个Xi都有有限 的方差，且有公共的上界，即D(Xi) C，i 1,2，n，则对任意0，成立nnlimP| Xi - EXi|1，n i 1 n i 1nninm P| - Xi - EXi |0 .n i 1 n i 11 n证明令 Yn Xin i 1由数学期望的性质，有nnEY E( Xi) EXi，n '1n因 X1,X2, ,Xn, 由方差的性质，得到1 nDYn D( Xi)n i 11 n2i 1相互独立,12nc g ,n |1 n利用契比雪夫不等式，可得11 P| XinDXi,i 11nEX

26、,|P| Yn EYn |DYn在上式中,令n1 Ijm P|-n,即得XiEXi|n i 1定义依次序列出的随机变量：X1,X2, ,Xn,简记为Xn,简称 随机（变量）序列Xn.定义对于随机（变量）序列X” 和随机变量X（或常数a）,若对任 意 0,有l”mP|Xn X| 1（或lim P| Xn a| 1）则称随机（变量）序列Xn依概率收敛于X（或常数a）.（等价于 lim P| Xn X| 0）简记为X” P X,（n ）（或 XnP a,（n ）推论（辛钦大数定律）若随机 变量序列Xi,X2, ,Xn,独立同分 布,且存在有限的数学期望和方差EXi ,DXi 2, （i 1,2,）

27、则对任意 0,有lim P| X |1 ,1 n其中X - Xi .证明由数学期望和方差的性质及 条件，有1 nEXE(Xi)n i 1nnEXi ,n i1n i 11 nDXD( Xi)1 n 22n i1n i11 n -DXi n i1对任意 o,有P| X EX| DX 1 2n1 P|X |于是成立inm P| X| 1 ,即X依概率收敛于常数.这个结论将在第八章中用到 ， 是用样本均值作为总体均值 的点 估计的理论依据.定理二(贝努里大数定律)设 九是n次独立重复试验中事件 A发 生的次数，p是事件A在每次试验中 发生的概率，则对任意0,成立lim P| -Ap| 1 .n证明引

28、人随机变量1,第i次试验中A发生Xi0,第i次试验中A不发生则n次试验中事件 A发生的次数XiX2X-,，-由于是独立试验,所以Xi,X2, ,X- 相互独立，且都服从相同的(0 1) 分布,即PXi 1 p,PXi 01 p,i 1,2,于是EXi p,2 11 2 1 DXi p（i p） p p - e p）-424利用契比雪夫大数定律的推论，得lnm P| 丄 p| nlim P|Xp| 1贝努里大数定律表明：事件A发生的频率n依概率收敛于事件An第三节中心极限定理在对大量随机现象的研究中发 现,如果一个量是由大量相互独立 的随机因素所造成，而每一个别因 素在总影响中所起的作用较小，那

29、么这种量通常都服从或近似服从正 态分布.例如测量误差、炮弹的弹着 点、人体体重等都服从正态分布，这 种现象就是中心极限定理的客观背设随机变量Xi,X2, ,Xn,独立 同分布,且Xi N( , 2),(i 1,2,)n记YnXi , (EYn n ,DYn n 2),i 1Yn* Yn D：Yn Yn nn称为Yn的标准化，则有 Yn*N(0,1)Fy；(X)PYn X (x)对任意实数x,有Yn n 、 limPY x*lim PYnx lim Fx)te'dt(x).一般地，有下述结果。定理三(同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2, ,Xn,独立同 分布,且存在有限的数学期望

30、和方EXi ,DXi(i 1,2,)n记YnXi , (EYnYni 1Yn EYn.DYnYnn , DYn n2),称为Yn的标F/X) PYn、一准化,则对任意实数X,有Yn nIjm p=*lim PYnre'dt2XX变量Xlim FYn*(x)nn(x).定理表明,当n充分大时,随机Xinni 1近似地服从标准正n态分布N(0,1).因此,Xi近似地服i 1从正态分布N(n ,n 2).由此可见,正 态分布在概率论中占有重要的地位.定理四(De Moivre-Laplace 定 理) 设n是n次独立重复试验中事件 a 发生的次数，p是事件A在每次试验 中发生的概率，则对任意

31、区间a,b, 成立inmpa 爲(爲b1 e'dt (b)(a)证明引人随机变量1,第i次试验中A发生0,第i次试验中A不发生则n次试验中事件 A发生的次数X1x2Xn ,由于是独立试验,所以X1,X2, ,X相互独立，且都服从相同的(0 1) 分布,即PXi 1 p,PXi 01 p,i 1,2, ,n于是EXi P，DXi p(1 P)由定理三，即得计XnXi npJ|mP&r7)*(x)，x 1专2 e dt于是对任意区间a,b,有l|m Panp叩(1p)bt2e 2dt(b)(a).近似计算公式N npnp M np ,p)PNP Nnp(1 p) np(1 p) n

32、p(1MnpnpM npn p(1 p)n p(1 p)(M np )n p(1 p)例1某计算机系统有120个终端, n p(1 p)g .每个终端有5%1 勺时间在使用，若各终端使用与否是相互独立的，试求有10个以上的终端在使用的概率. 解以X表示使用终端的个数， 引人随机变量1,第i个终端在使用0,第i个终端不使用1,2, ,120 ,Xi X2X120由于使用与否是独立的，所以 X1,X2, X。相互独立,且都服从相同的(0 1)分布,即PXi 1 p 0.05,PXi 0 1 p,i 1,2, ,120 于是,所求概率为PX 101 PX 101 P X npVnp(1 p)由中心极

33、限定理得PX 10110 np n p(1 p),PX 10X np10 np n p(1 p)1例2现有一大批种子,其中良种占1 P Jn p(1 p)(10 np )n p(1 p)(10 120 0.05 )(120 0.05 0.95)(1.68)1 0.9535 0.0465 .1.现从中任选6000粒，试问在这些6种子中,良种所占的比例与1之误差6小于1%|勺概率是多少？ 解设X表示良种个数， 则1X B(n, p), n 6000, p -,6 所求概率为X iP| 0.01P| X np I n 0.01n 0.01np(1 p)6000 0.01I1 56000I6 6n 6

34、pp丿归|np(1 p)P| X nP I np(1 p)(2.078)( 2.078)2 (2.078) 12 0.98 10.96 .例3设有30个电子器件Di, D2, D30,它们的使用情况如下：Di损坏，D2接着使用；D2损坏，D3接 着使用等等设器件Di的使用寿命服 从参数 0.1（单位：h1）的指数分布 令T为30个器件使用的总时数，问T超 过350h的概率是多少？解设Xi为器件D i的使用寿命，Xi服从参数 0.1（单位:h1）的指数分布，立，X1，X2，X30 相互独XnTX1X2n30，EXi1 110，0.12DXi丄110020.1由中心极限定理得PT 3501 PT

35、3501 Pd35丄nn1C3500)V30 1011(0.91)1 0.81680.1814 .例4某单位设置一 总机，共 有200架 分机.设每个 分机 有5%的时间要使用外线通话，假定 每个分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机需要安装多少 条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用解依题意设X为同时使用的 分机个数， 则 X B(n, p),n 200, p 0.05,设安装了 N条外线， 引人随机变量1,第i个分机在使用'0,第i个分机不使用i 1,2, ,200 ,XiX2由于使用与否是独立的,所以 Xi, X2, X200相互独立,且都服从相同的(0 1)分布,即PXi 1 p 0.05,PXi 01 p,i 1,2,200,X N保证每个分机都能即时 使用,PX N 0.9 ,0.9 PX NP X npn p(1p)N np np(1 p)N np np(1 p)(N 200 0.05 )(200 0.05 0.95)N 10*N 103.08),查标准正态分布表乙.9N 10N 1.28 3.08 10 13.94,