九年级数学三点的轨迹浙江版知识精讲

1、九年级九年级数学数学三点的轨迹三点的轨迹浙江版浙江版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教学内容： 三点的轨迹教学目标 1. 了解点的轨迹的定义。 2. 掌握五种根本轨迹即轨迹定理 1、2、3、4、5。 3. 学会利用定理 1、2、3、4、5 求简单轨迹。 4. 初步学会交轨法作图。二. 重点、难点： 1. 重点：有关轨迹的 5 个定理及轨迹在研究点的运动和作图方面的应用。 2. 难点： 1如何利用轨迹作图，轨迹的探求方法。 2如何把运动问题，作图问题归结为点的轨迹问题来解决。【典型例题典型例题】 例 1. 求以下点的轨迹。 1当的斜边 AB 固定时，求直角顶点 C 的轨迹。Rt ABC 2

2、O 及弦 AB，求与 AB 平行的弦的中点的轨迹。 解：解：1如图，设 O 为 AB 的中点，连结 CO，那么。因为 AB 固定，COAB12所以 O 为定点，CO 为定长。由定理“到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆，得所求轨迹是以 AB 为直径的圆。 由于圆上 A，B 两点不能作为以 AB 为斜边的直角三角形的直角顶点，故应除去。 2如图，动点是与 AB 平行的弦的中点，不变量是O 的弦 AB，根据垂径定理，弦中点到 A、B 的距离相等，由定理 2，所求中点的轨迹是与弦 AB 垂直的直径除去两端点及 AB 的中点 精析：精析：求适合某个条件的点的轨迹的根本思路是把

3、题设中的条件转化为课本中某一个轨迹定理的条件，从而根据轨迹定理的结论得出所求轨迹。在求出轨迹后，要检查所得的图形中是否包含了某些不合题意的点，如果有，那么应当将它们除去。 例 2. 求以下点的轨迹，并画出图。 1在半径为 5cm 的圆中，长为 6cm 的动弦的中点的轨迹。 2与相交于 A、B 两点的等圆都外切的动圆圆心的轨迹。 解：解：1如图，连结 OC、OA，其中 C 为弦 AB 的中点，根据垂径定理得：OCAB。 所以，所以OCOAAC222OC 53422 所以以长为 6cm 的线段为弦，且在半径为 5cm 的圆中运动所得的弦的中点的轨迹是以点 O 为圆心、半径为 4cm 的一个圆。 2

4、设 P 是所求轨迹上的任意一点，连结，那么POPO12、POPO12 又因为，所以 AB 垂直平分O AO A12O O12 而线段 AB 上的任意一点都不可能是和O1，O2都外切的动圆圆心 所以所求轨迹是的中垂线 AB，并除去线段 AB，如下图。O O12 精析：精析：在分析求点的轨迹的思路时，可以设出一种有代表性的情况，并画出图形如本例第1小题中，设 AB 是半径为 5cm 的O 中的一条长为 6cm 的弦，C 是 AB 的中点，然后分析当 AB 运动时，中点 C 如何变化。这样便于借助图形，找出能反映动点运动特征的位置关系和数量关系，并使之转化为某个轨迹定理中的条件。在检验求出的轨迹时，

5、有时要剔除的不只是某几个点，而可能是一条线段，或一段圆弧等。如本例中第2小题。 例 3. 求以 4cm 长的线段 AB 为一边，且面积为的三角形的第三个顶点 C 的轨迹。122cm 解：解：因为 AB 的长为 4cm，三角形面积为，那么三角形 AB 边上的高线长122cmhcm 6 所以三角形的第三个顶点 C 到对边 AB 所在直线的距离为 6cm 因此所求轨迹是与线段 AB 所在直线平行，且到这条直线的距离等于 6cm 的两条平行直线如下图 精析：精析：求点的轨迹的一般步骤： 1描出一些适合的点画出草图； 2研究并总结这些点具有的共同特点与条件的关系，从而根据五个轨迹定理中的一个确定所求的轨

6、迹是什么图形； 3根据题意考虑是否有需要排除的特殊点或线段、圆弧，然后用文字表达完整。 例 4. 如下图，EOF，点 A 和点 B，求作一点 P，使点 P 同时满足： 1到EOF 的两边距离相等； 2到点 A、B 的距离相等。 解：解：点 P 到EOF 两边的距离相等，那么点 P 在EOF 的平分线上，故作EOF 的平分线。 点 P 到 A、B 两点的距离相等，那么点 P 在线段 AB 的中垂线上，故作线段 AB 的中垂线。 两线的交点为 P，那么点 P 即为所求。 精析：精析：当所求作的点同时满足两个或多个条件时，应单一地考虑每一个条件，确定所求作点各是什么轨迹上的点，并作出每一个轨迹，那么

7、这两个或多个轨迹的交点就是所求作的点，这种作图方法称为交轨法作图。 例 5. O 和定长 r，点 A 是圆内的一点，求作一个半径为 r 的圆，使它经过点 A，并且与O 内切。 解：解：以 O 为圆心，以O 的半径减去定长 r 的差为半径画圆 以点 A 为圆心，以定长 r 为半径画圆，两圆相交于点OO12、 那么以或为圆心，定长 r 为半径画圆，所得或就是所求作的圆。O1O2O1O2如下图 精析：精析：本例用交轨法作图，由于所求作圆的半径为线段 r，故作图的关键是找圆心，由条件，就是到定点 O 的距离为定长O 的半径与 r 之差的点的OO12、OO12、轨迹和到定点 A 的距离为定长 r 的点的

8、轨迹的交点。【模拟试题模拟试题】 1. 到定点 P 的距离等于 6cm 的点的轨迹是_。 2. 以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 的顶点 C 的轨迹是_。 3. O与半径是 4cm 的O 外切，且O的半径为 2cm，那么点 O的轨迹是_。 4. 动点 P 到直线的距离为 5cm，那么点 P 的轨迹是_。l 5. 半径等于 2cm，与直线相切的圆的圆心的轨迹是_。l 6. 如下图，中，CRt，BC 边在上，点 A 在上，。Rt ABCl2l1ll12/进行平行移动，那么 AB 边的中点 Q 的轨迹是ABBCRt ABC53，_。 7. 与正方形 ABCD 的 AB、AD 两边不延长都相切

9、的圆的圆心的轨迹是_。 8. 到半径为 r 的定圆 O 的切线长等于定长 a 的点的轨迹是_。 9. 一动点 P 绕定点 O，且到定点 O 的距离为 4cm 旋转半周，那么点 P 运动所经过的路程是_cm。 10. 如下图，半径为 3cm 的弹子沿着半径为 8 cm 的圆形钢圈内壁滚动 3 周，那么弹子圆心 P 随之运动所经过的路程是_ cm。二. 选择题。 11. 到角两边所在直线的距离相等的点的轨迹是 A. 这个角的平分线 B. 这个角的平分线所在直线 C. 这个角和它的邻补角的平分线所在的直线 D. 这个角和它的邻补角的平分线 12. 线段 AB，切 AB 中点 E 的动圆圆心的轨迹是

10、A. 线段 AB 的中垂线 B. AB 的垂线除去 E 点 C. 线段 AB 的垂线 D. 线段 AB 的中垂线除去 E 点 13. 两条平行线之间的距离为 6 cm，和这两条平行线都相切的动圆圆心的轨迹是 A. 和这两条直线平行，且距离等于 6cm 的一条直线 B. 和这两条直线平行，且距离等于 3cm 的两条直线 C. 和这两条直线平行，且距离都等于 3cm 的一条直线 D. 和这两条直线平行，且距离等于 3cm 的三条直线 14. 点 Px，y在直角坐标系内运动，且满足，那么点 P 的轨迹是 xy 0 A. 平分第 I 象限角的一条射线 B. 平分第 II 象限角的一条射线 C. 平分第

11、 III 象限角的一条射线 D. 平分第 I、第 III 象限角的一条直线 15. 抛物线的对称轴是到 A-3，0和 B5，0的距离相等的点的yxbx212轨迹，那么 b 的值是 A. -4B. 4C. -2D. 2三. 解答题。 16. 如下图，O 和O 上一点 A，求以点 A 为一端点的弦的中点的轨迹，并画出图形。 17. 如下图，EAF，B 是 AE 上一点，求作一个，使 AB 边上高线为 2 cm，点ABCC 到 AE，AF 的距离相等。 18. 如下图，一根小木棒两端 A、B 紧靠钢圈上，现小木棒 A、B 两端紧靠钢圈按逆时针方向滑动到 AB位置上，使得 A 与 B重合，B 与 A重合，且 AB/AB，小木棒长为8cm，钢圈半径为 5cm，求木棒中点 P 随之运动所经过的路程。【试题答案试题答案】一. 填空题。 1. 以点 P 为圆心，6cm 为半径的圆 2. 线段 AB 的中垂线除 AB 中点外 3. 以 O 为圆心，半径为 6 cm 的圆 4. 与直线平行，且到的距离等于 5 cm 的两条直线ll 5. 与直线平行，且到的距离等于 2 cm 的两条直线ll 6. 与平行，且到的距离都等于 2 的一条直线ll12、ll12、 7. 对角线 AC不包括 A 点 8. 以 O 为圆心，为半径的圆ar