0315张妍等差数列的概念和通项公式

1、中小学 1 对1 课外辅导教育学科教学案教师:学生:日期:_ 3.16_: 天 时段: 10:00-12:00 1教育扬州训导部课题数列的概念及其通项公式学习目标与考点分析1、 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；2、 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；分析学习重难点重点：数列及其通项公式的定义；数列的前 n 项和与通项公式的关系及其求法；难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论； 等差等比数列的应用和性质。教学方法教学提纲与过程第一部分:教学提纲第二部分:教学过程学

2、习要求1、 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；2、 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；【自学评价】1. 等差数列：一般地，如果一个数列从，每一项与它前一项的差等于，这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个就叫做 _（common difference），常用字母“d”表示。公差 d 一定是由_，而不能用前项减后项来求；+对于数列 an ,若 an an-1 =d (与n 无关的数或字母)，n2，nN ，则此数列是等差数列，d 为公差2. 等差数列的通项公式；3.

3、如果 a,A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的；且 A =.中小学 1 对1 课外辅导【精典范例】【例 1】根据等差数列的概念，（1）1，1，1，1，1，1（2）4，7，10，13，16（3）-3，-2，-1，0，1，2，3【解】下列数列是否是等差数列；思考：如果一个数列an 的通项公式为 an = kn + b ，其中 k, b 都是，那么这个数列一定是等差数列吗？【例 2】求出下列等差数列中的未知项：（），；（），【解】【例 3】（1）求等差数列 8，5，2的第 20 项？（2） - 401 是不是等差数列- 5， - 9， - 13，的项？如果是，是第几项？【解】【追踪训练

4、一】：下列数列是否为等差数列：（），；（），；（），；（），；（），2教育扬州训导部中小学 1 对1 课外辅导目前男子举重比赛共有个级别，除 108 公斤以外，其余的个级别从小到大依次为（：）54，59，64，70，76，83，91，99，108，这个数列是等差数列吗？已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：（）（ ），；（）， 2 ，（）；（），（ ），（），4已知数列8, a, 2, b, c, -7 是等差数列，项 a, b, c 的值。【解】【选修延伸】【例 4】在等差数列an 中，已知 a5 = 10 ， a12 = 31，求 a20 , an分析： 先根据两个的条件解出两个

5、量 a1 和 d，进而再写出 an 的表达式.几个的条件就可以解出几个未知量，这是方程组的重要应用.【解法一】：思考：在此题中，有 a12 = a5 + 7d ，思考，能否不求首项 a1 ，而将an 求出？【解法二】：思维点拔：等差数列的通项公式涉及到四个量 a1、an、n、d，用方程的观点知三求一。列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法，注意通项公式更一般的形式： an = am + (n - m)d3教育扬州训导部中小学 1 对1 课外辅导【例 5】若(z - x)2 - 4(x - y)( y - z) = 0 ，则 x, y, z 成等差数列。【证明】思维点拔：当已知 a、b、c

6、 成等差数列时，通常采用 2b=a+c 作为解决问题的出发点.【追踪训练二】：1. 数列an的通项公式 an2n5，则此数列（A. 是公差为 2 的等差数列B. 是公差为 5 的等差数列）C.是首5 的等差数列D.是公差为 n 的等差数列2.等差数列an中，a2=5,d=3，则 a1 为（ ）A.9B.8C.7D.43.已知等差数列an的前 3 项依次为 a1,a+1,2a+3，则此数列的通项 an 为（）A.2n5C.2n1B.2n3D.2n+14.在等差数列an中，若 a3=50,a5=30，则 a7=.5.在1 和 8 之间两个数 a,b，使这四个数成等差数列，则 a=,b=.16.已知

7、数列an中 a3=2,a7=1，又数列为等差数列，则 a11 等于（ ）an + 11273A.0B.C.D.1学习要求3、 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；4教育扬州训导部中小学 1 对1 课外辅导4、 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；【自学评价】1等差数列的通项公式：普通式： an = a1 + (n -1)d ；推广式：；变式： a1 = an - (n -1)d ；d = an - a1 ； d = an - am；n -1n - m注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项

8、数 n 的次数不高于一次的多项式函数即an=An+B(若an为列时,A=0).2等差数列的单调性：由等差数列的定义知 an+1an=d,当 d0 时，an+1an 即an为递增数列；当 d=0 时，an+1an 即an为列；当 d0 时，an+1an 即an为递减数列. 注：等差数列是摆动数列.【精典范例】【例 1】第一届现代奥运会于 1986 年在希腊雅典举行，此后每年举行一次奥运会如因故不能举行，届数照算（）试写出由举行奥运会的年份的数列的通项公式；（）2008 年北京奥运会是第几届？2050 年举行奥运会吗？【解】【例 2】在等差数列a中，已知 a，a，求 a【解】【例 3】某滑轮组由直

9、径成等差数列的个滑轮组成已知最小和最大的滑轮的直径分别为和 ，求中间四个滑轮的直径【解】5教育扬州训导部中小学 1 对1 课外辅导【追踪训练一】：1已知an是等差数列，a7+a13=20，则 a9+a10+a11=（）A.36B.30C.24D.182.等差数列an 中， a2与a6 的等差中7 ，则 an =.5 ， a3与a7 的等差中诺（）在年发现了一颗彗星，并推算出在年、年、年人们都可以看到这颗彗星，即彗星每隔年出现一次（）从发现那次算起，彗星第次出现是在哪一年？（）你认为这颗彗星在年会出现吗？为什么？【解】统一鞋号中，成年男鞋有种尺码，其中最小的尺码是，各相邻两个尺码都相差，其中最大

10、的尺码是多少？一个等差数列的第项等于第项与第项的和，且公差是，试求首项和第项【选修延伸】【例 4】等差数列an中，a1=23，公差 d 为整数，若 a60,a70.（1） 求公差d 的值;（2） 求通项an.【解】6教育扬州训导部中小学 1 对1 课外辅导7教育扬州训导部【例 5】甲、连续 6 年对某县农村养鸡业规模，提供两个不同的信息图甲表明: 从第 1 年每个养鸡场出产 1 万只鸡上升到第 6 年平均每个鸡场出产 2 万只鸡乙表明:由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年 10 个 请您根据提供的信息说明：第 2 年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；到第 6 年这个县的养鸡业比第

11、1 年是扩大了还是缩小了？请说明理由；哪一年的规模最大？请说明理由【解】【追踪训练二】：1.首24 的等差数列，从第 10开始为正数，则公差 d 的取值范围是 （）888A.dB.d3 C.d3 D.d33332.在等差数列an中，若 a3+a4+a5+a6+a7=450，则 a2+a8 等于（）A.45B.75C.180D.3003. 如果等差数列an的第 55，第 105，那么此数列的第一个负数项是第项.4. 已知等差数列的第 1023，第 2522，则此数列的通项公式为.25. 已知数列an满足 an+12=an +4，且 a1=1,an0，求 an.中小学 1 对1 课外辅导a - a

12、21 的值.6.若 xy，两个数列：x，a1，a2，a3，y 和 x，b1，b2，b3，b4，y 都是等差数列，求b4 - b2学习要求1. 体会等差数列与一次函数的关系；2. 初步通过数列的下标研究数列。【自学评价】1an 是等差数列.2已知an 是等差数列，若 m + n = p + q ，则.【精典范例】【例 1】已知等差数列的通项公式为，求首项和公差，并画出图象。【解】a1 = 1, d = 2等差数列的通项公式是关于的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点（，）均在直线上。中，是否有 a = an-1 + an+1 （）？【例 2】（）在等差数列n2a = an-1 + an+1 ，

13、那么数列（）在数列中，如果对于任意的正整数（），一定n2是等差数列吗？【解】8教育扬州训导部中小学 1 对1 课外辅导【例 3】如图，三个正方形的边，的长组成等差数列，且21，这三个正方形的面积之和是 179（）求，的长；（）以，的长为等差数列的前三项，以第【解】边长的正方形的面积是多少？【追踪训练一】：1已知等差数列的通项公式为 a = 1 - 1 n ，求它的首项和公差，并画出它的图象n22.已知，是公差为的等差数列（），也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（），也成等差数列吗？如果是，公差是多少？已知等差数列的首，公差为（）将数列中的每一项都乘以，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差

14、是多少？（）由数列中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？4某货运公司的一种计费标准是：以内，那么需支付多少元运费？元，以后每收.元如果某批物资9教育扬州训导部中小学 1 对1 课外辅导10教育扬州训导部【选修延伸】【例 4】在等差数列中，已知，（），求【解】【例 5】如图（）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成个三角形（如图（），再分别连结图（）中间的角形三边的中点，又可将原三角形剖分成个三角形（如图（）依此类推，第个图中原三角形被剖分为个三角形（）求数列的通项公式；（）第 100 个图中原三角形被剖分为多少个三角形？【解】【追踪训练二】：21. 若an是等差数列，a3,a10 是方程 x -3x-5=0 的两根，则 a5+a8=.2. 若关于 x 的方程 x2 - x + a = 0 和 x2 - x + b = 0 (a b) 的四个根组成首1 的等差数列，则 a + b =4（）3111331A.B