《电磁场与电磁波》第4讲

1、第二章 电磁场的基本规律（1） 2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中静电场的基本规律教师姓名： 宗福建单位： 山东大学微电子学院2018年3月20日2 2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律2.4 媒质的电磁特性媒质的电磁特性2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件本章讨论内容本章讨论内容本章知识脉络本章知识脉络电磁场的源：电荷、电流（电磁场的源：电荷、电流（2.12.1）主线：亥姆霍兹定理主线：亥姆霍兹定

2、理静静态态场场静电场的散静电场的散度和旋度度和旋度静磁场的散静磁场的散度和旋度度和旋度真空中（真空中（2.22.2）介质中（介质中（2.42.4）真空中（真空中（2.32.3）介质中（介质中（2.42.4）时变场时变场（麦克斯韦方程组）（麦克斯韦方程组）(2.5,2.6)(2.5,2.6)时变场的散度和旋度时变场的散度和旋度边界条件边界条件(2.7)(2.7)山东大学物理学院 宗福建4ijkxyz ()graduuijkuxyz yxzAAAdivAAxyz 山东大学物理学院 宗福建5ijkxyz xyzijkrotAAxyzAAA 山东大学物理学院 宗福建6是一个矢量性微分算子，因此它在计算

3、时具有矢量性和微分性双重性质uAA 作用在一个数性或矢性函数上时，其方式仅有三种：，山东大学物理学院 宗福建7222222xyzxyzAAAAxyz 定义：拉普拉斯算子为了使用方便。山东大学物理学院 宗福建8(1) (),()(2)(),()(3)()cuc u cucAcA AcAcA 为常量， 为数性函数为矢性函数山东大学物理学院 宗福建9(4) ()(5)()(6)()uvuvABABABAB 山东大学物理学院 宗福建10(7)(),()(8)(),()(9) ()ucu c cuucuc cuuvu vv u 为常矢量， 为数性函数为常矢量， 为数性函数山东大学物理学院 宗福建11(1

4、0)(),()(11)()(12) ()() ()() ()uAuAu A AuAuAuAA BABABBABA 为矢性函数山东大学物理学院 宗福建122(13)()()()(14)() ()()(16)() 0(1()7)() 0(18)()()(15()A BBAABA BBAAB BAABuuAAAuAu 山东大学物理学院 宗福建13,(19)(20)3(21)0(22)( )( )(23)( )( )rxiy jzk rrrrrrrf ufuurf rfrr 若，则有：山东大学物理学院 宗福建143,(24)(26)(),()(27)(),( ) 0(25)()0sVlSrxiy jz

5、k rrf r rrA dSA dVA dlA drS 若，则有奥氏公式斯托克斯公式：电荷： 电是物质的一种基本属性 构成物质的许多基本粒子都带有正电或负电，但其电荷都精确地等于基本电荷e，这表明自然界中的电荷都是以e的整数倍出现。 电子的电荷：e=1.6 x 10-19库仑 电子的质量：me=9.1 x 10-31 Kg山东大学物理学院 宗福建15电荷： 若取电子的经典半径re, 使： 则，re=2.8 x 10-15 m 实际上，实验观察发现，在10-19 m 范围内，电子仍然象一个点粒子。山东大学物理学院 宗福建162201128eeem cr太阳系的主角是位居中心的太阳，它是一颗光谱分

6、类为G2V的主序星，拥有太阳系内已知质量的99.9%，并以万有引力主宰着太阳系。氢原子的主角是位居中心的质子，质子电子的质量比为1840，占氢原子内已知质量的99.9%，并以电磁引力主宰着氢原子。电子有自旋，地球有自转。山东大学物理学院 宗福建17太阳半径为7 x 105 km，太阳系半径（近日点） 6 x 109 km，太阳系与太阳半径比为104。(1AU,1天文单位距离=1.5 x 108 km)质子半径为1.5 x 10-15 m，氢原子的半径为5.3 x 10-11 m，氢原子与质子半径比为3.5 x 104。山东大学物理学院 宗福建18太阳质量：1.989 x 1030 kg地球质量

7、：5.979 x 1024 kg。质量比：3.3 x 105。相当于原子量：180相当于原子序数为72 Hf - 73 Ta的原子。山东大学物理学院 宗福建19铪（Hf）是一种化学元素，它的化学符号是Hf，它的原子序数是72，原子量178.49，属周期系B族。 钽（Ta）是一种化学元素，它的化学符号是Ta，它的原子序数是73，原子量180.95，属周期系B族。 1 He氦 1s22 Ne氖 He 2s2 2p63 Ar氩 Ne 3s2 3p64 Kr氪 Ar 3d10 4s2 4p65 Xe氙Kr 4d10 5s2 5p66 Hf铪 Xe 4f14 5d2 6s26 Ta钽 Xe 4f14 5

8、d3 6s2山东大学物理学院 宗福建20我们的宇宙恒星间平均距离 1016m 5光年银河系半径 5x104光年 1020m 银河系恒星数 4x1012个星系间平均距离 2x106光年距地球最近的河外星系仙女座 100万光年人们所认识的最外的星系 1010光年 星系总数 1012个1024颗恒星，约 1 mol 太阳系体电荷密度： 为了更简明地描述电荷在空间的分布，引入体电荷密度概念。 假设电荷是致密连续分布时，可用积分的方法求出任意区域内的总电荷。山东大学物理学院 宗福建22( )VQr dV点电荷的表示法： 在许多实际应用中，电荷分布并非都采用连续性模型。 当带电体的尺度与观察尺度相比极其微

9、小，以致于其形状和大小的因素可以忽略不计的情况下，可以把带电体抽象为点电荷。山东大学物理学院 宗福建23点电荷的表示法：山东大学物理学院 宗福建24( )()0,()(),()0,( ),()1,( )vrqrrrrrrrrrvrr dvrv式中：且点电荷的表示法：山东大学物理学院 宗福建250,( )( )(),( )( )()vviiirvr dvqrr dvq rvrqrr 对于离散分布的电荷群：261. 电荷体密度电荷体密度0 ( )d ( )( )limdVq rq rrVV( )dVqrV单位：单位：C/m3 (库库/米米3 )总电荷总电荷q 与密度的关系：与密度的关系： 电荷存在

10、的形式（四种）：电荷存在的形式（四种）： 点电荷、体分布点电荷、体分布电荷、电荷、面分布电荷、线分布电荷面分布电荷、线分布电荷qVyxzorV272. 电荷面密度电荷面密度单位单位: C/m2 (库库/米米2) 如果已知某空间曲面如果已知某空间曲面S 上的电荷上的电荷面密度，则该曲面上的总电荷面密度，则该曲面上的总电荷q 为为( )dsSqrS0 ( )d ( )( )limdSSq rq rrSSyxzorqSS283. 电荷线密度电荷线密度0 ( )d ( )( )dlimllq rq rrll 如果已知某空间曲线上的电荷线如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电荷密度，则该曲线

11、上的总电荷q 为为 ( )dlCqrl单位单位: C / m (库库/米米)yxzorql29点电荷的电荷密度表示点电荷的电荷密度表示( )()rqrr4. 点电荷点电荷yxzorq302.1.2 电流与电流密度电流与电流密度说明说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为 恒定电流恒定电流，用，用I 表示。表示。单位单位: A （安）（安）电流方向电流方向: : 正电荷的流动方向正电荷的流动方向0lim ()ddtiqtqt 电流电流 电荷的定向运动电荷的定向运动山东大学物理学院 宗福建31电流密度 J J的定义：定义电流密度 J J，它的方

12、向沿着该点上的电流方向，它的数值等于单位时间垂直通过单位面积的电量，从而通过面元dS S的电流dI为cosddSd SIJJSdIJS通过任一曲面S的总电流强度I为 2.1.2 电流与电流密度电流与电流密度山东大学物理学院 宗福建32如果电流由一种运动带电粒子构成，设带电粒子的电荷密度为，平均速度为v v，则电流密度为 vJnqvJ设带电粒子的密度为n,每个带电粒子的电量为q，平均速度为，则电流密度为2.1.2 电流与电流密度电流与电流密度山东大学物理学院 宗福建33如果有几种带电粒子，其电荷密度分别为i，平均速度为i，有 iiivJiiiin q vJ设每种带电粒子的密度为ni,每个带电粒子

13、的电量为qi，平均速度为i，则电流密度为2.1.2 电流与电流密度电流与电流密度340dlimdnnSiiJeeSS 单位单位：A / m2 （安（安/米米2） 。 电流存在的形式（三种）：电流存在的形式（三种）： 体电流体电流、面电流面电流和和线电流线电流1. 体电流体电流 流过体积内任意曲面流过体积内任意曲面S 的电流为的电流为体电流密度矢量体电流密度矢量JneS正电荷运动的方向正电荷运动的方向dSiJS体电流与体电荷的关系?352. 面电流面电流面电流密度矢量面电流密度矢量d 0tenelSJ0h0dlimdSttliiJeell 单位：单位：A/m （安（安/米）米） 。通过面上任意横

14、截线的电流为通过面上任意横截线的电流为正电荷运动的方向正电荷运动的方向mdSliJel面电流与面电荷的关系?体电流与面电流的关系?mnleee其中：其中：363. 线电流线电流I单位单位: A （安）（安）电流与线电荷的关系?电流与面电荷的关系?体电流是以面为单位体电流是以面为单位传播，面电流是以线传播，面电流是以线为单位传播，线电流为单位传播，线电流是以点为传播是以点为传播山东大学物理学院 宗福建37我们知道，物体所带的电荷是构成物体的粒子（电子、质子等）的一个属性。不论发生任何变化过程，如化学反应、原子核反应甚至粒子的转化，一个系统的总电荷严格保持不变。这是目前为止人们所知道的自然界精确规

15、律之一。电荷守恒定律在数学上用连续方程表示。考虑空间中一确定区域V，其边界为闭合曲面S。当物质运动时，可能有电荷进入或流出该区域。但是由于电荷不可能产生或消灭，如果有电荷从该区域流出的话，区域V内的电荷必然减小。 山东大学物理学院 宗福建38通过界面流出的总电流应该等于V内的电荷减小率 应用高斯定理把面积分变为体积分 SVddVt JSSddVJSJ()0VdVtJ山东大学物理学院 宗福建39应用高斯定理把面积分变为体积分 由积分元dV的任意性，可得微分形式 0tJ()0VdVtJ山东大学物理学院 宗福建40以上公式是对任意变化电流成立的。在恒定电流情况下，一切物理的量不随时间而变，因而 /t

16、 = 0，因此0J上式表示恒定电流的连续性。恒定电流分布是无源的，其流线必为闭合曲线，没有发源点和终止点，换句话说，恒定电流（直流电）只能在闭合回路中通过，电路一断，直流电就不能通过，这是我们熟知的事实。 41针对思考问题的知识扩充针对思考问题的知识扩充前述电流连续性方程的特点：前述电流连续性方程的特点： 面分布：面分布：Jt 电荷守恒定律电荷守恒定律 电荷：体电荷电荷：体电荷 电流：体电流电流：体电流新问题：新问题： 如果电荷为面电荷，电流是面电流，电流连续方程如何？如果电荷为面电荷，电流是面电流，电流连续方程如何？ 如果电荷为线电荷，电流为线电流，电流连续方程又如何？如果电荷为线电荷，电流

17、为线电流，电流连续方程又如何？答案：答案： 线分布：线分布：( )( , )ldI ll tdlt sssJt SVddVt JS1. 1. 库仑定律库仑定律 库仑定律是静电现象的基本实验定律，它表达如下：真空中静止点电荷Q对另一个静止点电荷的Q作用力F为:式中r r为由Q到的Q径矢，0真空电容率（真空介电常量）。山东大学物理学院 宗福建422114QQrrF 0rQQCoulombs lawCoulombs law, or Coulombs inverse-square law, is a law of physics describing the electrostatic interac

18、tion between electrically charged particles. The law was first published in 1784 by French physicist Charles Augustin de Coulomb and was essential to the development of the theory of electromagnetism. It is analogous to Isaac Newtons inverse-square law of universal gravitation. Coulombs law can be u

19、sed to derive Gausss law, and vice versa. The law has been tested heavily, and all observations have upheld the laws principle.Coulombs lawCoulombs law states that:The magnitude of the electrostatic force of interaction between two point charges is directly proportional to the scalar multiplication

20、of the magnitudes of charges and inversely proportional to the square of the distance between them.The force is along the straight line joining them. If the two charges have the same sign, the electrostatic force between them is repulsive; if they have different signs, the force between them is attr

21、active.库仑定律只是从现象上给出两电荷之间作用力的大小和方向，它并没有解决这作用力的物理本质问题。对库仑定律可以有不同的物理解释。一种观点认为两电荷之间作用力是直接的超距作用，即一个电荷把作用力直接施加于另一电荷上；另一种观点是相互作用通过电场来传递的，而不是直接的超距作用。 实践证明通过场来传递相互作用的观点是正确的。 山东大学物理学院 宗福建45山东大学物理学院 宗福建4630( )4FQrE xQr电场的基本性质电场的基本性质：对电场中的电荷有力的作用对电场中的电荷有力的作用 假设一个电荷周围的空间存在着一种特殊的物质，称为电场。另一电荷处于该电场内，就受到电场的作用力。对电荷有作

22、用力是电场特征性质，我们就利用这性质来描述该点上的电场。 用一个单位试验电荷在场中所受的力来定义电荷所在点x x上的电场强度E E(x x)。电荷Q 在电场E E中所受的力F F为 山东大学物理学院 宗福建47FE Q一个静止点电荷Q所激发的电场强度为: 山东大学物理学院 宗福建48214rrEe 0Q由实验知道，电场具有叠加性，即多个电荷所激发的电场等于每个电荷所激发的电场的矢量和。设第i个电荷Qi到P点的距离为ri ,则P点上的总电场强度E E为 : 山东大学物理学院 宗福建4934iiiirE 0Q r在许多实际情况下可以把电荷看作连续分布于某一区域内。 在V内某点x上取一个体积元dV

23、，在dV 内所含的电荷dQ等于该点上的电荷密度(x x )乘以体积dV ： 山东大学物理学院 宗福建50()ddV Q =x设由源点xx到场点x x的距离为r r,则P点上的电场强度E E为 式中积分遍及电荷分布区域。 山东大学物理学院 宗福建5131()( )4xdVrE 0 x r34iiiirE 0Q r在许多实际情况下可以把电荷看作连续分布于某一区域内。 设电荷连续分布于区域V内。在V内某点x上取一个体积元dV ，在dV 内所含的电荷dQ等于该点上的电荷密度(x x )乘以体积dV ： 山东大学物理学院 宗福建52()ddV Q =x对于线电荷及面电荷分布情况:山东大学物理学院 宗福建

24、53d Q =( x )dVd Q =( x )dsd Q =( x )dl山东大学物理学院 宗福建54,(19)(20)3(21)0(22)( )( )(23)( )( )rxiy jzk rrrrrrrf ufuurf rfrr 若，则有：山东大学物理学院 宗福建553,(24) ( ) 0(25)()0(26)(),()(27)(),()sVlSrxiy jzk rrf r rrrA dSA dVA dlA dS 若，则有：奥氏公式斯托克斯公式山东大学物理学院 宗福建560,(0)( ),(0)0,(0)( )1,(0)xxxVx dxV山东大学物理学院 宗福建573333411()0,

25、(0)33rrrrrrrrrrr r 不存在，(r=0)300(0)rdVdVVr山东大学物理学院 宗福建583333411()0,(0)33rrrrrrrrrrr r 不存在，(r=0)3323(0)44srrdVdSVrrrrrrr 山东大学物理学院 宗福建593333411()0,(0)33rrrrrrrrrrr r 不存在，(r=0)34( )rrr31( )4rrr山东大学物理学院 宗福建6034()rxxrxxrxxr若：山东大学物理学院 宗福建613,1()( )4rxx rxxxdVrE 0 x r31( )()41()4()41( )rxdVrxx dVE 000 xxx山东

26、大学物理学院 宗福建623,1()( )4rxx rxxxdVrE 0 x r1( )( )xE 0 x山东大学物理学院 宗福建631( )( )( )( )1( )1( )1svvvxx dSx dVdVdVQEEE 0000 xxx山东大学物理学院 宗福建641( )( )1( )sxx dSQEE 00 xGausss lawIn physics, Gausss law, also known as Gausss flux theorem, is a law relating the distribution of electric charge to the resulting ele

27、ctric field.The law was formulated by Carl Friedrich Gauss in 1835, but was not published until 1867.Gausss lawGausss law states that:The net electric flux through any closed surface is equal to 1 times the net electric charge enclosed within that closed surface.山东大学物理学院 宗福建67333343311()13001()( )41

28、( )()04( )0rrrrrrrrrr rxdVrrxdVrx EEE 00 x rx山东大学物理学院 宗福建6831()( )4( )( )( )0 xdVrxxEEE 00 x rx结论结论： 静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关 静电场是纵场静电场是纵场, 电力线始于正电荷电力线始于正电荷,并止于负电荷并止于负电荷例例 电荷Q均匀分布于半径为a的球内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。 山东大学物理学院 宗福建69解解 作半径为r的球（与电荷球体同心）由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当r a时，