数列极限的性质

1、数列极限的性质数列极限的性质1.1.有界性有界性 定理定理“收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界”注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论：推论：无界数列必定发散无界数列必定发散. .1( 1).n如：发散2.唯一性唯一性 定理定理“每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限”3.3.保号性定理保号性定理lim,0(0),0,N,0(0).nnnnxAAANnxx 若且或则 正整数当时 都有或推论：推论：0(0)lim,0(0).nnnnnxxxxAAA 若数列 从某项起有或，且那么或1.4 函数极限函数极限重点：重点：1. 自变量各种趋向下函数极限的定

2、义；自变量各种趋向下函数极限的定义；2. 2. 唯一性、局部有界性、局部保号性；唯一性、局部有界性、局部保号性；3. 3. 无穷小、无穷大的定义；无穷小、无穷大的定义；4. 4. 无穷小与极限的关系；无穷小与极限的关系；5. 5. 水平渐近线、铅直渐近线；水平渐近线、铅直渐近线；难点：难点：函数极限的精确定义及证明。函数极限的精确定义及证明。1、定义：、定义：自变量自变量各种趋向各种趋向下函数极限的定义；下函数极限的定义；2、性质：、性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、 左右极限、无穷小的性质左右极限、无穷小的性质: 3、计算：、计算：

3、用定义、用定义、极限运算法则极限运算法则（1.5）、极限存在准则（）、极限存在准则（1.6） 两个重要极限（两个重要极限（1.6）、等价无穷小替换、左右极限、）、等价无穷小替换、左右极限、 罗比达法则；常用方法：（例罗比达法则；常用方法：（例1.5.11.5.9）。）。4、应用：、应用：水平渐近线、铅直渐近线判断；几何意义；微积分的水平渐近线、铅直渐近线判断；几何意义；微积分的 理论基础；其它。理论基础；其它。00,0,0,( )xxf xA 0 xxlimf(x)=A当时0 xAAA0 x0 x)(xfy xyo一、各种趋向下函数的极限一、各种趋向下函数的极限1.（定义（定义 1.4.2）|

4、f(x)A| 00 |( )xx 00( )()f xUx设在有定义，*例例1 1lim(21)0 xx证明证明证明0 对|( ) 1| |(21) 1|f xx要使2故取.得证2|1|1|2xx只要，即x-1则，当0| 时，恒有|(2x-1)-1|0,(, ),|( )| 1xxf xAxUxf xM“若则存在常数M 0，及当例如：时 有（取可证）3 3、局部保号性、局部保号性 定理定理1.4.21.4.2 ).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理1.4.31.4.3000(, ),( )0( )0),lim

5、( ),0(0).xxxUxf xf xf xAAA若当时或且则或1lim0 xAx如：4、不等式性质（局部）（、不等式性质（局部）（P21 TH1.5.6）定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设定理定理1.4.2 1.4.2 ).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若推论：推论：000lim( ),(0),0,(, ),|( )| |.2xxf xA AAxUxf x若则当时0 x00Alim020,(, ),xx

6、Ux设f(x)=A0,取， 则当证：时明有A|f(x)-A|A-22=0，得证.且有推论：三、无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大1.无穷小无穷小例如例如:, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnnlim( )0 xf x定义：“若， 则称f(x)在这种趋向下是无穷小”注意注意 1)称称函数为无穷小函数为无穷小，必须指明自变量的趋向；，必须指明自变量的趋向；2)无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆

7、;3)零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.意义：意义： 1)将将一般极限问题一般极限问题转化为转化为特殊极限问题特殊极限问题(无穷小无穷小);02)( )( ),( ).f xxf xAx给出了函数在 附近的近似表达式误差为定理：无穷小定理：无穷小与与函数极限函数极限的关系的关系:lim( )()xf x 定义：“若或， 则称f(x)在这种趋向下为无穷大”注意注意无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;2. 无穷大无穷大3. 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系定理定理 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;

8、;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.?1li1?mxx 例.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx x11lim212xx.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 11lim1xx即：四、应用四、应用1、定义：、定义：自变量自变量各种趋向各种趋向下函数极限的定义；下函数极限的定义；2、性质：、性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、 左右极限、无穷小的性质左右极限、无穷小的性质: 3、计算：、计算：用定义、用定义、极限运算法则极限运算法则（1.5）、极限存在准则（）、极限存在准则（1.6） 两个重要极限（两个重要极限（1.6）、等价无穷小替换、左右极限、）、等价无穷小替换、左右极限、 罗比达