弦振动的误差分析

1、弦振动中误差的研究实验目的：（1） 研究弦振动中整码的重力与绳子拉力之间的关系，测量整码重力在多大范围内是和绳子张力相等的；（2） 研究弦振动中频率的改变对绳子张力和密度的影响，算出它们的误实验原理如图（1）实验时在和间接上弦线（细铜丝），使弦线绕过定滑轮结上 整码盘并接通正弦信号源。在磁场中，通有电流的弦线就会受到磁场力 （称为安 培力）的作用，若细铜丝上通有正弦交变电流时， 则它在磁场中所受的与电流垂 直的安培力，也随着正弦变化，移动两劈尖（铜块）即改变弦长，当固定弦长是 半波长倍数时，弦线上便会形成驻波。移动磁钢的位置，使弦振动调整到最佳状 态（弦振动面与磁场方向完全垂直），使弦线形成明

2、显的驻波。此时我们认为磁 钢所在处对应的弦“ O'为振源，振动向两边传播，在铜块 A、B两处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。为了研究问题的方便，认为波动是从 A 点发出的，沿弦线朝B端方向传播，称为入 射波，再由B端反射沿弦线朝A端传播， 称 为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上 沿相反方向传播时将相互干涉，移动劈尖B 到适合位置.弦线上的波就形成驻波。这时， 弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。驻 波形成如图（2）所示。设图中的两列波是沿X轴相向方向传播 的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐 波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成驻波用粗

3、实线表图（2）示。由图可见，两个波腹间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。 设沿X轴正方向传播的波为入射 波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “O',且在X= 0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程 分别为：Y = Acos2 (ft x/ )%=Acos2 (ft +x/ 入)+式中A为简谐波的振幅，f为频率，为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：Y +Y = 2Acos2 (x/ ) + /2Acos2 ft 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各

4、点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为I 2A cos2 (x/ ) + /2 | ,与时间无关t,只与质点的位置x 有关。由于波节处振幅为零，即：|cos2(x/ ) +/2 |=02 (x/ ) + /2=(2k+1)/ 2(k=0. 2. 3.)可得波节的位置为：x =k /2而相邻两波节之间的距离为：xk+1 xk = (k + 1) /2 k / 2= / 2 又因为波腹处的质点振幅为最大，即 | cos2 (x/ ) + /2 | =12 (x/ ) + /2 =k (k=0. 1. 2. 3.)可得波腹的位置为：x=(2k-1) /4这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，

5、在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离(弦长) 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：L= n / 2 ( n=1.2. 3.)由此可得沿弦线传播的横波波长为： = 2L/ n 式中 n 为弦线上驻波的段数，即半波数。根据波速、频率及波长的普遍关系式：V= f,将式代入可得弦线上横波的传播速度：V= 2Lf/n另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为：1/2V= (T/ p )式中T为弦线中的张力，p为弦线单

6、位长度的质量，即线密度。再由式可得f = (T/ p ) 1/2 (n/2L)2Ft2l由式可知，当给定T、p、L,频率f只有满足以上公式关系，且积储相应能 量时才能在弦线上有驻波形成。实验步骤1、 连接实验装置。2、 测量弦线线密度。测出弦线的质量及其长度。根据 外 ,计算弦线密度。3、 测圆柱半径，用游标卡尺测量其直径，多次测量求平均值。4、 观测频率和绳子张力Ft之间的关系(1) 取质量为50g的整码挂于弦线的另一端，然后调节频率，调节劈尖的位置，得到稳定的驻波。分别测量波节 N=1, N=2, N=3时，劈尖与圆 柱底面圆心的距离。当频率大于 130Hz时，取N=1, N=3, N=5

7、.(2)改变频率f从80Hz到150Hz，整码质量不变，重复上述步骤(1), 并记录数据。5、 观测整码质量mg与张力Ft之间的关系调节频率为100Hz,整码质量从10g到200g时调节劈尖的位置得到稳定 的驻波，测量当N=1, N=2, N=3时，劈尖与圆柱底面圆心的距离。注：当整码质 量为 15g 时，取 N=2, N=3, N=4.6、 整理数据并处理实验数据及处理(一)整码质量对绳子张力和密度的影响:1、 的测量弦线l 1cm质量m 0.4g=ml =0.4 10-3kg m32、弦振动实验装置圆柱的半径直径D1/cmD2/cmD3/cmD4/cmR/ cm114.54114.4114

8、.36114.645.72如下表：表中M为整码的质量，N为波节数目，l为波节长度，为波长的平均值， 为纯子的密度，FT为绳子拉力的平均值，F2 2100Hz 纯子密度丁为 绳子张力FM/gN=1N=2N=3/cm10-3 kg/ m3FT ( 10-3 N)/%FT /%l/cm上/cmWcm1016.223.73150970.3842102.043.953.9615N=2N=3N=419.270.3958148.481.050.9919.3229.0238.3225.424.7237.0724.7160.4074244.351.851.864516.6733.0249.4233.040.40

9、39436.570.971.0155.218.4636.8255.1236.80.3994541.6960.150.1375.321.2242.4263.7342.460.4093721.032.322.3485.522.9546.1168.6245.890.3978842.480.550.54106.551.0677.0251.230.39761049.890.60.5820135.5271.0871.070.38992020.182.522.49注：仅当M=15g时，波节数目为特殊情况 其图像如下所示：（见下页）百分误差/%祛码质量对绳子张力和密度的百分误差系歹系列2m/g（二）振动频率对

10、绳子密度和张力的影响:G mg 50 10-3 9.8 0.49N/HzN=1N=2N=3/cm10-3 kg/ m3Ft(10-3N)/%Ft /%"cm/ml3/cm8021.5243.6366.643.920.397493.820.750.79019.2639.0258.9939.090.394495.081.51.0210017.3134.6653.1235.030.399490.840.170.1711016.0332.0247.831.950.397494.070.820.8212014.7328.8343.5329.030.4037485.420.920.94/HzN=

11、1N=3N=5/cm10-3 kg/m3Ft(10-3 N)/%Ft /%l"cml2/cm他/cm13013.541.0267.5427.120.394498.271.451.3114012.6736.8761.5624.730.4087479.602.172.5215011.6022.8234.3022.910.415472.253.723.76其图表如下图所小:百分误差/%频率对绳子的张力和密度的百分误差在实验过程中我们发现，一方面，当固定振动的频率，改变整码的质量。若整码的质量过小，几乎是 15g左右时，基本上无法研究，实验现象不明显，振动特别不稳定。但是，一旦 整码质量大于

12、20g时，实验现象就明显了很多，而且绳子的张力与整码的质量误 差基本保持在2.5%以下，尤其是50g到100g之间时，误差基本保持在1%£右， 可以说是非常小的。因此，我们在以后的实验过程中，只要整码的质量大于40g往上，基本都是可取的。另一方面，当固定整码质量为50g时，我们通过改变频率来观测对纯子密度 和拉力的影响。实验发现，70Hz以前的频率是基本上不能测试的，绳子的振动 非常不稳定。因此，我们在实验过程中频率选在从 80Hz到150Hz,由实验结论和 实验图表可得：改变振动频率产生的实验误差是先减小到 100Hz后又增大，因此 在以后进行实验时，频率选在100Hz时，误差最小

13、。还有一个特殊现象，当频率过大，大于130Hz时，会出现一个特殊现象，当 波节数目为偶数时，振动特别不稳定，劈尖到滑轮处也会出现微小的波节。而且， 本来出现的两个波节会慢慢的合成一个波节，合成后的波节长度几乎和原来两个 波节的长度相等，且振动幅度特别大，但是当出现奇数波节时，则不会出现这种 情况，实验现象也相对稳定。这对实验带来了难度，因此，我们为了避免这种情 况，减小实验误差，测量时，我们只选取奇数波节时的波节长度，这样，得出的 结论就相当准确。当然，由于实验室的实验仪器本身用于教学，不属于研究器材，因此，实验 精度本身就不是很高，所以所测的实验数据也不是非常精确，导致实验出现误差， 当然这个误差是无法避免的。同时，在测量波节长度l时，用于人肉眼原因，测量的数据相对也会出现偏 差。实验心得这次实验中，我们组成员分工明确，齐力配合，取得的成绩非常明显。实验 过程中，由于实验数据的巨大性，我们走了不少弯路，经过小组成员讨论，查阅 资料，然后以严谨的态度测量每一组实验数据，终于，功夫不负有心人。我们终于得出