徐芝纶编弹性力学简明教程第四版全部章节课后答案详解

1、弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论1-1试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定：非均匀的各 向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。1-2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？ 一般的岩质地基和 土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性, 各向同性假定。【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和

2、岩质地基不可以作为理想弹性体。1-3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体枳都被组成这 个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理 量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示 他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全 恢匆原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者 之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为 线性的方程，其

3、弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整 个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的， 因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此 假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的 位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的 平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与 形变的关系时

4、，它们的二次累或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程。1-41应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力 和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时）， 这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向 为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的 负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力

5、分量与面力分量符号相 反。XV，.I负面正面% 7% X负面正的面力正的应力1-5试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标 面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。1-6试举例说明正的应力对应于正的形变。【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包 括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产生轴向拉 应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。正的切应力对应于正的切应变

6、：在如图所示应力状态情况下， 切应力均为正的切应力，引起直角减小，故为正的切应变。1-7试画出图中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。【解答】正的体力、面力1-8试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向。【解答】1-9在图1-3的六面体上，y面上切应力的合力与z面上切应力.的合力是否相 等？【解答】切应力为单位面上的力，量纲为匚】加77,单位为因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如dxxdyxda则V面上切应力心的合力为：ryz dx dz(a)z面上切应力r.v的合力为：1也心(b)由式(a) (b)可见，两个切应力的合力并不相等。【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直

7、于该两面交线的切应力的合力不相等，但对某 点的合力矩相等，才导出切应力互等性。第二章平面问题的基本理论2-1试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中（图2-14）其应力状态接近 于平面应力的情况。【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该 薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有q =%二=%二=0,只存在平面应力分量b、.,7“，且它们不沿z方向变化，仅为x, y的函数。可以认为此问题是平面应力问题。【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15）,当 板边上只受打y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接

8、近于平面应变的情况。【解答】板上处处受法向约束时名=0 ,且不受切向面力作用，则/ /4 =&二°（相应%=%=°）板边上只受X,），向的面力或约束，所以仅存/ 在4,4/口,且不沿厚度变化，仅为X，y的函数，故其应变状态接近于平面彳 应变的情况。Z2-3在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条 件ZMc = 0改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形 式的方程？解答】将对形心的力矩平衡条件ZMc = 0,改为分别 对四个角点A、B、D、E的平衡条件，为计算方便，在z方 向的尺寸取为单位1。71dx /f dy /x f ff dy(a)dedx-(%+言办加

9、万+(%+dy)dx 1 力 + fxdxdy 1 处一 fxdxdy -1 = 0 22adx 1 + (ctv + dx)dy -(rxy + dx)dy Adx-a.dy !- 2 3x2 3x2(% + 乡 dx)dy/ + (% + ? dy)dx-dy + (% + * dy)dx-1-&2分2-rxydy I dx-(yxdy 1 虫一adx+ fxdxdy1也 + f、,dxdy-1- -= 0 2222lb、dxdv(crv + -dy)dxA' - - Txydy -l-dx+cydy 1 + ryxdx-l- dydy2211ay / d(ydy r t

10、dy r . . . dx A(y dx A (b +-dx)dydxdy - 1 + j dxdy-l = 02 x dx 2 A 22z%=°Godxdydx一(5力)心1一+0办1二+ T、/xl办+ (7VdXl一一dy222(d) dvdxdx)dy - 1 - dx- fxdxdy - 1 + fydxdy '1- = ()22de dy伍+除因力/万一（+*略去（a）、（b）、（c）、（d）中的三阶小量（亦即令d'dy,dxdb都趋于0）,并将各式都除以公办后合并同类项,分别得到% 【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切

11、应力互等定理。【22】在图2-3和微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，验证将导出什么形 式的平衡微分方程？【解答】微分单元体ABCD的边长dx,办都是微量，因此可以假设在各面上所受的应力如图a 所示，忽略了二阶以上的高阶微量，而看作是线性分布的，如图（b）所示。为计算方便，单元体在 z方向的尺寸取为一个单位。八XcXQ*血皿上山）vx(b)各点正应力：dea十寸9）=区；, 、 de .9） = 5 + 1办;dyde f9)=4+黄公/ 、啊7 啊A卬十工小寸；dedo(q)c = % + 公 + dxOv9r各点切应力:(Tyx)A = Tyx(%)A = Txy ；(%)8

12、 = Txy +（79）。=7今+ dx；dx6"+ dxdxdr dr9” = % + %”丫+.办or or(%”=%+姿小+多办由微分单元体的平衡条件EG = 0, 巩=0,得,斗+卜得制卜+骷+等叶值+*+箓可卜- （+卜+5H卜X+即* + ,）+, +等加%+侦加。or YU I dr （ dr dr H%+蕾硼加卜卜瞪卜卜蕾加肾可卜+小=。以上二式分别展开并约简，再分别除以公办，就得到平面问题中的平衡微分方程:也+空L +dx dyA = o；注+”dy*dx【分析】由本题可以得出结论：弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。（2-5在导出平面问题的三套基本方

13、程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是 什么？【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：物体的连续性和 小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：连续性，完全弹性，均匀性和各向同性假 定，即理想弹性体假定。同样，理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件。【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？（2-6在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平 面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。试根据相应的物理方程来解释这种现象。【解答】

14、体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力分量相同。由物理方程可以看出，两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。由于E 为GPa级别的量，而泊松比取值一般在（0, 0.5）,故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，比 较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题的系数1/£要大于平面应变问题的系数（1-笛）/石。因此，平面应力问题情况下应变要大，故钢圆环变形大。2-7在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题和两类平面问 题的应力分量巴.和%均相同。试问其余的应力，应变和位移是否相同？【解答】（1）应力分量：两类平面问题的

15、应力分量%和%均相同，但平面应力问题4 = J = %： = °，而平面应变问题的J = % = o,q = 4（q + q）。（2）应变分量：已知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相 同，故应变分量=八二=。/刈相同，而邑,与，殍不相同。（3）位移分量：由于位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平面问题也不同。9图216【2-8】在图2-16中，试导出无面力作用时AB边界上的a，a, 之间的关系式【解答】由题可得：/ = cos «,/« = cos（67-90 ） = sin afx（AB） = 0jy（AB） = 0将

16、以上条件代入公式（2-15）,得：（?）" 。8 sm。= °，（4）" sin a + （%）" cos a 二。A SJs = -（0产 a = 9）/"，a【2-9】试列出图2-17,图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原 理列出三个枳分的应力边界条件。V/>)，(hz»b)图 2-17图 2.18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积 分形式，大边界上应精确满足公式(2-15)。【解答】图2-17：上(v=0)左。=0)右(.v=b)/0-11m-10

17、0工(s)0og(y+4)_pg(y+%)Pgh100代入公式(2-15)得在主要边界上x=0,上精确满足应力边界条件：(q)- = -pg(y+J，(%L = o；(%晨二一屐()'+九)，(%). 二 °；在小边界y = 0上，能精确满足下列应力边界条件:()v=o=-(r-Lo = O在小边界y = h2上，能精确满足下列位移边界条件:()=。，3),=。 /=生 7 y=h这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚5=1 时，可求得固定端约束反力分别为：F, = 0, Fn = -pghb,M = 0由于y =久为正面，故应力分量与

18、面力分量同号，则有:二一夕刎<(巴)xdx = 0JO v '八=限 .(%) /公=°J 0 - / v=/u图2-18上下主要边界产4/2,产/1Z2上，应精确满足公式（2-15）lm74（s）hV = 一一0-10q2hy =-01-<7i02(b1V=如2 = 一(I 9 (rvA)y=./>/2 =。，(b».)尸及2 =。» (rvA)y=A/2 = 一4在X=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符 号相反，有rh/2f/仍9)=0公=一心Ch/2J 小9)=0 必=-M在X二/的小边界上

19、，可应用位移边界条件I = 0,匕=/ = 0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力:阳£F =0、Fn + F；= qj n F: =qj-&£F、=0,Fs + F + ql = 0 = F = ql Fs工MA=O,M + M*FJ + Lq 尸一LqJh = 0 = M =-M-Fj d2222由于x=/为正面，应力分量与面力分量同号，故rh/2【心（巴）-心=4=，1，一人. £ 9Ji她="=哈-用-小号£（%）1外=尸S【2-10】

20、试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中 OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是 静力等效？【解答】由于/，OA为小边界，故其上可用圣维南原理, 写出三个积分的应力边界条件：- x（a）上端面OA面上面力fx = 0,人=-qb由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符 号相反，有小一17处=痣2=快, a :x (b t qb2xdx = - fvxdx = q x dx =2一Jo Jy)12 (对OA 中点取矩)dx=0（b ）应用圣维南原理,负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反,面力主矢y向为正, 主矩为负，则dx = -Fv =- -J

21、o y /y=oa 2,£（%）,»=_“ 金£（%）"=o综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个枳分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力 等效的。2-11检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】（1）在区域内用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；（2）在上用位移表示的应力边界条件式（2-19）；（3）在上的位移边界条件式（2-14）；对于平面应变问题，需将E、作相应的变换。【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分量必须满足的条件。2-12检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】（1）在区域A内

22、的平衡微分方程式（2-2）；（2）在区域A内用应力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）；（3）在边界上的应力边界条件式（2-15）,其中假设只求解全部为应力边界条件的问题:（4）对于多连体，还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件。【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】用应变表示的相容方程式（2-20）（2-13检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？【解答】（D在区域A内用应力函数表示的相容方程式（2-25）：（2）在边界S上的应力边界条件式（2-15）,假设全部为应力边界条件;（3）若为多连体，

23、还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。2-14检验下.列应力分量是否是图示问题的解答：图 2-20图 2-21（a）图 2-20, o =x b2【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）； （2）用应力表示的相容方程（2-21）； （3）应力边界条件（2-15）。（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且A = = 0d(yr dr八 do dr丁 +二一=0 = 0显然满足及3dx1（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21）,有等式左=d2 d2dx+df% + %)=患工0=右篇-（取梁的厚度b=l）,得出

24、所示问题的应力分量不满足相容方程。因此，该组应力分量不是图示问题的解答。（b）图2-21,由材料力学公式，q =-j-y, rvv解答：q=2q标 rvv = _222_（/72-4y2） o又根据平衡微分方程和边界条件得出：名二一2 二幺土。试导出上述公式，并检验解答的正确性。-2 lh h 2 /【解答】（1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1,高为h的矩形，其对中性轴（Z轴）的惯性矩/ =眩，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程 12M(x) = _x：F(x) = _blqx22/所以截面内任意点的正应力和切应力分别为:得:M (x) y = -2qX

25、)'lh3£32bhh2根据平衡微分方程第二式（体力不计）。浊+Jdy dxxy c 42qr+ A lh根据边界条件=0%号冷噜一犷将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：左=-6q.Z/?3厂y /.+ y = 0=% 满足 lh第二式自然满足将应力分量代入相容方程（2-23） +全上+ b、.) = -12 端-120 Ao =右应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。【2-15】试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。【解答】(1)确定最大最小切应力发生位置任意斜面上的切应力为工”=/?(-5),用关系式尸

26、+利2 = 1消去m,得rn =一巧)=±4一 一/4(/ 一巧)=±1/4-(1/2-/2)2 (% -5)由上式可见当4一/2=0时，即/= ±上时，乙为最大或最小，为 亿)a=±=2。因此, 2V 2mm 2切应力的最大，最小值发生在与大轴及)、轴(即应力主向)成45°的斜面上。(2)求最大，最小切应力作用面上，正应力b“的值任一斜面上的正应力为%=产9一%)+4最大、最小切应力作用面上/ = ±JI7,带入上式，得b =_ %) + 4=：(q + b2 )证毕。2-16设已求得一点处的应力分量，试求= -400;(a)j =

27、 100,= 50,Txy = 10>/50; (Z?)crv = 200,crv = 0"(c)(7v =-2000,o; =1000/°, = -400; (d)o =-1000,(7V =-1500,rn = 500. JJJ-/【解答】由公式(2-6)力一巴.<J -巴+巴土2 一+ t2 及 tancn =得 cn 二 aictan%100 + 50±2r ioo-5o 丫+ (10V50)2 =150% = a3au安理=35。16,10V50200 + 0土2200-OY+ (-400)"=512-312519 700- aic

28、tan: = aictan(-0.78)= -37°57,-2QQQ + 1QQ0±r-2000 +1000 Y+ (-400)-=1052-20521052 + 2000/ 、a、= arctail=arctan (-7.38)= - 82°32,(d)-1000-1500±2( 1000 +1500 丫 v+ 300-=J-691 -1809691 + 1000.c cicda. = aictan= arctan 0.618 = 31 °4315002-17设有任意形状的等候厚度薄板，体力可以不计，在全部边 界上（包括孔口边界上）受有均匀压

29、力%试证% =Oy =-4及% = 0 能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条 件，因而就是正确的解答。【解答】（1）将应力分量q = % =-<7,% = 0 ,和体力分量A = 4 =。分别带入平衡微分方程、相容方程dx啊"f A=+' = °(a)(b)u(q+%)=°显然满足（a） （b）（2）对于微小的三角板A, dx,力都为正值，斜边上的方向余弦/ = 85（”,工）,7 = 85（,），将q =q =q% = 0 ,代入平面问题的应力边界条件的表达式(2-15 ),且fx = -qcosx)Jy=qcos(77,

30、 y),则有o; cos (az, x) = -q cos (, x), / cos (, y) = -q cos (, y)所以 =_q,by =_q。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。该题为平面应力情况，首先，将应力分量代入物理方程（2-12）,得形变分量,（一 一1）（ 一 1）八6=广 qq =匕%=°将（d）式中形变分量代入几何方程（2-8）,得(d)前两式枳分得到d> (z/-l)仇，du 八q, =q, + =0 E dx (e)=岑 qx + /；()#=岑 qy + f2 (x) EE(f)其中工（

31、9;），上（x）分别任意的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（力代入式（e）的第三式，得dy dx等式左边只是），的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数0, 于是有皿一，幽Jdydx积分后得（y） = 一纱+（x） = gx+% 代入式（f）得位移分量( T)u =Ey=(4 - DEqx-a)y + uQqy + cox + v0其中°,%,0为表示刚体位移量的常数，需由约束条件求得从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件。因而，应力分量是正确的解 答。【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F （图2-22）,体

32、力可以不计。试根据 材料力学公式，写出弯应力 =°,然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这 些表达式是否就表示正确的解答。 M(x)12尸弯成力 5 = - y = -r-xy ；L h该截面上的剪力为a（x）=尸，剪应力为6户仅21r1五=如应=-F .伫色3+*lx(/12)u J L 2取挤压应力bv = 0（2）将应力分量代入平衡微分方程检验K I、 / -12F12尸 八 十第一式：左=y + y = 0 =右 /rI f .第二式：左=0+0=0=右该应力分量满足平衡微分方程。（3）将应力分量代入应力表示的相容方程左=72（5+0；） = 0 =右 满足相

33、容方程 人F（4）考察边界条件在主要边界y = ±/2上，应精确满足应力边界条件（2-15）1m ; 工hy =上o-ioo2h ,y =一 上 oioo 2代入公式（2-15）,得=。，（%）尸一心=。；（4%。，（%）=0在次要边界40上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩-（区）厂0办=0 =加句面力主矢 J-h/2L J, 9）=0）由=o =面力主矩O）x=o办=（：J-笄4-力办=-F =响面力主矢J-h/2'J-h/2 h 4. 一满足应力边界条件在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、停）W 主矩，Fn=0、Fs=-

34、F、M=-FI F§）其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：a，?，、,严212尸f f八人=_匚2下岫=0 =&rh/2. ch/2 12尸.-> ._心（4）日 ydy = -_hily-dy = -Fl = Mk（ %几的=y切力=Fs满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。2-19试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为av dv/v=-Jv = -,其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示成为 dx > dyd2（r>d?d?= f + V,b、= f + V,= 土上，试导出

35、相应的相容方程。dy-及一 ° dxdy【解答】（1）将。,4带入平衡微分方程（2-2）dade6t,.dVv ,阴.f _ o. 以-n'.1 / r UiVdx 济 xdx为dx' => dav 0Tl、dV+ f - 0y上-nt / . u1V6 dx 'Jdx(a)将（a）式变换为(b)为了满足式（b）,可以取17 于 。二CT - V =* *V =.7 =dx2 " dxdy*17 夕及一OXOV1（2）对体力、应力分量力"名%求偏导数，得dfx _ d2V fy _ d2V 砥一一右dydf(c)。立一 夕 d2V d

36、2ax _ d4 d2V dxrdxdf'+dxr， "一声十讲 。»丫。d2V。匕、夕d2V= = dx2dx4dx2 "dy?dx2dy2dy?将（c）式代入公式（2.21）得平面应力情况下应力函数表示的相容方程京(q+a)=(i+)、- 7 dx dy )(2-21)。4 d2V 04 d2V 64 d2V O4 d2V 八 、理+获+可 + 评 + 右 + 右 + +溟 =(+")(d2v d2vdx2 dy2整理得:次 040，T + 2 ; HT- dx-丹= -(!-/)（d2V d2VI。厂输厂(d)即平面应力问题中的相容方程为V

37、4(D = -(1-/)V2V将（c）式代入公式（2-22）或将（d）式中的替换为2_,的平面应变情况下的相容方程:1一46,646d2V d2Vr + 2 、 、+ = - + -(e)dx 8-dy- dy 1一 (广令-)即 VS 一七必 l-A证毕。第三章平面问题的直角坐标解答3-1为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15）,而在 小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代 替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15）,将会发生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全

38、得到满足, 往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将 物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影 响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上 用三个枳分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15）,就会影响大部分区域 的应力分布，会使问题的解答精度不足。3-2如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应 力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然 满足的，固而可以不必校核。【解答】区域内的每一微小单元均满足平

39、衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体 的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡 条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界 条件是自然满足的,因而可以不必校核。3-3如果某一应力边界问题中有m个主要边界和n个小边界，试问在主要边界和小 边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？【解答】在m个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15）, 共2m个：在n个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n个；如果不能满足 公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界

40、条件来代替2个精确 应力边界条件，共3n个。图383-4试考察应力函数=。）在图3-8所示的矩形板 和坐标系中能解决什么问题（体力不计）？【解答】相容条件：不论系数a取何值，应力函数=。总能满足应力函 数表示的相容方程，式（2-25）.求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公式（2-24）,得b, = 6g，,b,=0,r-°考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当a>0时，考察巴分布情况，注意到<).=0,故y向无面力左端:九(。)=0 = 60(0 < y<h) fy = (%)o = 0右端:(b,)E= 6ay (0&l

41、t;y< /?) %=(%)3 0应力分布如图所示，当/时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心出巨e：因为在A点的应力为零。设板宽为b,集中 产吨荷载p的偏心距e：°)端一赢=°"6同理可知，当。<0时，可以解决偏心压缩问题。【解答】(1)由应力函数得应力分量表达式4=0, % = 2 ,% = % = -2ax(/o; +町.)=工(s) 考察边界条件，由公式(2-15) '"，二("Qv+/%),. =4.($)主要边界，上边界)，=一，上，

42、面力为Z(y = -1) = 7v(y = -1) = ah乙乙主要边界，下边界y = g,面力为Z（y = |）= -2=,£ （y = ；） = ah次要边界，左边界大二0上，面力的主矢，主矩为 rh/2,X 向主矢：F,=-J 9）=。办=°rh/2向主矢：、,=一1仃（几0方=。主矩：知=-。：（/）用力=0次要边界，右边界大二/上，面力的主矢，主矩为X 向主矢：F；=：（q）E 办=0），向主矢：F；=二（r,.）,v=/ dy =二（-2al）dy = -2alh 主矩：M=。：（区）1必=0弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示=bxy2将

43、应力函数代入公式（2-24）,得应力分量表达式= 2bx , crv = 0 , r, = rvr = -2by考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得h-（ h -（ h在y=一！主要边界，上边界上，面力为7, y = - = bhjy y = - =022 J2 /在y = 下边界上，面力为1y = J =-/?/,4= y =0在次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件 求得：在左边界x=0,而力分布为X （x = 0） = 0Jy （x = 0） = 2by面力的主矢、主矩为hx向主矢：工=一G= 02），向主矢：K =_6（'办

44、=_（-2mg力=022f/i/2主矩；M=_J 3）=0汕=0在右边界X=/上，面力分布为fK(x = l) = 2bl9fy(x = l) = -2by面力的主矢、主矩为x 向主矢：F： =dy = 2bldy = 2blhy 向主矢：FJ = J：(% dy = £(-2助办=0主矩：M，= J：(q)Qdy = J：2b/)，dy = 0弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示(3)二户将应力函数代入公式(2-24),得应力分量表达式5 = 6竺,4 = 0, % = Tyx = -3cyr考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式(2-15)上边界y =-4

45、上，面力为2下边界尸2上，面力为次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得:左边界大二。上，面力分布为1(x=0)= 0，fv(x = 0)= 3cy2面力的主矢、主矩为x向主矢：工=一。：9)=。力=。响主矢：k=-£：(%)/)，= -主矩：M =-：；(%)“办=0右边界工=/上，面力分布为7v(x = /) = 6cly,fy (% = /) = -3cy2面力的主矢、主矩为, 也2 /、.f/i/2x 向主矢工=J（crv）dy = J 6clydy = 0y向主矢：耳=J：。）.公=£（-30，2）外=一那主矩："

46、=仁（4 ）i ydy = 6clydy = | c/?弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足（2）将代入式（2-24）,得应力分量表达式J =r_，%.=o, txy = tyxlr（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：在主要边界上（上下边界）上，y = ±,应精确满足应力边界条件式（2-15）,应力 2（a）y=±A/2=05（）v=±/r/2=0h- （h- （h因此，在主要边界y = ±上，无任何面力，即A" = ± =0,£. y

47、 = ± =02- V2） I2）在X二0, X=/的次要边界上，面力分别为：因此，各边界上的面力分布如图所示:x=l上r7?/2 , F.=Ljdy = o "=Cfa=-F Mh=：Jxydy = -Fl在xO, X=/的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式:x=O上,h F响主矢：%=匚/办=0,州主矢：鼻fy = F,o hf， 主矩：M=J""y = o,Jh/2因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上而力的主矢与主矩，如图因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。3-7试证=必二（4二+3；-1） +”（2二一；）能满足相

48、容方程，并考察它在 4/? h 10 h h图39图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设 矩形板的长度为/,深度为人 体力不计）。【解答】（1）将应力函数代入式（2-25）6, A 於 24qv京=°'歹='-6412分 -24仍，私词川 川代入（2-25）,可知应力函数满足相容方程。（2）将代入公式（2-24）,求应力分量表达式：6?， = fxx = 5V6? 6qx 斤,、% = % = 一9=一尸勺7）（3）考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：在主要边界），=-；（上面），应精确满足应力边界条件（2-15） 工卜=- g）=- （ ）尸-心=&

49、#176;。=-弁 -（ ）z 2=q 在主要边界y = （下面），也应该满足（2-15） 工（y = /? / 2） = （% ）i,2 = 0,1 （y =力 / 2） = （%）=o 在次要边界x=o上，分布面力为/=0）=_9）=。=等一 爷,fv（x=o）= 一（%L = o应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:在次要边界x =/上，分布面力为工（1）=9） 华+第一型 小，1/?3 5h应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件：卜电叱凰-/+誓聿1=。u=口（1）小，=£：岸（B2卜），="M'=f；J（x=/）M'=M（-窄+3上

50、等卜）'=疗综上，可画出主要边界上的面力分布和次要边界上面力的主矢与主矩，如图（a）因此，此应力函数能解决悬臂梁在上边界受向下均布荷载q的问题。【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为p,在一边侧面上受均布剪力q。（图3-10）,试求应力分量。TK H '【解答】采用半逆法求解。/J/由材料力学解答假设应力分量的函数形式。（1）假定应力分量的函数形式。根据材料力学，弯曲应力巴.主要与截面的弯矩有关，剪应力1.主要与图3.1。截面的剪力有关，而挤压应力b,主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则=0（2）推求应力函数的形式将 =0,体力£ = 0/.=。且，代入公式（2-

51、24）有对y积分，得打，/W(a)(b)二才（力+力（力其中/（x）,£（x）都是的待定函数。（3）由相容方程求解应力函数。将（b）式代入相容方程（2-25）,得d4f（x） d4f. （x）y+=o©dx ax在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为），的一次方程，相容方程要求它有无数 多个根（全竖柱内的），值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即"丫）（工）_。dx4 ， dx两个方程要求(d)/(x) = Ar3 + Bx2 + CxJx) = Dx5 + Ex2中的常数项，/（x）中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在的表达式中成为y的一次项

52、及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数=y（Av3 + Bx2 + &）+（瓜3 + Ex2）（e）（4）由应力函数求应力分量%=力-7> = 0(f)(g)(h)在一0?，= -3>Ax-2Bx-Cdxdv9r（5）考察边界条件利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、Eo 主要边界x = 0上（左）：(b)=o=O,(%),1o=O将（f）, （h）代入（巴）.0 = °，自然满足9L=0,自然满足J）r = q ,将（h）式代入，得3)f=-3Ab2-2Bb-C = q（J）在次要边界y = 0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条

53、件:,9、)v=0dx = J：(66+ 2E)dx = 3Db2 + 2Eb = 0£ (crv)v=0 xdx =，(6Dx + 2E)xdx = IDb + Eb2 = 0£ (rvJv=ot/x = j：(-3AF - 2Bx-Cyix = -Ab5 - Bb2 -Cb = 0 由式(i), (j), (k), (1), (m)联立求得人=-0，8 = ?, C = D=E = 0b- b代入公式(g), (h)得应力分量(m)% = 0,一讣加， =赳L一 2【3-9】图3-11所示的墙，高度为h,宽度为b, hb,在 两侧面上受到均布剪力q的作用，试应用应力函数 =Axy + Bx5y求解应力分量。【解答】按半逆解法求解。将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。图3/1由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有o； = = 0，= - = 6Bxy ,= TOv-= -A-3Bx2 Gxdy考察边界条件:在主要边界x =-"2上，精确满足公式（2-