计数原理(排列组合)题型练习

1、计数原理基础训练A组一、选择题1 .将3个不同的小球放入 4个盒子中，则不同放法种数有（）A. 81 B. 64 C. 12 D. 142 .从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出 3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A. 140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种3 . 5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）A.A3B.4A3C.A5A32慰D.A22A3A2A3A334 . a,b,c,d,e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长,不同的选法总数是（）A. 20 B. 16 C. 10 D. 65 .现有男、女学生共 8

2、人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有 90种不同案，那么男、女生人数分别是（）A.男生2人，女生6人B.男生3人，女生5人C.男生5人，女生3人D.男生6人，女生2人.8x 16 .在 一刀尸 的展开式中的常数项是（）2 3 xA.7B. 7C. 28D. 285.37. （1 2x） （2 x）的展开式中x的项的系数是（）A.120 B. 120C. 100 D. 100-2 n8. Jx 方 展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）xA. 180 B. 90 C. 45 D. 360二、填空题1 .从甲、乙，等6人中选出4名代表，那么（

3、1）甲一定当选，共有 种 选法.（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法.2 . 4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法.3 .由0,1,3,5,7,9这六个数字组成 个没有重复数字的六位奇数 .4 .在(X 73)10的展开式中，X6的系数是 .5 .在(1 X2)20展开式中，如果第 4r项和第r 2项的二项式系数相等，贝U r , T4r .6 .在1,2,3,.,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有±7 .用1,4,5, x四个不同数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为

4、288，则x.8 .从1,3,5,7,9中任取三个数字，从 0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有三、解答题1 .判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果(1)高三年级学生会有11人：每两人互通一封信，共通了多少封信？每两人互握了一次手，共握了多少次手？(2)高二年级数学课外小组 10人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的 选法？从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2 . 7个排成一排，在下列

5、情况下，各有多少种不同排法? (1)甲排头，(2)甲不排头，也不排尾,(3)甲、乙、丙三人必须在一起, (4)甲、乙之间有且只有两人，(5)甲、乙、丙三人两两不相邻,(6)甲在乙的左边(不一定相邻)(7)甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序,(8)甲不排头，乙不排当中。.一433 .解程（1）A2x 140Ax；11Cn 1128,一 21 一，一，7，一，“，4 .已知 x2 展开式中的二项式系数的和比 (3a 2b)7展开式的二项式系数的和大 x2 1nm求x2 展开式中的系数最大的项和系数量小的项.x5. (1)在(1+x)n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n等于多少?n1(

6、2) xJX -= 的展开式奇数项的二项式系数之和为128,3 x则求展开式中二项式系数最大项。6 .已知(273x)50a0a1xa2x2La50x50，其中a0,a1,a2 L,a50是常数，计算2 2(a°a2adLa5o)(a1a3a5La49)Word资料综合训练B组一、选择题1 .由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A. 60个 B. 48个C. 36个 D.24个2. 3不同的电影票全部分给 10个人，每人至多一，则有 不同分法白种数是（）A. 1260 B. 120C. 240 D. 7203. n N 且 n 55,则乘

7、积（55 n）（56 n）L （69 n）等于A. A59 nB. A65 nC. A55 nD. A14 n4.从字母a, b,c,d,e, f中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a和b,并且必须相邻（a在b的前面），共有排列法（）种.A.36 B. 72C. 90 D. 1445.从不同的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）A.120B.240C.280D.606.把（J3i x）10把二项式定理展开，展开式的第 8项的系数是（）A.135B.135C.36073iD.360万i1 2nB2"/m7. 2x 的展开式中，x2的系数是224,2x,1口则的系数是（）x

8、A.14 B. 28C.56D.1128.在（1 x3）（1 x）10的展开中，x5的系数是（）A.297B.252C.297D.207二、填空题1 . n个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？2 .以1,2,3L ,9这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有 种不同取法.3 .已知集合S1,0,1 ,P 1,2,3,4，从集合S,P中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点共有个.4 . n,k N 且n k,若 CL：C；:C：1 1:2:3，则 n k . 51 5 . X 1展开式中的常数项有 X6 .在50件产品n中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的

9、抽法共有也（用数字作答）.7 .（X 1） （X1）2（X1）3（X1）4（X1）5的展开式中的X3的系数是8 . A 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ,则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为 三、解答题1 .集合A中有7个元素，集合B中有10个元素，集合 A I B中有4个元素，集合C满足 （1） C有3个元素；（2） C后A U B（3） CI B , C I A求这样的集合C的集合个数.2 .计算：（1） G2,、_ 3_ 3._ 3(2 )C3C4LC10.(3)m n m 1Cn 1 Cnm mn m3,证明：Amm 1 mmAnAn 1 .C nCn,13 4 .求（

10、x 2）展开式中的常数项。x5 .从 3, 2, 1,0,1,2,3,4中任选三个不同元素作为二次函数y ax2 bx c的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？6 . 8椅子排成，有4个人就座，每人1个座位，恰有3个连续空位的坐法共有多少种提高训练C组、选择题3 右An46Cn ,则n的值为（）A.2.6 B.某班有7c. 8 D. 930名男生，30名女生，现要从中选出 5人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于 2人的选法为（A.-2 -2 -1C30 C20 C46B.C50 C30 C20C.C50 C30c20C30c20D.c3c2 c2c3C3

11、0C20C30C203.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本,不同的分法种数是（A._ 2 _ 2C6c4B.c；c：c2a3C. 6a34.设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T ,则T的值为（S20A.-12816C128B.D若（2x2axa?x3%x则(a0 a2、2,、2a4）（a1 a3）的值为（A.1C. 0B.1D. 26.在（xny)的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于（A.13,14B. 14,15C. 12,13D. 11,12,137 .不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面 共有（A. 3

12、个C. 6个B. 4个D. 7个8 .由0,1,2,3,.,9十个数码和一个虚数单位i可以组成虚数的个数为（A.100B. 10C. 9D. 90二、填空题1.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个格里，每格填一个数字，则每个格的标号与所填的数字均不同的填法有 种？2 .在 AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，加上。点共个点，以这12个点为 顶点的三角形有 个.23 .从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数y ax bx c的系数 a,b,c则可组成不同的函数 中以y轴作为该函数的图像的对称轴的函数有 个., a x ,33, 一，94 .若一

13、 J一 的展开式中x3的系数为一，则常数a的值为x 2422225 .若 C3 C4 C5 L Cn 363，则自然数 n 6.CmCmi0Cm则c75 .7 . 0.9915的近似值(精确到 0.001)是多少？ 728 .已知(1 2x)a。 a a?xLa?x，那么 a1 a2 L a7等于多少？三、解答题1 . 6个人坐在一排10个座位上，问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种 ？2 .有6个球淇中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种 不同的排法？3 .求(1 2x)5(1

14、 3x)4展开式中按x的降哥排列的前两项4 .用二次项定理证明 C2n 2 8n 9能被64整除n N02n nn 15 .求证：Cn 2Cn L (n 1)Cn 2 n 26. (1)若(1 x)n的展开式中,x3的系数是x的系数的7倍，求n ；一732一.4(2)已知(ax 1)7(a 0)的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，求a；已知(2x xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 1120，求x.参考答案计数原理基础训练A组一、选择题1. B 每个小球都有4种可能的放法，即 4 4 4 642. C 分两类：(1)甲型1台，乙型2台：C：C； (2)甲型

15、2台，乙型1台：C42c5c：c；c2c5705 23_ 5.2.33. C不考虑限制条件有与，若甲，乙两人都站中间有A3 A3, AA3 A3为所求4. B 不考虑限制条件有 尾，若a偏偏要当副J组长有 A1, & A1 16为所求_2_135. B设男学生有x人，则女学生有8 x人，则C2c8xA33 90,即 x(x 1)(8 x) 30 2 3 5,x 314x o 11。8 r 1r1 o 8 Jr_r / 8/' 、/'8r r 3/ /、/'、8r r 36. - ATr 1C8 () ( 3)( 1)(二) C8x( 1)(二) C8x2 3 x

16、22令8 4r 0,r 6,T7 ( 1) 840 先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有A2 ,其余的A72,共有A2 A2 840(1)8 6C：73 2555_33_227. B (1 2x) (2 x) 2(1 2x)x(1 2x). 2c5( 2x) xCs( 2x)2333(4C； 16C；)x3 .120x38. A只有第六项二项式系数最大，则 n 10,5LTr 1 以诉10 r(马)r 2rC；0x时 令 53r 0,r 2,T3 4C2 180 x22二、填空题 34. ._ 4_ 41. (1) 10 C510 ; (2)5 c55 ; (3) 14C6C4142. 86

17、40 先排女生有A ,再排男生有 A4,共有A4 A4 86403. 480 0既不能排首位，也不能排在末尾，即有A4 ,其余的有 A5,共有A4 A5 4804. 1890Tr 1 C1r0x10r( 3)，令 10 r 6,r 4,159Ci：x6 1890x6,-15 30 4r 1 r 115 /2、1515 305. . 4, C20xC20C20 ,4r 1 r 1 20, r 4, T16 C20( x )C20x7. 2 当x 0时，有A44 24个四位数，每个四位数的数字之和为1 4 5 x24(1 4 5 x) 288, x 2;当x 0时，288不能被10整除，即无解8.

18、 11040 不考虑0的特殊情况，有C3Ci2A-7_65_ 12000，若0在首位，则C3C4A4 960, _3_25_3_14C5 c5 A5 C5C4A412000 960 11040三、解答题1 .解：(1)是排列问题，共通了 A21 110封信；是组合问题，共握手C121 55次。(2)是排列问题，共有 A0 90种选法；是组合问题，共有C10 45种选法。(3)是排列问题，共有 A 56个商；是组合问题，共有 C228个积。2 .解：(1)甲固定不动，其余有 A乙排当中A5一次，即A 2A6 与 3720 720,即共有 A 720种；(2)甲有中间5个位置供选择，有 A5,其余

19、有A6 720,即共有A5A6 3600种;-.3.、 一 . (3)先排甲、乙、丙三人，有 A3 ,再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当 5.5.3于5人的全排列，即 A5,则共有A5A； 720种；(4)从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有 A2,甲、乙可以交换有 A2 , 把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，一一.224则共有A5A2A4960种；.一 .4 一.(5)先排甲、乙、丙之外的四人，有A4 ,四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排 一 33 4._这五个空位，有 A5,则共有A5 A4 1440种；(6)不考虑限制条件有 A；,甲在乙的左边(不一

20、定相邻)，占总数的一半，1即-A7 2520种；2 7(7)先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A4,留下三个空位，甲、乙、丙4_ _三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即A7 840 .7. 6. 6(8)不考虑限制条件有 A7 ,而甲排头有 A ,乙排当中有 A ,这样重复了甲排头，2x 1 4433.解：(1)A2x1 140Axx 3x N(2x 1)2x(2x 1)(2x 2) 140x(x 1)(x 2)x 3x N(2x 1)(2x 1) 35(x 2)x 3x N4x2 35x 69 04.解:(2)C：3 C2Cn 2 C2,n1 C：1 C2,C29 n

21、(n 1) n2 丁,nC22 C2n 722128, n821, .8 , x的通项Trx1 C8r (x2)8r( 1) x(1)C；x16 3r当r 4时，展开式中的系数最大，即 T5470x为展开式中的系数最大的项;当r 3,或5时,展开式中的系数最小，即T256x7,T656x为展开式中的系数最小的项。5.解:2(1)由已知得CnC51(2)由已知得CnCnCn . 128,2n 1128,n 8,而展开式中二项式系数最大项是T41C；(x.,x)4(31=)4 ' x70x44x2 。6.解：设 f(x) (2 6x)50,令 x 1,得加 a1a2 La50(2 J3)5

22、0(a0a2(a。 &1,a4a2得 a0 a1a2 L2La50 )(a1a3a5La50 )(a0 a1 a2 L(2 、.3)50La4一a50) (2-3)50(2 3)5° 1综合训练B组一、选择题1. C 个位A；,万位A1,其余屋，共计A1A1A3 3632. D 相当于3个兀素排10个位置，A10 7203. B 从55 n到69 n共计有15个正整数，即 A69 n 234. A 从c,d,e, f中选2个，有C4 ,把a,b看成一个整体，则 3个元素全排列，A._ 23共计C4 A336_1_25. A先从5双鞋中任取1双，有C5,再从8只鞋中任取2只，即

23、C8，但需要排除4种成双的情况，即 C； 4,则共计C5(C； 4) 1206. D% C170(Qi)3( x)7 360T3ix7,系数为 360，3i7. ATr 1 C2n(2x)2n r()r 22n rC2nx2n 2，令 2n 2r 2,r n 12x3 .则 22Cnn1 224,C；n1 56,n 4 ,再令 8 2r 2,r 5工 C8x 2 4x31010310/5558. D (1 x )(1 x) (1 x) x (1 x) (C10 Cio)x. 207x .二、填空题1. 2n每个人都有通过或不通过 2种可能，共计有2 2 . 2(n个2) 2n13312. 60

24、四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即c5c； C53C4 603. 23C；c4a； 1 23,其中(1,1)重复了一次4. 3 n 1,k 21 5.11 一5. 51 (x -) 1的通项为Cr5(x )5r( 1)r,其中(x 一)5的通项为xxx''''Cr rx5 r,所以通项为(1)rC；C5 rx,令 5 r 2r 0-'5 r ',''得r2一,当r 1时，r 2 ,得常数为 30；当r 3时，r 1 ,得常数为 20；. . , .当 r 5 时，r 0,得常数为1；30 ( 20) ( 1)516.4

25、1863件次品，或4件次品,_3_2_4_1C4 C46 C4C4641867._5 _15 原式(X 1)1 (X 1)1 (x 1)6(xL(x- , (x 1)6中含有X4的项是 X一 2 424-.3C6X ( 1) 15x ,所以展开式中的 X3的系数是158.105 直接法：分三类，在 4个偶数中分别选2个，3个，4个偶数,其余选奇数,C95C5 C4C4105_2_3_3_2_4_1C4c5 C4C5 C4C5105；间接法:三、解答题1.解：AUB中有元素7 10 4 13_ 3_ 3_ 3C13 C6 C3286 20 1 265。22 .解：（1）原式（C100C100)A

26、idC101_ 3(2)原式C3C54c：c64C54_ 4_ 4_ 4C11C10C11330。另一法：原式 C4C3C53C10C53L C10C4 C6C130C140C130C141330Cm Cm（3）原式六号C nCm 1nCm nCm 1 nCm nCmnCmn、r -n!3.证明：左边 (n m)!n!(n m 1)!(n 1)!(n 1) m!(nmAn 1右边m 1) n! m n! (n m 1)!所以等式成立。64 .解：（x| 2）3 （学一，在（1 |x）6 中，|x3 的系数 C63（ 1）320XX就是展开式中的常数项。另一法：原式 MX m）6, T4 C63

27、（ 1）320卜5 .解：抛物线经过原点，得 C 0,b- a 01当顶点在第一象限时，a 0, 0,即，则有C3c4种；2a b 0当顶点在第三象限时，a 0, 0,即a 0,则有解种； 2a b 011. 2共计有C3C4 A424种。46.解：把4个人先排，有 A ,且形成了 5个缝隙位置，再把连续的 3个空位和1个空位24 2.当成两个不同的元素去排 5个缝隙位置，有 A ,所以共计有 A4A5480种。提高训练C组一、选择题n! c n!6 ,n 3 4, n 7(n 3)! (n 4)! 4!23322. D 男生2人，女生3人，有C30C20;男生3人，女生2人，有C30C202

28、332共计 C30C20C30C20222223. A 甲得2本有C：,乙从余下的4本中取2本有C2,余下的C2,共计C(2C：4. B 含有10个元素的集合的全部子集数为S 210,由3个元素组成的子集数5. A为 TC30, TS2(a。 a? a4)Ci3015210128(a1a3)2(a0aa2% a4)(a0 aa2a3a4)(2.3)4 (2. 3)4 16. D 分三种情况：(1)若仅T7系数最大，则共有13项，n 12； (2)若T7与丁6系数相等且最大，则共有12项，n 11 ； (3)若T7与丁8系数相等且最大，则共有14项,n 13,所以n的值可能等于11,12,137

29、. D1 C2四个点分两类：(1)三个与一个，有 C4； (2)平均分二个与二个，有 2, C2共计有c49 728. D 复数a bi,(a,b R)为虚数，则a有10种可能，b有9种可能，共计90种可能二、填空题9 分三类:第一格填2 ,则第二格有A3,第三、四格自动对号入座，不能自由排列;第一格填3,则第三格有.1A3,第一、四格自动对号入座，不能自由排列;第一格填4,则第撕格有A3,第二、三格自动对号入座，不能自由排列;2.165C323.4.5.6.7.8.共计有3 A3 9C63 C3165180,30 a 0, c6c6c5180;b 0,A2301328T1叱)9,(胃(1)8

30、(亭)8屹196aC33Cf C2 C2 LC3 C5LCn25!m!(5 m)!0.9560.9915 (1 0.009)52 设 f(x) (1(1)仔 a93rrC9x 至3r令 - 9 3,r 829一，a4CnC31363 1,C43 C4C5 L C2 364,364,n 136! m!(62x)n,三、解答题1.解：6个人排有A6种,7! ,mm)!10 m!(7 m)!2,C8mC820.009 10a1a2L23m 4228(0.009)2a0a1a2a71a06人排好后包括两端共有0.0450.00081 0.956a7(12)71“间隔”可以插入空位.4 一 ，,一 ,(1)空位不相邻相当于将 4个空位安插在上述 7个“间隔”中有C735种插法,64故空位不相邻的坐法有Ae725200种。(