韦达定理在圆锥曲线中的应用模拟题汇编

1、韦达定理在圆锥曲线中的应用模拟题汇编1.(本小题满分14分)已知椭圆的一个顶点为 J(O,-l),焦点在耳轴上，中心在原点.若右焦点到直线 1+= 0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线v =心+用(人工0)与椭圆相交于不同的两点 ALN .当 W1时，求用的取值范围.2.(本小题满分14分)已知椭圆上、二二1的左，右两个顶点分别为 月、B .曲线。是以月、6两点为顶点，离心率为 亚 4的双曲线.设点 产在第一象限且在曲线 。上，直线M尸与椭圆相交于另一点T .(1)求曲线D的方程；(2)设尸、J两点的横坐标分别为 X1、JG ,证明：,Y| ' X, = I ；3.(本小

2、题满分14分)22已知直线x y 1 0经过椭圆S：1(a b 0)的一个焦点和一个顶点. a b(1)求椭圆S的方程；(2)如图，M N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过 P作x轴的垂线，垂足为 C,连接AC,并延长交椭圆于点 B,设直线PA的斜率为k.若直线PA平分线段MN求k的值；对任意k 0 ,求证：PA PB.4、(本小题满分14分)过双曲线2x2 y2=1上一点A(1,1)作两条动弦 AB AC且直线AB AC的斜率的乘积 为3.(1)问直线BC是否可与坐标轴垂直 ？若可与坐标轴垂直，求直线BC的方程，若不与坐标轴垂直，试说明理由. (2)

3、证明直线BC过定点.25 .(本小题满分14分)已知曲线C : X2 1;muuri(1)由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为 F，点P分EF所成的比为问：点P的轨迹3可能是圆吗？请说明理由；uur ujir 9(2)如果直线l的斜率为42 ,且过点M (0, 2),直线l交曲线C于A, B两点，又|MA| |MB|求曲线C的方程。6 .(本小题满分14分)在直角坐标系xOy中，动点P与定点F (1,0)的距离和它到定直线 x 2的距离之比是 ,设动点P的轨 2、，222迹为C1 , Q是动圆C2 : x y r (1 r 2)上一点.(1)求动点P的轨迹C1的方程；2.(2)设曲线g上的三

4、点A(x,y。B(1,),C(x2,y2)与点F的距离成等差数列，若线段AC的垂直平分2线与x轴的交点为T ,求直线BT的斜率k ;(3)若直线PQ与C1和动圆C2均只有一个公共点，求 P、Q两点的距离PQ的最大值.7.(本小题满分14分)已知椭圆C：£ 2T 1(a b 0)的离心率为，6,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形a2 b23的面积为5_2.3(1)求椭圆C的方程；(2)已知动直线 y k(x 1)与椭圆C相交于A、B两点.若线段AB中点的横坐标为求斜率k的值；27uuur uur已知点M ( ,0),求证：MA MB为定值.8 .(本小题满分14分)如图，曲线Ci

5、是以原点O为中心、Fi,F2为焦点的椭圆的一部分，曲线 C2是以O75为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分， A是曲线C1和C2的交点且 AF2F1为钝角，若AF/ - , | AF2 -.(1)求曲线C1和C2的方程；(2)过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线 G、C2依次交于R C 口 E四点，若G为CD中点,BE GF2H为BE中点，问若是求出定值，若不是说明理由7X是否为定值?CD HF29 .(本小题满分14分)如图，已知椭圆C: y2 1(a 1)的上顶点为 A,离心率为46 ,若不过点A的动直线l与椭圆C相 a3uuu uuur交于p、Q两点，且AP AQ 0 .(I)求椭圆

6、C的方程;(n)求证：直线l过定点，并求出该定点 N的坐标.222210 .已知两圆Ci：xy 2x 0,C2：(x 1) y4的圆心分别为C1,C2, P为一个动点，且|PG| IPC2I 2 2.(1)求动点P的轨迹M的方程；(2)是否存在过点 A(2,0)的直线l与轨迹M交于不同的两点 G D,使得|CiC | | CiD | ?若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.11 .已知椭圆C:x2 工 1(a b 0)的离心率为6 ,短轴一个端点到右焦点的距离为J3 .a b3W3,求4AOB面积的最大值.2求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A, B两点，坐标原点O到直线l的距

7、离为12.己知斜率为1的直线l与双曲线2 c x C:aB、D两点，且BD的中点为M(1,3)求双曲线C的离心率;(2)设C的右顶点为A ,右焦点为F , |DF | | BF | 17 ,证明：过 A、B、D三点的圆与x轴相切.13.在平面直角坐标系 xOyf中,动点尸到两点(-JL。)，(JLO)的距离之和等于4 ,设点尸的轨迹为曲线 j直线/过点且与曲线r交于月，占两点.求曲线r的轨迹方程；(2)是否存在面积的最大值,若存在,求出 AOB的面积；若不存在,说明理由24.已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点(力，注).22(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O的直线与该椭圆交

8、于 P、0两点，满足直线。尸,PQ ,OQ的斜率依次成等比数列求AOP0面积的取值范围1 .【答案】解：（1）依题意可设椭圆方程为三,则右焦点一1"由题设-1+ 22-3=3 ,解得门工=3 4分 ?故所求椭圆的方程为+ v2 = 1 o 5分3设尸（0，¥小 Af （工P为弦MN的中点,Fh+ m-F由 , 得（3工 + I * + 6"而十3（/-1）二 0+ V- = I'3 -Q直线与椭圆相交，A =（6小法）“ 一4（3上，十 1）m3（厅，一 I）>0=> 的、c 3小二 十 】， 8分3/m 一一 ,雨C从而以"3吁m川

9、+弘 +13射,又 = ,二 w/lmv ,则:/h + 3A- +11.=,即 2ttt = 3k +1 ,10分 3mkk把代人得 w2 < 2m ,解得0式川42, 12分,口，2切一1 八 ，口1八由得k - -一 > 0 ,解得 m > . 13分32，一口 1r八综上求得 m的取值范围是 <m<2. 14分2 .【答案】（1）解：依题意可得A（ 1,0）, 4（L0）. 因为双曲线的离心率为 5 所以设双曲线。的方程为AJ-p- = l （fr>0）,=J5 ,即人= 2 .所以双曲线 C的方程为Y 一二二14(2)证法1:设点T(覆，外)(苟&

10、gt; 0 , F > 0，/=),直线月尸的斜率为4 (k>0),则直线M尸的方程为j',联立方程组.整理，得，丘/口4- k4 A解得了 = -1或工=T ,所以乂 =74 +七 -4 +仁同理可得,3.【答案】解：(1)在直线x y1 0中令x 0得y 12X则椭圆方程为2 M( 72,0) , N(0,21),M、N的中点坐标为(21,),所以k2_22(3)法一：将直线PA方程2 Xy kx代入一 22.12k222k2P(m,mk) , A( m,于是 C(m,0),故直线AB方程为0 mk , (xm mm)i(xm)代入椭圆方程得(k22)x22k2mx k

11、2m28 0,由 XbXa2k2mk2,因此B(m(3k22) mk3k2 2 'k22)uuuAP (2m,2mk),uur PBm(3k2 2)k2m4 mk)k 22mk2(k2 22mkk2 2)uuu uuu 2mk2APgPB k2 22m2mk k2 22mkPA PB4.【答案】19.解：令 Rxi, yi), Qx2, y/(1)当BC与x轴垂直时，有xi=x2, yi= y2,22故:3=的_1 _yi_ij_y"2(i_xf)2(i_xi)xi 1 xi 1(xi 1)22, k22 k2故 31 (k+b) 2=2( b 1)2 k2,从而:3(1 k

12、 b)(1+ k+b)=2( b 1 k)( b 1+k). 因为点A(1,1)不在直线y=kx+b上，故k+b 1.利用，可知：3 (1+ k+b)+ 2( b 1 k)=0,即 k+5b+1=01 k 1 b.55 因此直线AB过定点M 11 5直线y= 1也过定点M 5(1 xi)21 xixi=1，与|xi| 苧矛盾.因此AB与x轴垂直.当BC与y轴垂直时，有xi= x2, yi= y2, 22故:3= yi_i _yi_ (1_yi). 2(i_yi)22(1_0)xi 1xi 11 x121 y；1 yiyi=1.因此AB可与y轴垂直，此时AB的方程为y= 1.55(2)当BC不与

13、坐标轴垂直时，kAB kAC= y1 1 y2 1 =3, x1 1 x2 1故 3( xi 1)( x2 1)=( yi 1)( y2 1).6令BC ： y=kx+b,代入双曲线方程有：2x2 (kx+b)2=1(2 k2)x2 2kbx b2 1=0.xi, x2是方程的两个实根.令 f (x)= (2k2)x2 2kbx b2 1,22,则(xi 1)(x2 1)="1)2_Jk_2kb b_1. .82 k22 k2直线方程又可写成:x= y_b , k代入 2x2 y2=1,有：2( y b)2 k2y2=k2,整理得:(2 k2) y2 4by+2b2 k2=0.yi,

14、y2是方程的两个实根.令 g( y)= (2k2)y2 4by+2b2 k2.22g(1)2 2k 4b 2b(yi 1)( y2 1)=).10 分2 k22 k2，两式代入式，有：3(1 k2 2kb b2)2 2k2 4b 2b2综上所述，直线AB恒过定点M 1, 15514分5.【答案】(1)设E(Xo,yo), P(x,y),则F(xo,0)uuu1Q点P分EF所成的比为3uuuEP1 uurPF。3(x Xo，yyo)1,3 (x° x,y)。x x2v。 &y32代入y0 m2 x01为p点的轨迹方程。,4 一，当m 时，轨迹是圆.9（2）、由题设知直线l的方程

15、为y2x 2,设A(xi, yi), B(x2, y2),联立方程组y2 ym2x2，消去 y得：(m 2)x2 42x 4 m 10。Q方程组有两解，0。m 2或m uuu 又已知|MA|。且muuir 9|MB| 2uur2。uuir由向量知识得|MA| | MB |uuruuir而MA MB x1x2(yi 2)10分A、uurMA(y2三点共线，uuiruuruuirMB或 | MA| |MB |uur uuur MA MB oxx23,十 3、2(或 2)又 Q xx2m 2-12人解得m一（舍）或m52曲线C的方程是x2 y146.【答案】解：（1）由已知，得2)14 。(x 1)

16、2 y2x1x224 2x23x1x2 014分1分.2 x（2）由已知可得 AF(-(2 Xi) , BF 22将两边平方，并化简得 y2 1, 22故轨迹C1的方程是y2 102 3分.4分.零(2 1), CF 零(2 x2),22因为2 BF AFCF，所以(2 X1)(2 x2) 2 - (2 1),222即得x1x22,故线段AC的中点为（1,卫生），其垂直平分线方程为y 江12922（x 1）,22y1 y2 6分.22因为A,C在椭圆上，故有 工 y12 1,且 y22 1,两式相减，2222得： y12 y 02将代入，化简得卫2 2（y1 y2） y1 y2, 7分.y y

17、 X x21 1人将代入，并令 y 0得，x ,即T的坐标为（,0）。 8分.2 2"0所以kBT2 1 近.9分.1 12设P 2,%、Q x2,y2 ,直线PQ的方程为y kx m(1)(2)10 分.y1 kx1 m因为P既在椭圆C1上又在直线PQ上，从而有 x2 y2121将（1）代入（2）得 2k2 1 x2 4kmx 2 m2 10由于直线PQ与椭圆C1相切，故4km 2 4 2 m2 1 2k2 10从而可得m21 2k2 , x12k m(3)同理，由Q既在圆C2上又在直线PQ上，可得kr2m(4)i2分由（3）、（ 4）彳# k2k 2 r2X2Xi所以PQ2X2X

18、i222y2yii kX2Xi2 2 o 2 222 22m k 2 r 2 r ri2222r mr 2 r2 r2 r2 i3 r2 J, 3 2 2 (、2 i)2 ri3分.即PQ 金i,当且仅当r2 夜时取等号,故P、Q两点的距离PQ的最大值J2 i.i4分.7.【答案】解：（i）2 X 因为ay2b2i(a b0)满足 a2b2c2_|3(2)因为由所以b 2c5.23解得22a 5,b5 ,则椭圆方程为32 y53将y436 kk(X4(3k2i）代入i)(3k2 5)2y-i中得5348k2 20 i -AB中点的横坐标为一，所以2(i)知XiX26k23k2 iXiX222(

19、i 3k )x 6k6k23k2 i3k20 ， Xi3k2 iX2解得3k2uujrMAHJLT MB(Xi73, yi)(X273，y2)7(Xi -)(X2373)6k23 k2 iyy2ii分8.772函 3)(x2 3) k(x1 1)(x2 1)_ 2_ 2一,2 3k571 2 6k(1k ) T72"(-k )(T-2-3k 13 3k 1272(1 k )X1X2 (3 k )(x1 X2)竺k29_ 4_ 23k 16k5""3k2 1【答案】解：（1）过F1作垂直于x轴的直线x49"9竺k29k212分414分 9c即抛物线的准线，

20、作 AH垂直于该准线。作AM x轴于M ,则有抛物线的定义得 AF2 AH所以=便二还=/不画同二得阴闻二!-；一所以Efl Mb2 a2 c2 8( 2a AF1 AF27 5 6,得 a 3)2 2x y2因而椭圆G方程为 1 ,抛物线C2方程为y 4x.98设 B(x, y) E(x2, y2),C(x3, ya), D(x4, y,),把直线2 xy k(x 1)代入y281得(8 9k2)y2 16ky 64k2 0,贝Uy1y216k28 9k22_64。同理将8 9k2y k(x 1)代入 y2 4x 得:4；BE ?|GF2|CD ? HF224ky 4y 4k 0, y3 &

21、#165;4 1y3?山1,必y21?2 y3y4忤v。2 ?( y3v42Ysy4|'!.|Viy2|Wmv22 -(y3y)23为定值.、22y2) 4Y1Y2 ?(y3 '4(X v2 2(y3 y2 4y3 y422_(16k)2_ 4_64k2,4、2(8 9k2)2 8 9k2 ? (k)(1的22 2(4)2 16(8 9k2)2k_69.【答案】解（I ）依题意有3 c2 11.由A（0,1）可设直线 AP的方程为2故椭圆C的方程为C :3AQ ,从而直线 AP与坐标轴不垂直kx 1 ,直线AQ的方程为y1(k 0).2kx 1代入椭圆C的方程3y2 1并整理得

22、：（1 3k2）x26kx0,解得21),x 0或x-6kT，因此P的坐标为（一6k方，一叫1 3k21 3k21 3k2即（6k 1 3k2)1 3k2,1 3k2)6k(k2 3k2 3 k"-).-，1 r将上式中的k换成 1,得Qkk2 32 o直线l的方程为y 七工-21 3k21 3k2 (x6k (x6krk2k23 1 3k2化简得直线1的方程为yk2 1x4k12分因此直线l过定点N （0,2).14分（解法2）由题直线|的斜率存在，则可设直线l的方程为:y kx m( Q A(0,1) l, m 1),26mkx 3(m1) 0,2X 9 2代入椭圆C的方程 y

23、1并整理得：(1 3k )x设直线l与椭圆C相交于P(X1, kx1 m)、Q(x2,kx2m)两点，则 不，沟是上述关于x的方程两个不相等的实数解,从而_2- 2 一 2(6mk)4(1 3k ) 3(m一 一 221) 12(3k1 m ) 06mk1 3卜2，'23(m2 1)1 3k2uur uuir由AP AQ 0,得x1x2 (kx1 m 1)(kx2 m 1)22(1 k )x1x2 k(m 1)(x1 x2) (m 1)0,(1k2)-23(m1)1 3k2k(m 1)(震) (m 1)22整理得：2m m 1 0, (2m 1)(m 1) 0,由 m14分21此时9(

24、4k1) 0,因此直线l过定点N(0,-).10.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为 C1(1,0)，和C2( 1,0)' | PCi | |PC2| 2 2 |CiC2| 2，根据椭圆的定义可知 ，动点P的轨迹为以原点为中心，C1(1,0)，和C2( 1,0)为焦点，长轴长为2a 22 的椭圆，a J2,c 1,b Ja2 c2 J27 122，椭圆的方程为 y2 1,即动点P的轨迹M的方程为 y2 122(2)(i)当直线l的斜率不存在时，易知点A(2,0)在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在.(ii)设直线l斜率存在，设为k,则直线l的方程为y k(x 2)

25、由方程组2x 2 y2y k(x112得(2k22)1)x28k2x 8k2 2 0依题意8(2k21) 0解得,22N(x0,y0),时，设交点C(x1, y1), D(x2, y2),CD的中点为方程的解为xi8k2 , 8k2 . nt2, x2 2，贝”x04k 2 4k 2xix224k22k2 1V。 k(x02)要使IC。|CQ |,必须C1Nl,即 k kC1N131 2k2 1工。211,即k k 0 2_211 0或，k2 k 0无解所以不存在直线，使得|C1C I 1cl D I综上所述，不存在直线l ,使得 |C1c 11cl D I11.【答案】(2)设 A(x1，y

26、j, B(x2, R212.【答案】解：(1)由题设知，直线l的方程为y x 2代入双曲线C的方程,并化简得：(b2 a2)x2 4a2x 4a2设 B(Xi,yi) , DGm),则 xX2由M(1,3)为BD的中点知XiX24 a2222 ,b a,i1,故12X1 X24a2b-V4a21,即 b2 3a22所以c2 a2 3a2,即与 a所以双曲线C的离心率为(注：本题也可用点差法解决(2)由、知，双曲线C的方程为：3x2 y2 3a2一4 3a2A(a,0) , F(2a,0), x x2 2, x1 x2 02| BF | , (x12a)2y12x124ax14a23x123a2.4x124ax1a212x1a |同理 | DF | |2x2 a|2_222|BF| |DF| |(2xi a)(2x2 a)| |4xiX2 2a(x x) a2 | | 8 6a2 4a a2 | |5a2 4a 8|又因为 |DF|BF| 17 且 5a2 4a 8 0所以5a2 4a 8 17 解得：a 1, a 9(舍去)5|BD| - 1 12|x1 x2 |2 (x1 x2)24x1 x22 ,4 2(4 3a