题型4几何探究型问题

1、备用国1J题型4几何探究型问题 一“j一 _ _"""类型一动点探究题1 .(1)发现如图，点A为线段BC外一动点，且BC =a, AB=6填空：当点A 位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 (用含a, b的式子表示)；第1邈图应用 点A为线段BC外一动点，且BC=3. AB=1如图所示，分别以AB,AC为边，作等边三角形 ABDffi等边三角形ACE连接CD BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值；P 国图第1题图(3)拓展如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(2, 0),点B的坐标为(5, 0),点P为线段AB外一

2、动点，且PA = 2, PM= PB/BPM = 900请直 接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.2 .请完成如下探究系列的有关问题：探究1:如图，&ABC是等腰直角三角形，/BAC=90。，点D为BC上一动 点，连接AD以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF连接CF.则线段CR BD 之间的位置关系为 ,数量关系为;探究2:如图，当点D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，探究 1 中的两条结论是否仍然成立？为什么？(请写出证明过程)探究3:如图，如果AB A AC , /BAC于90口，NBCA仍然保留为45° ,点D 在线段BC上运动.请你判断线段CR BD之间

3、的位置关系，并说明理由.图图图扉2即图13 .如图，在正万形ABCDK 点E, G分别是边AD BC的中点，AF =-AB.4(1)求证：EF_LAG;(2)若点F, G分别在射线AB, BC上同时向右、向上运动，点 G运动速度是点F运动速度的2倍，EF LAG是否成立？(只写结果，不需说明理由)(3)正方形ABCDJ边长为4, P是正方形ABCDJ一点，当SAB = SAB时，求APAB 周长的最小值.4.在直角坐标系中，过原点 D及点A(8, 0) , C(O, 6)作矩形OABC连接OB点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE彳DFIDE,交OAT点F, 连接EF,已知点E从A

4、点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段 AB上移动， 设移动时间为t秒.如图，当t=3时，求DF的长；(2)如图，当点E在线段AB上移动的过程中，/DEF的大小是否发生变化？ 如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 tan/DEF的值；(3)连接AD当AD将ADEF分成的两部分的面积之比为1: 2时，求相应t的 化5 .如图，矩形ABCD勺对角线AC,BD相交于点D, &COD于CD的对称图形为ACED (1)求证：四边形OCEDI菱形；连接 AE,若 AB =6 cm, BC = 75cm.求sin/EAD的值；若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP. 一动点Q从点D 出

5、发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P,再以1.5 cm/s的速 度沿线段PA匀速运动到点A,到达点A后停止运动.当点p沿上述路线 运动到点A需要的时间最短时，求 AP的长和点Q走完全程所需的时间.第5糜圉类型二 平移、旋转、折叠探究题6 .如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD勺边AD在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC / AD ,且BC=3, OD=2,将经过A, B两点的直线l : y = -2x -10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E,与直线BC交于点F,设AE的长为t(t -0).四边形ABCD勺面积为(2)设四边形ABCLM直线f扫过的面积(阴影部分)为S,请直

6、接写出5关于 t的函数解析式；当t=2时，直线EF上有一动点P,作PM _L直线BC于点M交x轴于点N, 将APMF沿直线EF折叠得到APTF .探究：是否存在点P,使点T恰好落 在坐标轴上？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.7 .已知，在 RtiABC, /ACB =90°, AC=4,BC =2 , D是 AC 边上的一个动点，将ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处.(1)如图，若点D是AC的中点，连接PC.写出BP, BD的长；求证：四边形BCP北平行四边形；如图，若BD = AD ,过点P作PH 1 BC交BC的延长线于点H,求PH的长.8 .如图，正方

7、形ABCD勺边长为1,点E为边AB上一动点，连接CE并将其绕点C 顺时针旋转90°得到CF,连接DF,以CE CF为邻边作矩形CFGE GE与AD AC分别交于点H、M GF交CD延长线于点N.(1)证明：点A、D F在同一条直线上；(2)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请 说明理由；(3)连接EF、MN当MN /EF时，求AE的长，C B第8题图9 .我们定义：如图，在 MBC中，把AB绕点A顺时针旋转«(0° 5 <180°)得至IJAB',把AC绕点A逆时针旋转P得至lj AC',连接BC

8、9;,当a +P =180%寸，我们称AABC'是&ABC的“旋补三角形".AAB'C'边BC上的中线 AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.特例感知在图、图中，AABC, AABC的“旋补三角形"，AD是AABC的“旋补中线”，如图，当 ABCJ等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC ;如图，当NBAC =90° , BC =8时，则AD长为猜想论证在图中，当AABC为任意三角形时，猜想 AD与BC的数量关系，并给予证明;拓展应用 如图，在四边形 ABCDK /C =90°,/D =150?BC

9、=12,CD =273 , DA=6 在四边形内部是否存在点P,使&PDC是APAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求APAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由.?10 .问题背景：已知上EDF的顶点D在的边AB所在直AABC线上(不与A, B重合)，DE交AC所在直线于点M, DF交BC所在直线于点N,记的面积为 MDM的面积为S1 ABND的面积为S2.(1)初步尝试：如图，当是等边三角形，AB=6, &ABC ,且DE,EDF =2A时，则BC,AD=2, S1 S2=.类比探究：在(1)的条件下，先将点D沿AB平移，使AD =4,再将绕点D旋转至如图所示位置，求

10、的值；S1 8二(3)延伸拓展：当是等腰三角形时，设 AABC(I)如图，当点D在线段AB上运动时，设/B=/A = /EDF =".的表AD =a,BD =b, Si显达式(结果用a, b和a的三角函数表示).(H)如图，当点 D在BA的延长线上运动时，设 AD = a, BD = b,直接写出S1 S2的表达式，不必写出解答过程.图闺图图第、】0题图11 .如图，AABC是边长为4cm的等边三角形，边 AB在射AABC线OMI上，且 OA=6cm.点D从。点出发，沿OM勺方向以1cm/s速度运动.当D不与点A 重合时，将AACD绕点C逆时针方向旋转60°得到ABCE ,

11、连接DE.(1)求证：&BCE是等边三角形；(2)如图，当6<t<10时，ABDE的周长是否存在最小值？若存在，求出BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)如图，当点D在射线OMI上运动时，是否存在以 D E、B为顶点的三角形 是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.但由国第H题图12.如图，四边形 ABCD的对角线 AC, BD相交于点O, OB=OD OC =OA AB, AD =m, BC =n, ABD ADB ='ACB.(1)填空：/BAD, NACB的数量关系为,(2)求m的值； n(3)将AACD沿CD3折，得到AA'

12、;CD (如图)，连接BA,与CDf交于点P.若CD =而+1 ,求PC的长.213.综合与实践背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一 个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦 五”，它被记载于我国古代著名数学著作周髀算经中.为了方便，在本 题中，我们把三边的比为3: 4: 5的三角形称为(3, 4, 5)型三角形.例如：三边长分别为9, 12, 15或3«。4晚,572的三角形就是(3, 4, 5)型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形 .实践操作 如图，在矩形纸片 ABCm，AD =8 cm, AB =1

13、2 cm.第一步：如图，将图中的矩形纸片 ABCD&过点A的直线折叠，使点D落 在AB上的点E处，折痕为AF,再沿EF折叠，然后把纸片展平.第二步：如图，将图中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH然后展平，隐去AF.第三步：如图，将图中的矩形纸片沿 AH折叠，得到AADH ,再沿AD折 叠，折痕为AM AM与折痕EF交于点N,然后展平.D H E MCA G E if 困问题解决(1)请在图中证明四边形 AEF皿正方形;(2)请在图中判断.NF与ND'的数量关系，并加以证明;请在图中证明 MEN是(3, 4, 5)型三角形;14 .将一个直角三角形纸片ABCfit置

14、在平面直角坐标系中，点 A(J3,0), B(0,1),O(0,0).P是边AB上的一点(点P不与点A, B重合)，沿着OP折叠该纸片,得点A的对应点A.(1)如图，当点A，在第一象限，且满足 AB_LOB时，求点A的坐标;(2)如图，当P为AB中点时，求AB的长；当/BPA'=30°时，求点P的坐标(直接写出结果即可)类型三图形形状变化探究题15 .如图，将AABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上， 再将纸片分别沿等腰ABED和等腰&DhC的底边上的高线EF、HGW叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能

15、拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.将31雨口纸片按图的方式折叠成一个叠合矩形AEFG则操作形成的折痕分另U是线段, ; §斯影猛死：§'nU£口工;(2) 口H8CU纸片还可以按图的方式折叠成一个叠合矩形EFGH若EF=5, EH=12.求AD的长;(3)如图，四边形 ABCD氏片?f足 ADBC, AD < BC,AB_L BC, AB = 8,CD =10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD, BC的长,16 .如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边 与菱形

16、的边长相等.(1)在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合， 摆拼成如图所示的图形，AF经过点C,连接DE交AF于点M观察发现: 点M是DE的中点.下面是两位学生有代表性的证明思路：思路1:不需作辅助线，直接证三角形全等;思路2:不证三角形全等，连接 BD交AF于点H.请参考上面的思路，证明点 M是DE的中点(只需用一种方法证明) 如图，在 的前提下，当/ABE =135时，延长AD EF交于点IV,求型NE的值;AF(3)在(2)的条件下，若=k ( k为大于22的常数)，直接用含k的代数式AB表示AM的值MF17 .问题背景 如图，在正方形 ABCD勺内部，作/ DA

17、E =/ABF =2BCG = NCDH，根据三角形全等的条件，易得 ADAE与AABF mABCGmCDH ,从 而得到四边形EFGK正方形.类比探究 如图，在正4ABC的内部，作/BAD=NCBE=NACF,AD,BE,CF两两相交于D, E, F三点(D, E, F三点不重合).AABDCBCEiACAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；ADEF是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，&ABD的三边存在一定的等量关系，设 BD=a,AD = b,AB=c,请探索a, b, c满足的等量关系,18.已知四边形ABCD勺一组对边AR BC的延长线相交于点E.(1)如图，若 /ABC =NADC =90°,求证：ED EA= EC EB3如图，若 ABC =120°, cos/ADC = , CD = 5,AB = 12，求ACDE 的面积5为6,求四边形ABCD勺面积；(3)如图，另一组对边 AB, DC的延长线相交于点F,若cos/ABC =3cos/ADC =3, CD =5,CF = ED =n,直接写出 AD的长(用含n的式子5表小).19.问题背景 如图，等腰&ABC中，AB = AC,NBAC =120口，作AD _L BC于