高级中学各种函数图像画法与函数性质

1、一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（ 1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（ 2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（ 3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（ 4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（ 5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b （ k ， b 是常数，且k 0 ）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当b 0时，一次函数y kx,又叫做正比例函数。一次函数的解析式的形式是y kx b,要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式当b 0, k 0时

2、，y kx仍是一次函数.当 b 0 ， k 0 时，它不是一次函数正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx（k 是常数，注：正比例函数一般形式y=kx （k当 k>0 时， 直线 y=kx 经过三、kw0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.不为零 ） k 不为零 x 指数为 1 b 取零一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大； 当 k<0时， ?直线 y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大 y 反而减小（1）解析式：y=kx （k是常数，kw 0）（2） 必过点： （ 0， 0） 、 （ 1， k

3、）（3） 走向： k>0 时，图像经过一、三象限；k<0 时，?图像经过二、四象限（4） 增减性：k>0， y 随 x 的增大而增大；k<0， y 随 x 增大而减小（5） 倾斜度：|k| 越大，越接近y 轴； |k| 越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx+ b（k,b是常数，kw0）,那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx + b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数注：一次函数一般形式y=kx+b （k 不为零）k不为零 x指数为1b取任意实数b一次函数y=kx+b的图象是经过（0, b）和（-_, 0）两点的一条直线，我们称它为

4、直k线y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0 时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b（k、b是常数，k 0）b（2）必过点：（0, b）和（-9 , 0）k（3）走向：k>0 ,图象经过第一、三象限；k<0,图象经过第二、四象限b>0,图象经过第一、二象限；b<0,图象经过第三、四象限直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限（4）增减性：k>0 , y随x的增大而增大；k<0, y随x增大而减小（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近

5、于 y轴；|k|越小，图象越接近于 x轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移 b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移 b个单位.4、一次函数y=kx + b的图象的画法、.一般情况下：是先选取.即横坐标根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可它与两坐标轴的交点：（0, b）,或纵坐标为0的点.b>0b<0b=0k>0经过二-、二、三象限经过二-、三、四象限经过二-、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过二-、二、四象

6、限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小A'5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx + b的图象是一条直线，它可以看作是由直线 y=kx平移|b|个单位长度而 得到（当b>0时，向上平移；当 b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如 y=kx（k是常数， kw0）的函数叫做正比例函数，其 中k叫做比例系数一>地，形如y=kx+b（k,b是常数，kw。），那 么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx, 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量 范围X为全体实数图象一条直线必

7、过点(0, 0)、(1, k)一b(0, b)和(-b , 0) k走向k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限k>0, b>0,直线经过第一、二、二象限k>0, b<0直线经过A、三、四象限k<0, b>0直线经过A、二、四象限k<0, b<0直线经过第二、三、四象限增减性k>0, y随x的增大而增大；（从左向右上升）k<0, y随x的增大而减小。（从左1可右下降）倾斜度|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴图像的 平移b>0时，将直线y=kx的图象向上平移 出个单位；b<0时，将

8、直线y=kx的图象向卜平移 4个单位.6、直线ykixbi (ki0)与yk2xb2(k20)的位置关系(1)两直线平行 k1k2且b1b2(2)两直线相交 k1k2(3)两直线重合 k1卜2且4b2(4)两直线垂直k1k217、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数 为未知数的方程；(3)解方程得出未知系数的值；(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式8、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0 (a, b为常数，a

9、w 0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当 于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.9、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 (a, b为常数，aw0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于。时，求自变量的取值范围.10、一次函数与二元一次方程组(1)以二元一次方程 ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y= - x '的b b图象相同.(2)二元一次方程组a1x b1y %的解可以看作是两个一次函数y=亘x

10、 土和 a2 x b2 yc2b1b1a2C2y= x 的图象父点.b2b2二次函数、二次函数概念:1.二次函数的概念：一般地，形如 y2ax bx c （ a, b, c是吊数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似,.次项系数a 0 ,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数y ax2 bx c的结构特征: 等号左边是函数，右边是关于自变量a, b, c是常数，a是二次项系数,x的二次式，x的最高次数是2.、二次函数的基本形式D 一般式:2axbx顶点式:次项系数,c是常数项.2axbx图像定义域对称轴顶点坐标值域单调区间xix x24ac b

11、24a2a2a2a2a2a递减递增4ac b24a4ac b24a2a递减X2£ a-2b 4ac 0时，二次函数的图像和线段MW21为.2一， ,一，.一一.一b 4ac 0时，二次函数的图像和特别地，当且仅当b 0时，二次函数x轴有两个交点Mi Xi ,0 , M2 X2,0 ,b .x轴有两个重合的交点 M ,0 . 2af x ax2 bx c a 0为偶函数.1. 二次函数基本形式：y ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0.

12、a 0问卜0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0.2. y ax2 c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c.a 0问卜0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c.3. y a x h 2的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y 随x的增大而减小；x h时，y有最小值0.a 0问卜h ,

13、 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y 随x的增大而增大；x h时，y有最大值0.24. y a x h k的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y 随x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0问卜h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y 随x的增大而增大；x h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1 .平移步骤：方法一： 将抛物线解析式车t化成顶点式y a x h 2 k,确定其顶点坐标 h,k ; 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h, k处，具体平移方法如下：y=a&

14、gt;2a y=aX2+k向上(k>0)【或向飞k<0)】平移|k件单位向上(k>0)1或T(k<0)l平移|k|个单位向右(h>0)或左h<0)】 平移|k|个单位向右(h>0)【或右:h<0) 平移|k|个单位向上(k>0)【或下k<0) 平移|k|个单位向右(h>0)【或右:h<0)平移|k|个单位y=a(x-hi2y=a(x-h2+k2 .平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减方法二：y ax2 bx c沿y轴平移：向上(下)平移 m个单位，y ax

15、2 bx c变成22y ax bx c m (或 y ax bx c m)、y ax2 bx c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y ax2 bx c变成2y a(x m) b(xm) c (或 y a(x m)2 b(x m) c)四、二次函数yk 与 y ax2bx c的比较从解析式上看,ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即b2a24ac4ab , 4ac b2一,k 2a 4a五、二次函数2 axbxc图象的画法五点绘图法:其开口方向、利用配方法将二次函数y2 axbx c化为顶点式y a（x h）2对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图选取

16、的五点为：顶点、与 与x轴的交点 x1 , 0 , 画草图时应抓住以下几点:y轴的交点0,c、以及0, c关于对称轴对称的点k ,确定.一般我们2h , c、x2, 0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y2ax bxc的性质1.当a 0时,抛物线开口向上，对称轴为2b _ 一, b 4ac bx 一 ,顶点坐标为一，2a2a 4a时,2.当a包时，y随x的增大而减小；2ay有最小值"a。:4a0时，抛物线开口向下，对称轴为x 旦时，y随x的增大而增大;2a当x b时，y随x的增大而增大；当x2a2bb 4

17、ac bx ,顶点坐标为 ，2a2a 4ab2ay随x的增大而减小；当x -b时,2a七、1.2y有最大值4ac b 4a二次函数解析式的表示方法2.3.一般式:顶点式:两根式:2 axa(xa(xbx c ( a ,2h) k ( a ,xi)(x x2)(c为常数，k为常数,a 0);a 0);0, xi , x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1

18、.二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0. 当a 0时，抛物线开口向上， a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越 当a 0时，抛物线开口向下， a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a 的大小决定开口的大小.2 . 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下，当b 0时，_b_ 0,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；2a当b 0时， 2 0即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b 0时，_b_ 0即抛物线对称轴在 y轴的右侧. 2a在a 0的前提下

19、，结论刚好与上述相反，即当b0时，0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2a当b0时，0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b0时，0,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2aab的符号的判定：对称轴x 包在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧2a则ab 0,概括的说就是“左同右异”3.常数项c当c当c当c0时,0时,0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0;y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定

20、的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称22.y ax bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c ；2.一 一 .2y a

21、x h k关于x轴对称后，得到的解析式是y a x h k；2 .关于y轴对称22.y ax bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax bx c；2y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是3 .关于原点对称y ax. 一. .一 2y a x hk关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k . bx c关于原点对称后，得到的解析式是yax2 bx c；2y a x h k关于原点对称后，得到的解析式是4 .关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180。）22b2y ax bx c关于顶点对称后，得到的斛析式是y ax bx c ;2a5 .关于点m, n对称2n k22y a

22、x h k关于点 m, n对称后，得至解析式是 y a x h 2m根据对称的性质，显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化， 因此|a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或方便运算的原则， 选择合适 的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线） 的顶点坐标及开口方向， 再确 定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）ax2 bx c当函数值y 0时的特殊一兀二次方程axx1, x2是一兀一次方程 ax bx c 0 a bx c 0是二次

23、函数y 情况.图象与x轴的交点个数:2b 4ac 0时，图象与x轴交于两点x2）,其中的0的两根.这两点间的距离AB x2 x1b2 4aca 当 0时，图象与x轴只有一个交点；当 0时，图象与x轴没有交点.1'当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有 y 0；2'当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有 y 0 .2 .抛物线y ax2bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 , c）;3 .二次函数常用解题方法总结: 求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点

24、式；根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c中a, b, c的符号，或由二次函数中a,b, c的符号判断图象的位置，要数形结合;(4)二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或 已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标0抛物线与x轴有 两个交点二次二项式的值可止、 可零、可负一兀二次方程有两个/、相等实根0抛物线与x轴只 有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无 交点二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系从函数观点来看,元二次不等式axf x ax bx c

25、a 0的图像上，位于 x轴下万的点的横坐标的集合;bx c 0 a 0的解集就是二次函数xax2 bx c a0的图像上，位于x轴上方的点的横坐标的集合;元二次不等式ax2bx c 0 a 0的解集就是二次函数元二次不等式ax2bx c 0 a 0的解集就是二次函数2ax bx c a 0的图像上，位于x轴上万的点和与 x轴的交点的横坐标的集合;2兀一次不等式ax bx c 0 a 0的解集就是二次函数2ax bx c a 0的图像上，位于x轴下万的点和与 x轴的交点的横坐标的集合.元二次方程ax2 bx c 0 a 0的解就是二次函数 f xax2 bx c a 0的图像上，与x轴的交点的横

26、坐标.反比例函数反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（Kw 0）。2、性质:1 .当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增2 .k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在 x<0 上为增函数、在x>0 上同为增函数。定义域为xw0;值域为yw0。3 .因为在y=k/x（k w0）中，x不能为0, y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交。4 .在一个

27、反比例函数图象上任取两点P, Q,过点P, Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1, S2则S1 = S2=|K|5 . 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。6 .若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m n同号）， 那么 A B 两点关于原点对称。7 .设在平面内有反比例函数 y=k/x和一次函数y=mx+n要使它们有公共交 点，则nA2+4k m> （不小于）0。8 . 反比例函数y=k/x 的渐近线：x 轴与 y 轴。9 . 反比例函数关于正比

28、例函数y=x,y=-x 轴对称 , 并且关于原点中心对称.10 .反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w,则夕!形mwqo（o为原 点）的面积为|k|11 .k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。12 .|k| 越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。13 . 反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点指数函数概念：一般地，函数 y=aAx （a>0,且awl）叫做指数函数，其中 x是自变量，函数 的定义域是R。注意：L指数函数对外形要求严格，前系数要为1,否则不能为指数函数。2.指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质,定义域：R住 （2）fS

29、 域（3）过点（。】）,即门一（】时.丁=17皮 （4）在R匕足增函数在H工灵减函数a互为倒数时，两个函数关于 y轴对称,但这规律：1.当两个指数函数中的 两个函数都不具有奇偶性-4 -3 -2 I 23 42. 当a>1时，底数越大，图像上升的越快，在 y轴的右侧，图像越靠近 y轴；当0vav1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近 y轴。在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。Ox3. 四字口诀：“大增小减”。即：当a>1时，图像在R上是增函数；当0vav1时, 图像在R上是减函数。4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。比较募式大小的方法：1 .当底数

30、相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2 .当底数中含有字母时要注意 分类讨论；3 .当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4 .对多个数进行比较，可用 0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f（X）后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。对数函数1 .对数函数的概念由于指数函数y=ax在定义域（-8, +8）上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数 y=ax（a >0, awl）的反函数称为对数函数，并记为 y=log ax（a >0, awl）.因为指数函数y=ax的定义域为

31、（-00, +oo）,值域为（0 , +oo）,所以对数函数y=log aX的 定义域为（0, +8），值域为（-8, +oo）.2 .对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画 出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数 y=log ax（a >0, aw 1）的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2X, y=log 10X, y=log 10x,y=log 1 x,y=log 1 x 的草图210y=log ax(a >0, a由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数丰1)的图像的特征和

32、性质.见下表.图象a> 1av 1X=1K-o* x-i * y logax (0<a<l)OI片*性 质(1)x >0(2)当 x=1 时，y=0(3)当 x>1 时，y>00<x<1 时，y<0(3)当 x>1 时，y<00<x<1 时，y>0(4)在(0 , +8 )上是增函数(4)在(0 , +8)上是减函数补 充性 质设 yi=log ax y 2=log bx 其中 a> 1, b> 1(或 0v av 1 0 < b< 1)当x>1时“底大图低”即若a>b则y1

33、>y2当0<x< 1时“底大图图”即若a>b,则y1>y2比较对数大小的常用方法有:(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进彳T判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.若底数不同、真数相同，则可用 换底公式化为同底再进行比较. 若底数、真数都不相同，则常借助 1、0、-1等中间量进行比较.3 .指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一式y=ax(a >0, aw 1)y=log ax(a >0, aw 1)定义域(-8 + +8 )(0 , +00)值域(0 , +00)(-巴 +OO)当a> 1时，

34、当a> 1时函的1( x 0)0(x 1)值ax 1( x 0)10g a x 0(x 1)变1(x 0)0(x 1)化当0v av 1时，当0v av 1时，情1(x 0)0(x 1)1%ax 1(x 0)10g a x 0(x 1)1(x 0)0(x 1)单调性当a>1时，ax是增函数；当a> 1时，log ax是增函数；当0vav1时，ax是减函数.当0vav1时，log ax是减函数.图像y=ax的图像与y=log ax的图像关于直线y=x对称.号函数幕函数的图像与性质哥函数y xn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分n-1 1 一类记忆的万法.熟练掌握 y x ,当n 2, 1, 一，一，3的图像和性质，列表如下.2 3从中可以归纳出以下结论： 它们都过点1,1 ,除原点外，任何幕函数图像与坐标轴都不相交，任何幕函数图像都不过第四象限._1 1a -，一，1, 2,