带点球体内部电势[篇]

1、带点球体内部电势6篇 以下是网友分享的关于带点球体内部电势的资料6篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。带点球体内部电势（一）引 言均匀带电球面内的电势，一般的论证方法是场强积分法。即先确定E分布，然后选零势点和便于计算的积分路径，选取零势点的原则是使场中电势分布有确定值，最后由零势点电势定义Ua=a零势点Edl=Ecosdl计算Ua1。然而有些情况却并不能给出场中电势a分布的确定值，所以我们可以试想用不同的方法，多角度的计算均匀带电球面的电势，并证明其相等。下面就重点介绍其中的常见的计算和证明方法。 1 2第1章 利用点电荷产生的电势公式证明设带电球面的的半径为R,带电荷量为q，如图1

2、-1所示， 图1-1 用点电荷产生的电势公式计算电势由题意2知电荷面密度为= dS=R2sinddq24Rdq=ds=RsinRdd在球内任一点处产生的电势1dq =40r22dr2=(D-Rcos)+(Rsin)=D2+R2-2DRcos 于是带电球面内任一点的电势为R+rVP=dVP=R-r2R4Rqdy=40r4040R d=14022= 同上，在球的下半面取一带电圆环，则有：dq=ds=RsinRdd =2R2sind 3r=(D+Rcos)+(Rsin)222=D2+R2+2DRcos 2 d通过对以上公式积分得： -22=002R21= 0=q 0R 4 第2章 利用均匀圆环在中心

3、轴线上产生的电势公式证明如右图2-1所示，在球心内建立直角坐标系o-xy，在上半球出作一均匀带电圆环，如图，在球内任取一点p，p离球心距离为D，球面边缘到p点的距离为r，球半径为R，半径R与轴线夹角为，均匀带电球面的面密度为。 在圆环处所产生的电荷为：dq=ds=2RcosRd =2Rcosd2 图2-1 利用均匀圆环在中心轴线上产生的电势公式计算电势在p点处产生的电势为：d=222dq; 40r221r=(D-Rsin)+(Rcos)=D+R-2DRsin可得: d=14022= 同上，在球的下半面取一带电圆环，则有：dq=ds=2RcosRd =2Rcosd25r=(D+Rsin)+(Rc

4、os)=D+R+2DRsin22222 联立方程得：d2通过对以上公式积分得： =202+-2022R201+2 0-=0R 6q第3章 利用电场线性质证明3如图3-1所示, 我们在半径为R 的圆上分别放置3, 6, 12, 个电量相同的点电荷, 画出电力线分布的大致情况。可以看出, 随着电荷数目的增加, 环面内的场强越来越弱。不难想象, 当电荷的数目趋向无穷时即形成线电荷分布。这时环内的场强为0, 因此, 环内的电势应为一常量即V内=Q40R 图3-1 半径R放置不同点电荷形成电场线因为电场线起于正电荷，终止于负电荷，假若球面带正电，由于球面内部不带电，而无穷远处电势为零，相当于存在负电荷，

5、所以电场线设在无穷远处，不会存在于球面内部，所以内部电场为零。因此, 环内的电势应为一常量即V内=Q40R。假若球面带负电，由于电场线终止于负电荷，球面内部不带电，所有的电场线全部终止于球面，球面内部也没有电场线，也即内部电场为零。环内的电势应为一常量即V内=Q40R。4 7 8第4章 利用电动力学的理论证明由题意5,6可知，2212=0,=0 =(Ar1nn+Bn1)；2=(Anrn+Bnn+11n+1)n=0rn=0又1r=0有限；2r0对于n1，则有Bn=0，所以1=Anr n=0对于，则有2An=0，所以2=B1，n=0n又由方程0-2ds=q可得：-ds=q20又 ds=4r2 -=

6、q2则有，4r20q2= 40r因为有：1r=R=2r=R所以有：Anrn=B1n=0nn =0因此，1=2=q4；0R 9r 10第5章 利用均匀带电球面产生的电场强度公式证明设带点球面的半径为R，总电荷量为q，如图5-1，已知均匀带电球面在空间激发的场强沿半径方向，其大小为7E=0q40r2rr>R 沿半径积分，则p点的电势为VP=Edr r 图5-1 利用均匀带电球面产生的电场强度公式计算 当r>R时，VP=qdrq =240r40r2r当rRRVP=Edr+Edr=0dr+rRrdrq=240Rr40Rq 11 12第6章 利用立体角概念证明设均匀带电球壳的半径为R,场点P

7、与球心O的距离r(P点在球壳内时,rR),如图6-1所示(P点在球壳内情形)以通过O点和P点的直径为轴线,把球面分成许多圆环带,在图中所示圆球半径与轴线夹角为处,环带宽度为Rd,线电荷密度,dl=Rd环带的半径为a=Rsin.由均匀带电圆环轴线上一点的场强公式,环半径为a 时, 所产生的电势为d=12RsinRd0a2+Z2 8 图6-1 利用立体角概念计算电势令=q2a2+z2=(Rsin)+(r+Rcos)22=(r2+R2+2rRcos)故由积分可得带电球壳在P点处所产生的电势为=d=1 qsind1(r2+R2+2rRcos)212=r+R2+2rRcos-0rRq()120 =q2R

8、=0Rr0rq 13 14结 语一般来说，计算电势的方法有两种。第一种方法是由电势的定义式通过场强的线积分来计算；另一种方法是的电势叠加原理。对不同的带电体系，本质上讲上述两种方法都能够计算出电势，但是选择不同的方法计算的难易程度是大不相同的。通过我们前面内容的学习，大家要注意对不同的带电体系选择不同的计算方法。 15 16谢 辞到现在，我的论文基本成稿，回想这段时间，感慨万分！从论文选题到搜集资料，从写初稿到最后定稿，期间经历了喜悦、烦躁和痛苦，随着论文的最终定稿，我的心情也平静了许多。首先，我要感谢我的母校，它给了我学习和成长的机会，“崇真、求实、博学、创新”让我学会了追求和钻研，让我领略

9、了做学问的真谛，正是在它的激励下，四年间，我刻苦学习，博览群书，孜孜以求。其次，我要感谢，非常感谢我的指导老师贺庆泽老师。最后，我要感谢我的大学同学。每当我在彷徨、犹豫时，他们都能扶我一把，帮我顺利度过难关。因为有他们的陪伴和支持，我的大学充实而精彩，感谢命运能让我们在此相遇，共同度过四载春秋，成为一生知己！感谢之余，诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正。 衷心的谢谢各位老师，你们辛苦啦！ 17 18参考文献1 赵凯华，陈熙谋.电磁学M.第二版.北京：高等教育出版社，1985.p93 2 梁灿彬.电磁学M.北京：高等教育出版社，1980.p1143 白 静.均匀带电圆环的电场分布J.辽宁工程

10、技术大学学报,2005.p2 4 徐世良. 数学物理方法解题分析M. 南京: 江苏科学技术出版社, 1983.p46 5 程守洙. 普通物理学M. 北京: 人民教育出版社，1983.p87 6 张之翔.电磁学千题M.北京:科学出版社,2002.p29 7 赵近芳.大学物理学M.北京:北京邮电大学出版社,2002.p43 8 向义和.大学物理导论M.北京:清华大学出版社,1999.p52 19带点球体内部电势（二） 带电导体球与点电间的作用力【摘要】 两个带异性电荷的导体之间，无论是否存在静电感应，彼此相互作用力为引力是容易理解的，但两个带同性电荷的导体之间的相互作用力如何就需要具体分析了。【关

11、键词】 镜像法 带电导体球 点电荷 库仑力【中图分类号】 g633.7 【文献标识码】 a 【文章编号】 1674-4772（2013）02-023-01同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，这是众所周知的客观规律。但对带电导体而言，情况就不一定了，具体分析时就要考虑带电导体球与点电荷的距离以及带电导体球是否接地等问题了，一般用镜像法分析带电导体球与点电荷之间的关系。一、镜像法设点电荷q附近有一导体，在点电荷的电场作用下，导体面上出现感应电荷。我们希望求出导体外面空间的电场，这电场包括点电荷q所激发的电场和导体上感应的电荷所激发的电场。我们设想，导体面上的感应电荷对空间中电场的影响能否用导体内部

12、某个或几个假想电荷来代替？注意我们在作这种代换时并没有改变空间中的电荷分布（在求解电场的区域，即导体外部空间中仍然是只有一个点电荷q），因而并不影响泊松方程，问题的关键在于能否满足边界条件。如果用这代换确实能够满足边界条件，则我们所设想的假想电荷就可以用来代替导体面上的感应电荷分布，从而问题的解可以简单地表示出来。带点球体内部电势（三）如何证明均匀带电球壳内任意一点的电场强度都是0,请写得详细点 如何证明均匀带电球壳内任意一点的电场强度都是0,请写得详细点 voebmlhi 物理 2014-12-02优质解答给你一个不太严格的证明方法,是利用初等数学.严格的证明要用积分了. 如 图,设球壳内有

13、一点A,在球面上取两个关于A点对称的圆形面积 S1 S2,他们的线度很小,可以看成平面,设他们的直径分别为L1 L2,A点距离这两个平面的距离分别为 r1 r2,根据几何关系,L1/L 2=r1/r2 ,两个平面的面积之比：S1：S2=（L1）²:(L2)²=(r1)²:（r2)²因为电荷均匀分布,所以两平面带电量之比和面积成正比,即：q1:q2=S1：S2=(r1)²:（r2)²即：q1(r2)²=q2(r1)²这两个平面在A点的电场强度大小之比：E1：E 2= q1(r2)²=q2(r1)²

14、 所以 E1=E2 但方向相反,所以这两个平面在A点的场强矢量和为0. 与此类似,其他各个点在A点的场强也互相抵消,所以A点场强为0 裂风0496 2014-12-02 带点球体内部电势（四）圆柱体内部电势分布何俊远（物理与电信工程学院 物理学三班 1*）摘要：在电磁学里面，用高斯定理求解电势的分布的要求是我们研究的物理对象具有高度对称性，而对于那些电荷并不是均匀或对称分布的物体，它的电势是难以用高斯定理求解的。在一些数理方程上，圆柱体柱顶已知电势，求圆柱体内部的电势分布也只给出了一般的解，十分的抽象，这次，除了逐步用分离变量法求解出方程的解，还有用图形把它完美的表达出来，用具体的图形反映抽象

15、的物理情景。模型：空心圆柱体的电势分布方程及其边界条件u =0uuz =0=0； u=0z =h=U ；r =R由于研究的对象是圆柱体，拉普拉斯算子用柱坐标表示，得1122r (r r ) +2+z ) u =0 r r由于边界的条件与无关，所以只是r 和z 的方程：令u (r , z ) =R (r ) Z (z ) ，代入式中，有R +1r R =-2u r22+1u r r+u z22=0Z ZR=-有r2d R dr2+rdR dr2+r R =0； Z -Z =0容易看出，方程的解为贝塞尔函数R (r ) =AJ 0(r ) +BN 0(r ) 但由于当r 0时，N 0，B 必须为0

16、。所以R (r ) =AJ 0(r ) ；由R (R ) =AJ 0(R ) =0 所以固有值n =(n(0)R) ； 所以R n (r ) =AJ 0(2n(0)Rr )因为>0,-则Z 的方程为本征方程n(0)Z n (z ) =C n eRz+D n ee-n(0)Rz -所以u (r , z ) =nn(0)(Cn =1Rzn(0)+D n eRz) J 0(n(0)Rr )由边界条件可知u (r , 0) =(Cn =1n+D n ) J 0(n(0)n(0)R-r ) =0(0)u (r , h ) =Cn =1neRhn+D n eRh) J 0(n(0)Rr ) =U 由

17、联系、方程，解得C n =Un sh(0)(0) n； D n =-hJ 1(n )(0)URn sh(0)(0) n hJ 1(n )(0)R得到方程的普通解为：u (r , z ) =n =12Un sh(0)(0) nshhJ 1(n )(0)n(0)RzJ 0(n(0)Rr )R 该圆柱内的电势解得图像如下： 结论：圆柱体内的电势分布呈现旋转抛物面形状，圆柱体的内侧面的电势为零。 带点球体内部电势（五）思 考 题13-1 在一个不带电的导体球壳的球心处放入一点电荷q，当q由球心处移开，但仍在球壳内时，球壳内外表面的电荷分布情况如何？答：球壳内表面感应电荷分布不均匀，因为内部的电场分布发

18、生了变化，不再具有对称性。而外表面感应电荷分布均匀，因为外部电场不变。13-2 关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？(A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D为零 (B) 高斯面上处处D为零，则面内必不存在自由电荷 (C) 高斯面的D通量仅与面内自由电荷有关(D) 以上说法都不正确 C 答：（A）面内无自由电荷，（B）D处处为零，则gòSvvDgdS=0，但D不一定为零。gòSvvDgdS=0，即åq0=0，可能存在等量异号的自由电荷。（C）正确。故选（C）13-3 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则(A

19、) 空心球电容值大 (B) 实心球电容值大(C) 两球电容值相等 (D) 大小关系无法确定 C 答：无论空心还是实心金属球，电荷只分布于外表面，二者电势相同，则根据孤立电容的定义，C=Q/U，则电容值相同。故选（C）13-4 一带正电荷的物体M，靠近一原不带电的金属导体N，N的左端感生出负电荷，右端感生出正电荷若将N的左端接地，如图所示，则(A) N上有负电荷入地 (B) N上有正电荷入地 (C) N上的电荷不动(D) N上所有电荷都入地 B 答：接地后，金属导体N与地球构成一个新的导体。达到静电感应时，在正电荷M存在的情况下，靠近M的导体N应带负电，N上原有的正电荷会进入地球。故选（B）13

20、-5 磁介质有三种，用相对磁导率mr表征它们各自的特性时， (A) 顺磁质mr >0，抗磁质mr >1 (B) 顺磁质mr >1，抗磁质mr =1，铁磁质mr >>1 (C) 顺磁质mr >1，抗磁质mr >1 思考题13-4图(D) 顺磁质mr 0 C 答：根据磁介质的分类，书上p30可知答案为（C）13-6 关于稳恒电流磁场的磁场强度H，下列几种说法中哪个是正确的？ (A) H仅与传导电流有关(B) 若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H必为零 (C) 若闭合曲线上各点H均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零 (D) 以闭合曲线为边缘的

21、任意曲面的H通量均相等 C 答：（A）H与传导电流和磁化电流均有关。（B）在各点为零。（D）gòLvvHgdl=åI0=0，但不可推得HgòLvvHgdl取决于所包围的内部传导电流的代数和，边界相同的不同曲面所包围的传导电流的代数和不一定相等。故选（C）13-7 用细导线均匀密绕成长为l、半径为a (l >> a)、总匝数为N的螺线管，管内充满相对磁导率为mr的均匀磁介质若线圈中载有稳恒电流I，则管中任意一点的 (A) 磁感强度大小为B = (B) 磁感强度大小为B =m0mrNI mrNI / l(C) 磁场强度大小为H = m 0NI / l(D)

22、 磁场强度大小为H = NI / l D 答：对于长直螺线管，由环路定理：gòLvvHgdl=åI0，设矩形回路长为l，可知vvNNINIHgdl=H×d=ndI=dIH=,B=mmH=mm，则，故选（D） 0r0rgòLlll习 题13-1 在竖直放置的无限大均匀带电平面(电荷面密度为s)的右侧放置一个与之平行的无限大导体平板，导体板左、右两表面的感应电荷面密度是多少？ -s/2，+s/2 解：设左右两表面的感应电荷面密度分别为s1，s2，根据电荷守恒，有：s1+s2=0；根据静电平衡时导体板内任意一点P的场强为零，由场强叠加原理，有：sss即s1-s

23、2=-s，故s1=-s/2,s2=s/2。 +1-2=0，2e02e02e013-2 如图所示，把一块原来不带电的金属板B，移近一块已带有正电荷Q的金属板A，平行放置设两板面积都是S，板间距离是d，忽略边缘效应求：（1）当B板不接地时，两板间电势差UAB； （2）B板接地时两板间电势差U¢AB Qd/(2e0S)；Qd/(e0S)SS 习题13-2图解：设A板的左右两侧面的感应电荷面密度分别为s1，s2，B板的左右两侧面的感应电荷面密度分别为s3，s4。 （1）B板不接地时：ìs1s2s3s4ï2e-2e-2e-2e=0ì(s1+s2)S=Qï

24、0000电荷守恒：í 静电平衡。í(s+s)S=0ssss4î3ï1+2+3-4=0ïî2e02e02e02e0QQ,s3=-s4=-解得：s1=s2= 2S2S则极板间的场强为E=s1s2s3s4Q+-=2e02e02e02e02e0S电势差UAB=Ed=Qd2e0S（2）B板接地时：s4=0，作一圆柱形高斯面，两底面位于两极板内且与极板表明平行。 由高斯定理：s2+s3=0 电荷守恒：(s1+s2)S=Q 静电平衡。s1s2s3+=0 2e02e02e0Q S解得：s1=s4=0,s2=-s3=则极板间的场强为E=s1s2s3s4

25、Q+-=2e02e02e02e0e0S电势差UAB=Ed=Qd。 e0S 13-3 一电容为C的电容器，极板上带电量Q，若使该电容器与另一个完全相同的不带电的电容器并联，求该电容器组的静电能We. Q2/4C 解：并联后C并=C1+C2，新的电容器电容为2C，电量仍为Q。所以电容器的能量Q2Q2。 We=2C并4C13-4 一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常量为er的各向同性均匀电介质，这时（1）两极板上的电荷是原来的几倍？ （2）电场强度是原来的几倍？ （3）电场能量是原来的几倍？ er；1；er 解：平行板电容器两端电压U保持不变。充入电解质后，电容变为原来

26、的er倍。 （1）由Q=CU知，Q变为原来的er倍。 （2）由U=Ed知，E的大小不变。CU2（3）由We=知，能量变为原理的er倍。213-5 一个绕有500匝导线的平均周长50 cm的细环，载有 0.3 A电流时，铁芯的相对磁导率mr为600，m0=4p×107 TmA1求：-(1) 铁芯中的磁感强度B；(2) 铁芯中的磁场强度H. 0.226 T；300 A/M 解：对于细螺绕环，根据介质中的环路定理vvHgò×dl=åI0，H.2pR=NI，则lH=NI500´0.3=300A/M，B=m0mrH=4p´10-7´6

27、00´300=0.226T。 2pR0.513-6 长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导体中有等值反向均匀电流I通过，其间充满磁导率为m的均匀磁介质在介质中离中心轴距离为r的某点处，求：（1）磁场强度的大小H ；（2）磁感强度的大小B I / (2pr) ；mI / (2pr) vv解：根据介质中的环路定理gòH×dl=åI0H=lI2p r，B=m0mrH=mI2pr13-7 螺绕环中心周长ll0cm，环上均匀密绕线圈N =200匝，线圈中通有电流I=100mA.求:(1)管内的磁感应强度B0和磁场强度H0；(2)若管内充满相对磁导率mr

28、=4200的磁性物质，则管内的H和B是多少? (3)磁性物质内由磁化电流产生的B是多少? 200A/m，2.5´10-4T；200A/m，1.05T；1.05T 解：对于细螺绕环，vv（1）根据环路定理gòB×dl=m0åI，B.2pR=m0NI，lm0NI4p´10-7´200´0.1BNIB0=2.5´10-4T，H0=0=200A/m2pR0.1m02pR（2）根据介质中的环路定理 H=vvHgò×dl=åI0， H.2pR=NIlNI200´0.1=200A/M，B=

29、m0mrH=4p´10-7´4200´200=1.05T 2pR0.1（3）B¢=m0M=m0(mr-1)H=4p´10-7´4119´200=1.05T带点球体内部电势（六）第38卷 第3期2010年5月河南师范大学学报(自然科学版)JournalofHenanNormalUniversity(NaturalScience) Vol.38 No.3 May.2010文章编号:1000-2367(2010)03-0183-03均匀带电半球面底面上的电场与电势张晓燕,冯翠菊(华北科技学院基础部,北京101601)摘 要:根据均

30、匀带电球面内电势处处相等的特点和电势叠加原理两种方法求解了均匀带电半球面底面上的电势分布;运用电场强度公式计算出均匀带电半圆环轴线一点电场强度,并利用此结果结合Taylor展开得到均匀带电半球面底面上一点电场强度的级数解.关键词:半球面;电场;电势;级数解中图分类号:O441.1文献标志码:A根据高斯定理,很容易得到均匀带电球面内外的电场强度和电势,许多文献还求解了球面上的电场和电势,文献3进一步深入研究了导体球壳周围的电场分布,文献4,5使用不同的方法计算了均匀带电半球面球心处的电场强度.为了加深学生对知识的理解,拓宽学生的解题思路,我们根据均匀带电球面内各处电势相等,得到了均匀带电半球面底

31、面上的电势.另外,将半球面看作由许多半圆环组成,我们通过半圆环轴线上一点的电势经过叠加计算出半球面底面上的电势,两种方法的结果是一致的.依据得到的底面电势分布特点可以判断出半球面底面上电场强度方向,进而我们只需要求解出半圆环轴线上任一点电场强度的垂直分量,再利用电场强度叠加原理就可以得出底面上的电场强度数值.计算过程用到了Taylor展开,我们用级数形式表示了半球面底面上的电场强度解.1,21 均匀带电半球面底面上的电势1.1 由对称性求解由对称性可知,半球面底面上任一点A应与底面中心点O电势相等.若不等,当两半球面合成一个球面时,由叠加原理A点与O点电势将不等,与均匀带电球面内电势处处相等矛

32、盾,所以我们很容易得到底面上任意一点的电势为UA=U0=其中Q为半球面带电量,R为球面半径,以下均同.1.2 运用半圆环在轴线上一点电势叠加求解因为底面上电势处处相等,如果我们将半球面看作由许多带电量为的dq半圆环组成,只要求出各半圆环在它们共同轴线上一点A的电势叠加,就可以代表整个半球面底面上一点的电势.由图1我们可以看出r=Rsin +(Rcos +x),h=Rsin ,dq=根据电势叠加可以得到A点的电势为UA=上式与(1)结果相同.收稿日期:2009 10 09基金项目:华北科技学院校基金资助项目,:.2222,4 0R(1).2=2 R2(2) =4 0r8 .=4 0Rsin184

33、河南师范大学学报(自然科学版) 2010年2 均匀带电半球面底面上的电场强度由于底面是等势面,根据电场线与等势面处处垂直,可知底面上各点电场强度方向垂直于底面.这样我们只需要计算出各半圆环在A点电场强度矢量沿垂直底面方向的分量,然后相叠加即可得到A点电场强度大小.下面我们先求解任一带电量为Q ,半径为h的半圆环轴线上A点的电场强度.由图2可知rcos!=x tan =hsin,得到d=hcos coscos2 -xtan则半圆环上单位长度带电量为dq =2 cos -xtan所以半圆环在A点的电场强度的垂直方向分量为E=2其中 =arctan.x cos!= 2234 0r2 200 ,=23

34、0cos -xtan2 2(3)下面利用上面的结果计算半球面在A点的电场强度EA.根据图1,将(3)中半圆环的带电量Q 用dq代换,联立(2)式可以得到A点的电场强度为EA= 2.2224 0Rsin +(Rcos +x)23/2(4)用级数解来表示上面的积分结果.由Tayor展开得-3/22n(1+Bcos )=1-Bcos +)-+Dn(Bcos )+,2(Bcos 322!23!2其中B=另外引入下面的等式R+xn!20 n为奇数, Cn n为偶数2(n/2)! (5) ncos d =0,Cn=(6)运用(5)、(6)结论可以计算下面两式223/2=20(R+x+2Rxcos )(R+x2)3/22 =(1+Bcos )3/2(7)2+DnBnCn+)23/2(1+(R+x)2!2n2 EA=04=0(R+x+2Rxcos )(R+x)(1+Bcos )2n+DnBCn+2+).(B(R+x)22!2822(8)将(7)、(8)代入(4),得到A点的电场强度为0n +B2+=(0(R+x)28R+x+2Rxcos 4 2!2nn.)DnB#n+2n=2,4,62n+DnB+)=223/2(n+24 0(R+x)2(9),x第3期 张晓燕等:均匀带电半球面底面上的电场与电势185,此结果与文献48 0R距离.当x=0时B