抛物线基础检测卷

1、抛物线基础检测卷一、单选题1 .抛物线y = 2/的焦点坐标是（）A. i,0| B.化o C, o,-l（2 ）l4 ）8j2 .下列抛物线中，其方程形式为丁=2川（>0）的是（）试卷第4页，总4页3 .抛物线）3= 8x上到其焦点厂距离为5的点有（）A. 0个B. 1个4.抛物线y = 的焦点坐标是（A.（0,1）B,（0,1C. 2个C.°45.抛物线Y=8y的准线被圆/+），2-6x = 0截得的线段长为（A. 4B. 2小C. y/5D. 4个1。（闻）D. 26.抛物线1=二上的点与其焦点的距离的最小值为（）41A. 2B. 1C.167 .已知是抛物线。：）3=2

2、/»（>0）上的一点，尸是抛物线。的焦点，。为坐标原点，若IP7H=2, 4PFO = g 则抛物线C的方程为（）D. y2 =4xA. y2 = 6xB. y2 = 2xC. y2 = x8 .已知点P为抛物线C：X2=2>（>0）上一点，且点P到轴的距离比它到焦点的距离小3,则=()A. 3B. 6C. 8D. 129 .已知抛物线C V =8x的焦点为尸，。是抛物线。的准线上的一点，且夕的纵坐标为正数，。是直线尸尸与抛物线C的一个交点，若pq = 6qf ,则直线尸E的方 程为()A.工一)'-2 = 0B. x+y-2 = 0C, x-y + 2 =

3、 0D. x+y + 2 = 010 .斜率为的直线/过抛物线。：9=2/火(>0)的焦点凡 若/与圆M:(x-2)2 + y2=12 相切，贝ij= () .A. 12B. 8C. 10D. 6)22)11 .抛物线的顶点和椭圆三十二=1的中心重合，抛物线的焦点和椭圆二+t=1的25 925 9右焦点重合，则抛物线的方程为()A. y2=16x B. y2=8xC. y2 = 2xD. y2 = 6x12 .已知抛物线G .y2=2i的焦点为F,点M, N分别在抛物线。上.若赤=2可7，则点时到y轴的距离为()1 32A. B. C. D 12 53二、填空题13 .动圆经过点A(3,

4、0),且与直线/:x = 3相切，求动圆圆心M的轨迹方程是14 .抛物线产=2/»(>0)的准线截圆/十丁2),_i = o所得弦长为2,则抛物线 的焦点坐标为.15 .已知抛物线方程为)，2=x，点M在此抛物线上运动，则点A(4,0)与点M之间的距离IM41的最小值为.16 .已知点M (1, 2)在抛物线C： yJ2Px (p>0)上，则点M到抛物线C焦点的距离 是.三、解答题17 . （1）求过点尸（1,#）,。（一，/）的椭圆的标准方程.（2）求焦点在大轴负半轴上，焦点到准线的距离是5的抛物线的标准方程.18 .已知抛物线），2=4x.（1）求过点尸（0）与抛物线

5、有且只有一个公共点的直线方程；（2）过焦点尸作一条斜率为旧的直线与抛物线交于两点M，N,求A/N的长.19 .已知抛物线V =2px（ >0）的焦点/恰好是双曲线12/ -4y2 =3的一个焦点，。是坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2 ）经过焦点广作直线,与抛物线相交于45两点，1而1=5,若市+砺=mOD， 且。在抛物线上，求实数，的值.2720.已知抛物线C： /=2川（>0）的焦点/是椭圆亍+=1的一个焦点.（1）求抛物线。的方程；（2）设P, M，N为抛物线。上的不同三点，点且PW_L/W.求证：直线 过定点.21.已知抛物线E的顶点为原点，其焦点尸(0,c)(c>

6、0)到直线，:x-y-2 = 0的距离为孚,求(1)求c的值(2)抛物线E的方程22.已知抛物线C：V=4x的焦点是尸，准线是/.(I)写出尸的坐标和/的方程：(II)已知点P(9,6),若过尸的直线交抛物线C于不同的两点A , B (均与。不重合), 直线P4，必分别交/于点A/, N.求证：MFLNF.试卷第3页,总4页参考答案1. c【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和，进而求出焦点坐标.【详解】由y = 2/化为标准方程得开口向上，则 2 p = Q ,即 /? = »所以y = 2/的焦点坐标是（0. X. O故选：C.【点睛】本题考查焦点的求法，属

7、于基础题.2. A【解析】【分析】根据方程形式为y2=2x（>。），可得其图象关于x轴对称，且x»0,即可判断.【详解】 解：根据方程形式为y2=2px（p>0）,可得其图象关于工轴对称，且xNO, 故可得该抛物线对称轴为大轴，开口朝右.故选:A.【点睛】本题考查了抛物线方程对应的图像，属于基础题.3. C【解析】【分析】结合抛物线的定义判断出结果.【详解】依题意抛物线V=8x, 2 = 8,9 = 2,准线方程为工=一2,结合抛物线的定义可知：抛物线y2 = 8x上到其焦点厂距离为5的点的横坐标为52 = 3,将戈=3代入y?=8x,得丁=24,解得y = ±

8、2#,所以抛物线y2 = 8x上到其焦点F距离为5的点有2个.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.4. B【解析】【分析】先把抛物线方程y =化为标准方程/= 2），从而得2 = 2, g =进而可求出其乙乙 乙焦点坐标【详解】解：由 >得F=2y,所以2 = 2,得 =1,所以2 =， 2 2所以焦点坐标为（。，），故选：B【点睛】此题考查由抛物线的标准方程求焦点坐标，属于基础题5. B【解析】【分析】先由抛物线方程，得到其准线方程，再由几何法求圆的弦长，即可得出结果.【详解】因为抛物线/ = 8y的准线方程为y = -2 ,答案第13页，总15页圆V+y2-6x

9、= 0整理得(x 3+V=9,则圆心坐标为(3,0),半径为r=3,则圆心到直线y = -2的距离为d = 2 ,因此y = -2被圆V + /-6a=0截得的弦长为2>/7=产=2" 故选：B.【点睛】本题主要考查求抛物线的准线，考查求圆的弦长，属于基础题型.6. B【解析】【分析】根据抛物线的定义可转化为I夕/1= 1 +/，根据为的范围求解即可.【详解】由题意，丁=4工的焦点厂(L0),准线为x = 1,设抛物线上的动点,根据抛物线的定义可知，IP/1=1 + %,因为X。亡0,+8),所以 1Pq =故抛物线V =4x上的点与其焦点的距离的最小值为1.故选：B【点睛】本

10、题主要考查了抛物线的标准方程，抛物线的定义，属于容易题.7. A【解析】【分析】IPFI=2, NPFO = 土,可求出夕点的坐标，代入抛物线方程，即可求解. 3【详解】过P向工轴作垂线，设垂足为。,v ZPFO = - , PF 1=2, 3.IPQI=C，I。尸 1=1,尸（2一1,士遂），2将P点的坐标代入y2 = 2px,得p = 3,故C的方程为y2 = 6x.故选:A【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题.8. B【解析】【分析】由抛物线的定义可知点P到焦点的距离等于它到准线的距离，可得4 = 3,从而得出答案. 2【详解】由题得，抛物线的准线方程为y = -g,由抛物线的定

11、义可知，点。到焦点的距离等于它到准线的距离，所以点尸到工轴的距离比它到准线y =-搭的距离小3,于是得上=3,所以 =6.2故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.9. B【解析】【分析】根据抛物线的定义求出直线的斜率得解.【详解】过。点作于H,因为尸。=也。尸，由抛物线的定义得尸。=点QH ,答案第13页，总15页所以在町中，4PQH =上,4所以4所以直线尸厂的斜率为 =1,所以直线PF的方程为y-0 = (-l)(x-2),故选B.【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义，将线段的关系转化到角的关系，属于中档题.10. A【解析】【分析】首先根据题意直线/方程为y =根据直线

12、/与圆M : (x - 2)2 + y2 = 12相切,得到d26Tp乙2=2%再解方程即可.【详解】抛物线C:),=2px(p>0)的焦点g,0设直线/方程为y =0(x-f，即B-y上p = 0， )2因为/与圆M:(x 2)2+ ),2= 12相切,所以圆心（2,0）到直线的距离为解得 =12。故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，同时考查直线与圆的位置关系，属于简单题.11. A【解析】【分析】依题意可求得椭圆的右焦点乙（4,0）,从而可求得抛物线丁= 2px中的，继而可得答案.【详解】解：依题意知，椭圆的右焦点心（4,0）,设抛物线的方程为：y2=2px（p>0）,

13、则£ = 4,2 = 8.,抛物线的方程为：），2 = 16x .故选：A.【点睛】本题考查椭圆与抛物线的简单性质，判断抛物线的焦点位置及求参数的值是关键，属于基 础题.12. D【解析】【分析】由V=2x可得E（3,0）,设“（义_,片），N（也,为），由赤'=2而，可得$=L 222【详解】由V = 2x可得吗,0）,设M与，片），N（M%）， 乙乙乙答案第13页，总15页由砺 =2丽，可得(1一?'f)= 2吟一；,为)，所以：-5 = )'；_1且一y=2%，所以之一2£ =岂，解得城=2,所以再=%=1, 2 242所以点M到y轴的距离为1

14、.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.13. y2 = 12x【解析】试题分析：设动点M(x,y),设。w与直线/:l=一3的切点为N,则卜|MN|,即动 点M到定点A和定直线/:x = 3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3.0)为 焦点，以直线/:x = 3为准线，所以 =6,所以动圆圆心的轨迹方程为丁 = 12- 考点：抛物线的定义及其标准方程.14. (L 0)【解析】【分析】根据标准方程写出准线方程，化圆的一般方程为标准形式，得出圆心和半径，利用弦长公式 得到关于的方程，求得的值，进而得到焦点坐标.【详解】抛物线/= 2p

15、xp > 0)的准线为x =一，把圆化成标准方程为 1)2=2,得圆心半径,yJL圆心到准线的距离为所以("尸+(3)2=(应尸，即 =2,222所以焦点坐标为(1,0).【点睛】 本题考查求抛物线的标准方程中的参数问题进而求焦点坐标，涉及抛物线的准线和圆的弦长 问题，难度较易.15.巫2【解析】【分析】由于点M在抛物线V = *上运动，所以设M (机2, ?)，则“0川=一4八+ 产 ,然后 整理配方可求得结果【详解】解：不妨设 M (/,?)( m>0 ),则_ 4)2 +J(-一g)2 + 个 2.当?2 =2时，1MAi取得最小值史22故答案为：叵2【点睛】此题考

16、查了点与抛物线的位置关系，考查两点间的距离公式的应用，属于基础题16. 2【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求出p=2,求得焦点F(l, 0),利用抛物线的定义，即可求 点M到抛物线C焦点的距离.【详解】由点 M (1, 2)在抛物线 C： y2=2px (p>0)上，可得 4=2p, p=2,抛物线C： y2=4x,焦点坐标F (1, 0),则点M到抛物线C焦点的距离是：1+1=2,故答案为2.【点睛】本题考查抛物线的标准方程及抛物线的定义，考查计算能力，属于基础题.答案第14页，总15页17. （1） + = 1； （2） y2 =-10x. 39【解析】【分析】（1）先设椭

17、圆方程为化2+盯,2=1（7>0,”>0,7工”），根据点的坐标，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据抛物线的焦准距求出，再由焦点位置，即可得出抛物线方程.【详解】（1）设所求椭圆方程为储+）' =1（7>0,>0,7工）,因为该椭圆过点尸（1,而），C（-V2,5/3）,m + 6/1 = 1i1所以o ，解得6=；，=；， 2/7?+ 3/7 = 139 22因此所求椭圆方程为：+=1: 39（2）因为抛物线求焦点在x轴负半轴上，所以可设,，2=2px（p>0）,又焦点到准线的距离是5,即 =5,因此所求抛物线方程为丁 = - 10x .【点睛】本

18、题主要考查求椭圆的方程，以及抛物线的方程，属于基础题型.18. （1） x = 0, >' = 1, y = x+； （2）. 3【解析】【分析】（1）分类讨论，再设出直线方程与抛物线方程联立，即可得到结论：（2）先求出直线方程，联立方程组，求出点M，N的坐标，根据两点之间的距离公式即 可求出.【详解】解：（1）由题意，斜率不存在时，直线x = 0满足题意，斜率存在时，设方程为丁 =6+ 1,代入V=4x,可得分/+（2攵-4口 + 1 = 0,当攵=0时，y = l,满足题意，当kwO时， = （2Z4尸一4r=0," = 1,直线方程为x ），+ l = 0,综上，

19、直线/的方程为x = 0或y = l或x-y + l = o：（2）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1,0）,则过焦点F作一条斜率为的直线方程为），=61），_ 1y = >/3(x-l)3 x = 3联立L 或， L，y2 = 4x_ 2V3>-= 2>/31 _2 3'一一 r不妨令M（3,2jJ）, N二MM =，（3-？ + （2# + 号尸=y，【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力, 属于基础题.19. （1） y2 = 4x ； （2） m = -.3【解析】【分析】（1）求出双曲线的一个焦点是（1,0）,从

20、而可得巴=1,求出即可.2（2）直线/的斜率一定存在，设其为鼠可得/的方程为y = k（x-1）/工0）,利用焦半径公 式求出=±2,设。（工0，”），根据向量的坐标运算即可求解.【详解】三_汇=1（1）双曲线方程12/-4），2=3可化为1 T",44答案第15页，总15页i 3因此C,2 =- + -= 1,C = 1 ,所以双曲线的一个焦点是(1.0), 4 4于是抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点为尸(1,0),则？ = 1,2 = 4,故抛物线的方程为y2 = 4x.(2)依题意,直线/的斜率一定存在，设其为七则/的方程为丁 = &。-1)(

21、工0).y2 = 4x设4(和X),5(孙，2)，44则)'i + % = 7,演 + X)=0 + 2 .KK,4因为 1481=1£41 + 1b8| =内+/+2 = 7 + 4 = 5,所以2=4,即 =±2. - 匕设。(%,比)，则由。漆+ 0互=?而31 /31 /1 2得=(玉 +X2)= _，)b = _()'l + >2)= ±， mm mm由于。在抛物线上，因此二=口,可得，="【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，考查了基本运算能力，属于基础题.20. (1) y2=4x； (2)证明见解析.【解析

22、】【分析】 22(1)椭圆:+千=1的焦点为(±1,0),由题意可知§ = 1,由此即可求出抛物线的方程:(2)设直线的方程为x = D' + ，与抛物线联立得,可得 +为=4如 ,出=一4， 再根据PM_LPN,可得丽丽=0，列出方程代入其+为=4?，力丁2=-4，化简可 得小 一6一472 -8? + 5 = 0 ,再因式分解可得 =2m+ 5或 =2? +1,再代入方程进 行检验，即可求出结果.【详解】 22（1）因为椭圆：+二=1的焦点为（±1,0）,依题意，y = l， = 2,所以 C： >'2 = 4x（2）设直线MN的方程为x

23、 町+ ，与抛物线联立得丁一4少一4 = 0,设M（X，X）, "（,乃），则 十 % = 46，yy2 = -4，由AW_LPN,则丽丽=0，即（、T,y 2）（马 一 1,%-2） = 0，所以（N 1）（ - 1）+（% 2）（%2）=。即（殁+ - 1）（7y2 + -1）+（X - 2）（% - 2）= 0,整理得到（m1 + 1）>'!y2 +（/?/?-/-2）（y, + %）+（- 1 f + 4 = 0 ,所以+1） + 47（?一?-2） + （" 1） + 4 = 0 ,化简得2 -6一462 -8m+5 = 0即（九一3）2 =4（初一

24、1）2,解得 =2m+5 或 =-2m +1.当 =2? + 5时，直线MN的方程为工=少+ 2? + 5,即为x-5 = "7（y + 2）,即直线过 定点（5,2）；当 =一2"? + 1时，直线的方程为工=冲一2? + 1,即为x-l = m（y-2）,即直线过 定点（1,2）,此时与点尸重合，故应舍去，所以直线MN过定点（5,2）.【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分答案第14页，总15页析解决问题的能力，属于中档题.21. (1) c = l (2) x2 = 4y【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式计算即可.（2）根据抛物线的焦点坐标即可得到抛物线的标准方程.【详解】|0 c 2|3>/2,(1)由题知：d= i <，即(c + 2)2=9,解得c = 1或c = -5.#+(-1)22因为c>0,所以c = l.（2）由（1）知：抛物线的焦点为产（M）,所以抛物线的焦点在轴正半轴，且开口向上,设抛物线E的方程为V=2py , (p>0