数理统计试题及答案

1、H。：1、N(0, 2；2、 八S0.01 ; 3、t (n 1)- ；2n二、选择题(本题15分，每题3分)1、设X1，X2,X3是取自总体X的一个样本,是未知参数，以下函数是统计量的为(A) (X1 X2 X3)(B) X1 X2X31(C) X1X2X3(D)2、设 X1,X2,.,Xn 为取自总体 X N(,2)的样本，X为样本均值,S21 31 (Xi3 i 11 n一(Xin i 1)2江西理工大学考试试卷2011 2012学年第一学期 (2012.1) 时间：100分钟数理统计II 课程 24学时 1.5 学分考试形式： 闭卷专业年级：2012级(第一学期)总分：100分一、填空

2、题(本题 15分，每题3分)1、总体X - N(20,3)的容量分别为10, 15的两独立样本均值差 X Y ； 2、设X1,X2,.,X16为取自总体 XN(0,0.516P Xi2 8=有问题_； i 1 23、设总体X N(,)，若 和均未知，n为样本容量，总体均值的置信水平为1的置信区间为(X ,X )，则的值为；4、设X1,X2,.,Xn为取自总体X N( , 2)的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于2检验的拒名域为 2< 12 (n 1),则相应的备择假设也为;5、设总体X N( , 2) ,2已知，在显著性水平 0.05下，检验假设)的一个样本，若已知 0.01 (1

3、6) 32.0，则则服从自由度为n 1的t分布的统计量为(j(B).<n 1(X)CC(D).n 1(XSn22为& , S2 ,在显著性水平下，检验(A) . F (n2 1,ni 1) Si2(C) s2r F (n1 1,n2 1) S15、设总体X N( , 2) ,2已知，知的置信水平为0.95的置信区间为设Ho：5.0, H1：5.0的结果是(A)不能确定(B)接受H01、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、1n _3、设Xi,X2, ,Xn是来自总体的样本，D(X) 2存在，S2 (Xi X)2,n 1 i i则()。(A) S2是2的矩估计(B) S2是2的极

4、大似然估计(C) S2是2的无偏估计和相合估计(D) S2作为2的估计其优良性与分布有关4、设总体X-N( 1，；),YN( 2，分相互独立，样本容量分别为口刀2,样本方差分别.22 . .22 Ho ： 12,H1 ： 12的拒绝域为()。S2/X八(B)4F(n21,n11)51 1 252 /小(D)-2-F(n11,n21)2S11 2未知，%, X2 , , Xn是来自总体的样本观察值，已(4.71 , 5.69),则取显著性水平0.05时，检验假)°(C)拒绝H0(D)条件不足无法检验B.三、(本题14分)设随机变量X的概率密度为:f(x)2x2 ,0,0 x甘心，其中未

5、知 其他参数 0, X1,Xn是来自X的样本，求(1)的矩估计;(2) 的极大似然估计。解：(1) E(X)xf (x)dx2x2 .20dx 4，3(2)似然函数为:3 3 一 /一得？ qX为参数的矩估计量。L(X,)n 2xi2n n 八八2-2 xi ,0xi,(ii 1i 11,2, ,n),maxX1,X2, ,Xn。而L()是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为四、(本题14分)设总体X N(0, 2),且x1,x2 x10是样本观察值，样本方差 s2 2,(1)求 2的置信水平为0.95的置信区间;. X22X2 八(2)已知Y 2(1),求D 的置信水平为0.95的置信区间

6、；(2.975(9) 2.70,2.025 (9) 19.023)。解:(1)2的置信水平为0.95的置信区间为182/c0.025 (9)18,即为(0.9462 , 6.6667 );0.975 (9)(2)1-2X2-212T D (1)由于X2-32的单调减少函数，置信区间为即为(0.3000 , 2.1137 )。五、(本题10分)设总体X服从参数为的指数分布，其中0未知，X1, ,Xn为取自总体X的样本，若已知2 n-Xi i 12(2n),求:(1) 的置信水平为1(2)某种元件的寿命(单位:的单侧置信下限；h)服从上述指数分布，现从中抽得容量为 16的样本，测得样本均值为501

7、0 ( h),试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。(2.05(31)44.985, 2.10(32) 42.585)。解：P 2nX2 _(2n)12nX.112(2n)即的单侧置信下限为2nX2；(2)(2n)2 16 501042.5853764.706 。X N(10,1),今阶段(mg/L),问该工厂生产是2.700)六、(本题14分)某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8 (mg/L),标准差为1.2否正常？ (0.05,t0.025(9)2.2622, 2.。25 (9)19.023, 75 (9)解:（1）检验假设H

8、0:2=1, H:2w1; 取统计量:2 (n 1)s22；0拒绝域为:2<2 (n1 一21)20.975 (9) =2.70 或2(n21)20.025 =19.023 ,经计算:(n1)s2"2 01 22三12.96 ,由于12 12.962(2.700,19.023) 2,故接受Ho,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1 。（2）检验假设Ho：10, Hi：10；取统计量：t10S/ 10 t_(9);22.拒绝域为 t t0.025(9) 2.2622；10.8 10，一 2.1028<2.2622，所以接受 H。，1.2/10即可以认为排出的污水

9、中动植物油的平均浓度是 综上，认为工厂生产正常。10 (mg/L)。七、（本题10分）设X1,X2,X3,X4为取自总体 X-N（,42）的样本，对假设检验问题Ho :5, Hi :5,（1）在显著性水平 0.05下求拒绝域;（2）若 =6,求上述检验所犯的第二类错误的概率解：（1）拒绝域为zx 54/ ,4Z0.0251.96 ;（2）由（1）解得接受域为（1.08 , 8.92 ),当 =6 时，接受H 0的概率为P1.08 X8.92 68.9221.08260.921。八、（本题8分）设随机变量1X服从自由度为（m,n）的F分布，（1）证明：随机变量 ,服从 X自由度为（n,m）的F分

10、布；（2）若m n,且PX 0.05,求PX °的值。证明：因为XF（m,n）,由F分布的定义可令 XU / m .22，其中 U 2(m),V 2(n), UV/n与V相互独立，所以YSF（n,m）。X U /m.,，1 一当m n时，X与,服从自由度为（n,n）的F分布，故有PX从而 PXX11P 1PXX px 3, 1 PX 1 0.05 0.95。中南大学考试试卷参考答案2009 2010学年第一学期（2010.1 )时间：100分钟数理统计II 课程 24学时1.5学分考试形式：闭卷、填空题（本题15分，每题3分）,1、1、N(0, -) ； 2、一，,、 S0.01 ;

11、 3、t (n 1),22. n5、 zZ0.05。二、选择题（本题15分，每题3分）1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B.2x22二、(本题 14 分)解：(1) E(X) xf(x)dx oTdx -,0 /3令E(X?) X 2 ,得？ 3X为参数的矩估计量。 32n 2x 2n n(2)似然函数为：L(x, ) f xi,0 xi,(i 1,2, ,n),i 1i 1而L()是 的单调减少函数，所以的极大似然估计量为 ？ maxX1,X2, ,Xn。四、(本题14分)解:(1)2的置信水平为0.95的置信区间为1818»,-,即为(0.9462 , 6.6667 )

12、;0.025 (9)0.975 (9)2X21 c X=D 一32由于2的单调减少函数，置信区间为即为(0.3000 , 2.1137 )。五、(本题10 分)解：(1)2nX P -2(2n)2nX .三1 2(2n)即的单侧置信下限为2nX2(2n)(2)2 16 501042.5853764.706。六、(本题14分)解:(1)检验假设H0:2=1,H:2平；取统计量:2 (n1)s22 0拒绝域为:2<(n21)20.975(9) =2.70 或2> j(n21)20.025 =19.023 ,经计算:(n1)s22 02 12.96(2.700,19.023) 2,故接受H0,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1 。X 10(2)检验假设H0:10, H1:10;取统计量：t = t (9);S/101 108 10拒绝域为 t t0 025(9) 2.2622； t - 2.1028<2.2622，所以接受 H0,1.2/斤即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10 (mg/L)。综上，认为工厂生产正常。七、(本题10分)解：拒绝域为zZ0.0251.96 ；(2)由(1)解得接受域为(1.08, 8.92 ),当=6时，接受H0的概率为P1.08 X 8.